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泸州市合江县 2025—2026 学年高 2024 级高二下学期期中考试
数学试题参考答案及评分意见
评分说明：
1．本解答给出的一种解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比
照评分参考，制订相应的评分细则。
2．对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，
可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答
有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右侧所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．评分时，只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题共 11 个小题，第 1～8 题每小题 5 分，第 9～11 题每小题 6 分，共 58 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A D C A C B A AD BC BCD
二、填空题：本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．11 13．5 或 13 14．1
三、解答题：本大题共 5 个小题，共 77 分。
15．（本小题满分 13 分）
1 a b c解：（ ）由正弦定理得： 2R，
sin A sin B sinC
即 a 2Rsin A，b 2Rsin B，c 2RsinC，…………………………………………………（1 分）
代入已知条件得：2sin Bcos A 2sinC sin A，………………………………………………（2 分）
由三角形内角和定理，可得： sinC sin A B sin Acos B cos Asin B，
代入上式得：2sin Bcos A 2sin Acos B 2cos Asin B sin A，………………………………（3 分）
化简得： 2sin Acos B sin A，…………………………………………………………………（4 分）
在△ABC中，sin A 0，所以 cos B 1 ，……………………………………………………（5 分）
2
又因为 0 B π π ，所以 B ；…………………………………………………………………（6 分）
3
2 1（ ）由三角形面积公式得： S△ABC ac sin B 3 ，……………………………………………（7 分）2
高二数学参考答案 第 1 页 共 6 页
π 1 3
代入 B 得：S△ABC ac 3 ，解得 ac 4 ，………………………………………（8 分）3 2 2
由余弦定理得：b2 a2 c2 2ac cos B，………………………………………………………（9 分）
代入 b 2 B π， ，ac 4 得：4 a2 c2 ac a c 2 3ac a c 2 12 ，…………（11 分）
3
解得 a c 2 16，又因为 a c 0 ，所以 a c 4 ．………………………………………（13 分）
16．（本小题满分 15 分）
解：（1）由已知得： S2 3a2 2， S3 3a3 2，两式相减得： a3 3a3 3a2 ，即 2a3 3a2 0 ，（2 分）
3
所以 2a2q 3a2 0 ，又因为 a2 0 ，q 0 ，解得 q ，……………………………………（3 分）2
代入 S2 3a2 2得：a1 a2 3a2 2 ，即 a1 2a2 2，……………………………………（4 分）
a a q 3 3又因为 2 1 a1，所以 a1 2 a 2 ，解得 a 1，…………………………………（6 分）2 2 1 1
3 n 1
因此数列 an 的通项公式为 an ；……………………………………………………（7 分）
2
n 1
（2 n 3 ）由（1）得：bn n ，………………………………………………………………（8 分）an 2
2 0 1T 1 2 2 3 2
2 2 n 1
则 n

n ①，……………………………………（9 分）
3 3 3 3
2 2 1 2 n 1 nT 1 2 2 两边同时乘 得： n 2 n 1
2 2
n ②，…………（11 分）
3 3 3 3 3 3
2 n
1 2 0 2 1 2 2 2 n 1 2 n
1 n
T 3 2 由① ②得： n n
n
3 3 3 3 3 3 1 2 3
3
n
3 3 n 2 ………………………………………………………………………………（13 分）
3
2 n
因此Tn 9 9 3n

．…………………………………………………………………（15 分）
3
高二数学参考答案 第 2 页 共 6 页
17．（本小题满分 15 分）
解：（1）证明：因为 PA 底面 ABCD，CD 底面 ABCD，所以 PA CD，………………………（1 分）
又因为底面 ABCD为矩形，所以CD AD，…………………………………………………（2 分）
因为 PA AD A，PA， AD 平面 PAD，所以CD 平面 PAD，………………………（3 分）
又因为 AE 平面 PAD，所以CD AE，……………………………………………………（4 分）
因为 PA AD 2， E为 PD的中点，所以 AE PD，……（5 分）
又因为 PD CD D，PD，CD 平面 PCD，……………（6 分）
所以 AE 平面 PCD；…………………………………………（7 分）
（2）如图，以 A为原点，分别以 AB、 AD、 AP所在的方向为 x轴、 y
轴、 z轴正方向，建立空间直角坐标系，……………………（8 分）
则 A 0 , 0 , 0 ， B 2 , 0 , 0 ， P 0 , 0 , 2 ，
AD 1 1 由 ，可得C 2 , 1 , 0 ，D 0 , 1 , 0 ，E 0 , , 1 ，………………………………………（9 分）
2
所以 AC 2 , 1 , 0 ， AE 1 0 , , 1 ， BC 0 , 1 , 0 ， BE 2 , 1 , 1 ；
2 2
设平面 ACE的法向量为m x , y , z ，
m AC 0 2x y 0
则 ，即 1 ，令 x 1，解得 y 2， z 1，
m AE 0 y z 0 2
故平面 ACE的一个法向量为m 1 , 2 , 1 ，…………………………………………………（11 分）
设平面 BCE的法向量为 n a , b , c ，
n BC 0 b 0
则 ，即 1 ，所以 b 0 ，令 a 1，解得 c 2，
n BE 0 2a b c 0 2
故平面 BCE的一个法向量为 n 1 , 0 , 2 ，……………………………………………………（13 分）
设平面 ACE与平面 BCE所成的锐二面角为 ，
cos m n 1 1 2 0 1 2 3 30则 ，…………………………………（14 分）
m n 1 4 1 1 0 4 6 5 10
30
即所求锐二面角的余弦值为 ．……………………………………………………………（15 分）
10
高二数学参考答案 第 3 页 共 6 页
18．（本小题满分 17 分）
1 e c 2 2解：（ ）由椭圆的离心率 ，得：c a，…………………………………………………（1 分）
a 2 2
又因为 a2 b2 c2 ，所以 a2 2b2 ，…………………………………………………………（2 分）
x2 y2
椭圆的方程可化为 1，………………………………………………………………（3 分）
2b2 b2
2 1
将点 P 2 , 1 代入椭圆方程得： 1，解得b2 2，则 a2 4 ，…………………（5 分）
2b2 b2
2
C x y
2
因此椭圆 的标准方程为 1；………………………………………………………（6 分）
4 2
2 l l x t y2 2 t
2
（ ）①当直线 的斜率不存在时，设 ： ，代入椭圆方程得： ，
2
2 t 2 由OA OB得：OA OB t 2 0
4
，解得 t 2 ，…………………………………（7 分）
2 3
1 2
此时 S△AOB t 2 y t 2
t 2 3
；………………………………………………（8 分）
2 2 3
②当直线 l的斜率存在时，设 l： y kx m， A x1 , y1 ， B x2 , y2 ，
y kx m

联立 2 2 x2 y2 ，消去 y得： 1 2k x 4kmx 2m2 4 0 ，…………………………（9 分）

1
4 2
16k 2m2 4 1 2k 2 2m2 4 8 4k 2 m2 2 0 ，
x x 4km
2
由韦达定理得： 1 2 2 ，x x
2m 4
1 2 2 ，………………………………………（10 分）1 2k 1 2k
由OA OB得：OA OB x1x2 y1y2 0 ，
又因为 y y kx m kx m k 21 2 1 2 x1x2 km x1 x 22 m ，
代入得： 1 k 2 x1x2 km x1 x 22 m 0 ，…………………………………………………（11 分）
2
将韦达定理结果代入化简得：3m2 4 1 4 1 k k 2 ，即m2 ，………………………（12 分）
3
8 4k 2 m2 22 2 2 2 所以 AB 1 k x1 x2 4x1x2 1 k 2 ，1 2
8 8k 2 2
2 1 k 2 4k 2 1
代入m2 4 1 k 得： AB 1 k 2 3 4 2 ，…………（13 分）
3 1 2k 2 3 2 21 2k
高二数学参考答案 第 4 页 共 6 页
m
O l d 2 3原点 到直线 的距离 ，…………………………………………………（14 分）
1 k 2 3
1 1 4 2 1 k 2 4k 2 1 2 3 4 6 4k 4 5k 2
因此 S 1△AOB AB d 2 2 3 2 41 2k 2 3 9 4k 4k 2 1
4 6 k 2
1 4 2 ………………………………………………………………………（15分）9 4k 4k 1
1 k 2 1 1
由基本不等式可得： 4k 2
k 2
4 ，即 4 ，4k 4k 2 1 4k 2 1 4 8
k 2
S 4 6 1 1因此 △AOB 1 2 ，当且仅当 k
2 时取等号，……………………………（16 分）
9 8 2
2 3
综上所述， 2 ，故△AOB面积的最大值为 2 ．……………………………………（17 分）
3
19．（本小题满分 17 分）
1
解：（1）当 a 1时， f x e x x2 x， f x 的定义域为 R ，……………………………………（1 分）
2
f ' x e x x 1，令 g x e x x 1，则 g ' x e x 1，…………………………………（2 分）
当 x 0 时， g ' x 0， g x 单调递减；当 x 0 时， g ' x 0， g x 单调递增，………（3 分）
故 g x g 0 0，即 f ' x 0，当且仅当 x 0 时取等号，因此 f x 在 R 上单调递增，
所以 f x 的单调递增区间为 , ，无单调递减区间；…………………………………（4 分）
（2） f ' x e x x a，令 h x e x x a，则 h ' x e x 1，…………………………………（5 分）
当 x 0 时，h ' x 0，故 f ' x 在 0 , 上单调递增，即 f ' x min f ' 0 1 a，……（6 分）
①当 a 1时， f ' x 0， f x 在 0 , 上单调递增，故 f x f 0 1，符合题意；…（7 分）
②当 a 1时， f ' 0 1 a 0 ，因为当 x 时， f ' x ，
故存在唯一 x0 0 , ，使得 f ' x0 0 ，…………………………………………………（8 分）
当 x 0 , x0 时， f ' x 0 ， f x 单调递减，
此时 f x f 0 1，与题意矛盾，故舍去，…………………………………………………（9 分）
高二数学参考答案 第 5 页 共 6 页
综上所述，实数 a的取值范围为 , 1 ；……………………………………………………（10 分）
（3）证明： f x 存在两个极值点 x x1， x2 ，等价于 f ' x e x a 0 有两个不等的实数根，即
a e x x有两个不等的实数根，令 p x e x x，则 p ' x e x 1，……………………（11 分）
所以 p x 在 , 0 上单调递减，在 0 , 上单调递增，即 x1 0 x2 ，………………（12 分）
由 f ' x x1 x21 0 ， f ' x2 0 得： e x1 a， e x2 a，
f x e x 1 2 1 2因此 1 1 x1 ax2 1 x1 a x1 ax2 1，
f x2 e x
1
2 x 22 ax2 x
1
2 a x
2
2 ax2 ，………………………………………………（13 分）2 2
f x f x e x 1以上两式相加得： 11 2 e x2 x 21 x 22 a x x 2 1 2
x 11 x2 2a x 2 1 21 x2 2x1x2 a x1 x2 2a x1 x2 x1x2 ；………………（14 分）2 2
令 q x p x p x e x e x 2x， x 0 ， q ' x e x e x 2 0，
所以 q x 在 0 , 上单调递增，q x q 0 0 ，…………………………………………（15 分）
即 p x p x ，令 x x2 0 ，则 p x2 p x2 ，
因为 p x1 p x2 ，所以 p x1 p x2 ，
又因为 x1 0， x2 0 ，q x 在 , 0 上单调递减，故 x1 x2 ，即 x1 x2 0，……（16 分）
由 e x1 x1 a， e
x2 x2 a，以上两式相减得： e
x2 e x1 x2 x1 ，
e x2 e x1 x1 x2 x1 x2
由对数均值不等式得： e 2 ，故 e 2 1，即 x x 0，
x x 1 22 1
令 t x x 0 1 1 2 ， s x
2
1x2 0 ，则 f x1 f x2 2a t s，2
1
又因为 a e x1 x1 e
x2 x2 ，结合 x1 x2 0，可证得 2a s 2 t
2 ，
2
所以 f x f x 2 1 t 2 1 t 21 2 2 ，原不等式得证．……………………………………（17 分）2 2
高二数学参考答案 第 6 页 共 6 页泸州市合江县2025—2026学年高2024级高二下学期期中考试
数 学 试 题 参 考 答 案 及 评 分 意 见
评分说明：
1．本解答给出的一种解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考，制订相应的评分细则。
2．对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右侧所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．评分时，只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题共11个小题，第1～8题每小题5分，第9～11题每小题6分，共58分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A D C A C B A AD BC BCD
二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。
12．11 13．5或13 14．1
三、解答题：本大题共5个小题，共77分。
15．（本小题满分13分）
解：（1）由正弦定理得：，
即，，，…………………………………………………（1分）
代入已知条件得：，………………………………………………（2分）
由三角形内角和定理，可得：，
代入上式得：，………………………………（3分）
化简得：，…………………………………………………………………（4分）
在中，，所以，……………………………………………………（5分）
又因为，所以；…………………………………………………………………（6分）
（2）由三角形面积公式得：，……………………………………………（7分）
代入得：，解得，………………………………………（8分）
由余弦定理得：，………………………………………………………（9分）
代入，，得：，…………（11分）
解得，又因为，所以．………………………………………（13分）
16．（本小题满分15分）
解：（1）由已知得：，，两式相减得：，即，（2分）
所以，又因为，，解得，……………………………………（3分）
代入得：，即，……………………………………（4分）
又因为，所以，解得，…………………………………（6分）
因此数列的通项公式为；……………………………………………………（7分）
（2）由（1）得：，………………………………………………………………（8分）
则①，……………………………………（9分）
两边同时乘得：②，…………（11分）
由得：
………………………………………………………………………………（13分）
因此．…………………………………………………………………（15分）
17．（本小题满分15分）
解：（1）证明：因为底面，底面，所以，………………………（1分）
又因为底面为矩形，所以，…………………………………………………（2分）
因为，，平面，所以平面，………………………（3分）
又因为平面，所以，……………………………………………………（4分）
因为，为的中点，所以，……（5分）
又因为，，平面，……………（6分）
所以平面；…………………………………………（7分）
（2）如图，以为原点，分别以、、所在的方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，……………………（8分）
则，，，
由，可得，，，………………………………………（9分）
所以，，，；
设平面的法向量为，
则，即，令，解得，，
故平面的一个法向量为，…………………………………………………（11分）
设平面的法向量为，
则，即，所以，令，解得，
故平面的一个法向量为，……………………………………………………（13分）
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，…………………………………（14分）
即所求锐二面角的余弦值为．……………………………………………………………（15分）
18．（本小题满分17分）
解：（1）由椭圆的离心率，得：，…………………………………………………（1分）
又因为，所以，…………………………………………………………（2分）
椭圆的方程可化为，………………………………………………………………（3分）
将点代入椭圆方程得：，解得，则，…………………（5分）
因此椭圆C的标准方程为；………………………………………………………（6分）
（2）①当直线l的斜率不存在时，设l：，代入椭圆方程得：，
由得：，解得，…………………………………（7分）
此时；………………………………………………（8分）
②当直线l的斜率存在时，设l：，，，
联立，消去y得：，…………………………（9分）
，
由韦达定理得：，，………………………………………（10分）
由得：，
又因为，
代入得：，…………………………………………………（11分）
将韦达定理结果代入化简得：，即，………………………（12分）
所以，
代入得：，…………（13分）
原点O到直线l的距离，…………………………………………………（14分）
因此
………………………………………………………………………（15分）
由基本不等式可得：，即，
因此，当且仅当时取等号，……………………………（16分）
综上所述，，故面积的最大值为．……………………………………（17分）
19．（本小题满分17分）
解：（1）当时，，的定义域为，……………………………………（1分）
，令，则，…………………………………（2分）
当时，，单调递减；当时，，单调递增，………（3分）
故，即，当且仅当时取等号，因此在上单调递增，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；…………………………………（4分）
（2），令，则，…………………………………（5分）
当时，，故在上单调递增，即，……（6分）
①当时，，在上单调递增，故，符合题意；…（7分）
②当时，，因为当时，，
故存在唯一，使得，…………………………………………………（8分）
当时，，单调递减，
此时，与题意矛盾，故舍去，…………………………………………………（9分）
综上所述，实数a的取值范围为；……………………………………………………（10分）
（3）证明：存在两个极值点，，等价于有两个不等的实数根，即有两个不等的实数根，令，则，……………………（11分）
所以在上单调递减，在上单调递增，即，………………（12分）
由，得：，，
因此，
，………………………………………………（13分）
以上两式相加得：
；………………（14分）
令，，，
所以在上单调递增，，…………………………………………（15分）
即，令，则，
因为，所以，
又因为，，在上单调递减，故，即，……（16分）
由，，以上两式相减得：，
由对数均值不等式得：，故，即，
令，，则，
又因为，结合，可证得，
所以，原不等式得证．……………………………………（17分）泸州市合江县 2025—2026 学年高 2024 级高二下学期期中考试
数 学 试 题
本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷第 1 至 2 页，第 II 卷第 3 至 4 页。
试卷满分 150 分，考试时间共 120 分钟。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘
贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑。
3．填空题和解答题的作答：请用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅
笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第 I 卷（选择题，共 58 分）
一、单项选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1． 设全集U R ，集合 A x x2 4x 3 0 ， B x 2x 4 ，则 A CU B
A． 1 , 2 B． 1 , 2 C． 1 , 3 D． 2 , 3
2． 已知复数 z满足 1 i z 3 i ，则 z的共轭复数 z
A．1 i B．1 i C． 2 2i D． 2 2i
3． 已知函数 f x x ln x cos x，则 f x 在 x π 处的切线斜率为
A．1 B． ln π C． ln π 1 D． ln π 1
x2 y24． 设椭圆 C： 1的左、右焦点分别为 F1， F2 ，且点 P在椭圆 C上，则 PF16 9 1
PF2 的最大值为
A．4 B．9 C．16 D．25
5． 在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，直线 BC1与平面 BB1D1D所成角的正弦值为
A 1 2 3 6． B． C． D．
2 2 2 2
6． 记等差数列 an 的前 n
1
项和为 Sn ，数列 bn 满足 bn 2an ，若 a3 5，S5 25，则数列 b 的a nnan 1
前 10 项和T10
20 20 21 21
A 2 4 10 2 4 11 2 2 10 2 2 11． B． C． D．
3 21 3 21 3 21 3 21
高二数学试题 第 1 页 共 4 页
7． 已知函数 f x e x ax2在 0 , 上有两个极值点，则实数 a的取值范围是
A , e e． B． ,
2 2
C 0 , e D 0 , e ． ．
2 2
x2 y28． 设双曲线 C： 2 2 1（ a 0，b 0 ）的左、右焦点分别为 F1 c , 0 ， F2 c , 0 ，过焦点 Fa b 2
作双
曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 A，若△F 31AF2 的面积为 c
2 ，且双曲线的离心率 e 2 ，则 e
4
A．2 B． 3
C． 2 3 D 2 3．
3
二、多项选择题：本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项
符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9． 已知等差数列 an 的首项 a1 1，且 a2 a4 6 ，下列说法正确的有
A．数列 an 的公差 d 1
B．数列 an 的通项公式为 an 2n
C．数列 an 的前 n项和 Sn n2 n
D．数列 2an 是公比为 2 的等比数列
10 π ．已知函数 f x sin 2x ，则下列说法正确的是
3
A． f x 的最小正周期为 2π
B． f x π 5π 在区间 , 上单调递增
12 12
C f x x 5π． 的图象关于直线 对称
12
D．将 f x π的图象向左平移 个单位长度，可得到 g x sin 2x的图象
3
11．已知函数 f x x ln x，则下列结论正确的有
A． f x 的定义域为 , 0 0 ,
B． f x 在 0 , 1 上单调递减，在 1 , 上单调递增
C． f x 的最小值为 1，且 f x 无最大值
D．若 f m f n ，且m n，则m n 2
高二数学试题 第 2 页 共 4 页
第 II 卷（非选择题，共 92 分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须使用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认
后，再用 0.5 毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效。
（2）本部分共 8 个小题，共 92 分。
三、填空题：本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知等差数列 an 的首项 a1 2 ，公差 d 3，则 a4 的值为__________．
x2 213 y．已知椭圆 C： 1的焦距为 4，则实数 k的值为__________．
k 9
14．若对于任意 x 0 ，不等式 e x ax 1恒成立，则实数 a的最大值为__________．
四、解答题：本大题共 5 个小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 13 分）
在△ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 2bcos A 2c a．
（1）求角 B的大小；
（2）若 b 2 ，△ABC的面积为 3，求 a c的值．
16．（本小题满分 15 分）
已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，公比 q 0，且满足 S2 3a2 2， S3 3a3 2．
（1）求数列 an 的通项公式；
n
（2）设 bn ，求数列 bn 的前 n项和Ta n ．n
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17．（本小题满分 15 分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形， PA 底面 ABCD，
PA AB 2， E为 PD的中点．
（1）若 AD 2 ，求证： AE 平面 PCD；
（2）若 AD 1，求平面 ACE与平面 BCE所成锐二面角的余弦值．
18．（本小题满分 17 分）
C x
2 y2 2
已知椭圆 ：
a2 b2
1（ a b 0 ）的离心率为 ，且过点 P 2 , 1 ．
2
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）设直线 l与椭圆 C交于 A，B两点，O为坐标原点，且OA OB，求△AOB面积的最大值．
19．（本小题满分 17 分）
1
已知函数 f x e x x2 ax， a R ．
2
（1）当 a 1时，求 f x 的单调区间；
（2）若对于任意 x 0 ， f x 1恒成立，求实数 a的取值范围；
（3）若 f x 存在两个极值点 x1， x2 （ x1 x2 ），试证明： f x1 f x2 2．
高二数学试题 第 4 页 共 4 页泸州市合江县2025—2026学年高2024级高二下学期期中考试
数 学 试 题
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至4页。试卷满分150分，考试时间共120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑。
3．填空题和解答题的作答：请用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1． 设全集，集合，，则
A． B． C． D．
2． 已知复数满足，则的共轭复数
A． B． C． D．
3． 已知函数，则在处的切线斜率为
A．1 B． C． D．
4． 设椭圆C：的左、右焦点分别为，，且点P在椭圆C上，则的最大值为
A．4 B．9 C．16 D．25
5． 在棱长为2的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为
A． B． C． D．
6． 记等差数列的前项和为，数列满足，若，，则数列的前10项和
A． B． C． D．
7． 已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
8． 设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A，若的面积为，且双曲线的离心率，则
A．2 B．
C． D．
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9． 已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有
A．数列的公差
B．数列的通项公式为
C．数列的前项和
D．数列是公比为2的等比数列
10．已知函数，则下列说法正确的是
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称
D．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象
11．已知函数，则下列结论正确的有
A．的定义域为
B．在上单调递减，在上单调递增
C．的最小值为1，且无最大值
D．若，且，则
第II卷（非选择题，共92分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须使用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效。
（2）本部分共8个小题，共92分。
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。
12．已知等差数列的首项，公差，则的值为__________．
13．已知椭圆C：的焦距为4，则实数k的值为__________．
14．若对于任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为__________．
四、解答题：本大题共5个小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）若，的面积为3，求的值．
16．（本小题满分15分）
已知等比数列的前项和为，公比，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
17．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为的中点．
（1）若，求证：平面；
（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
18．（本小题满分17分）
已知椭圆C：（）的离心率为，且过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且，求面积的最大值．
19．（本小题满分17分）
已知函数，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若对于任意，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若存在两个极值点，（），试证明：．

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