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第5章 特殊平行四边形全章题型突破
题型一、矩形的基本性质（边角、对角线）
1．（2025春 玉环市期中）矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交所成的锐角是（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【答案】D
【解析】如图，∠1＝40°，
∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠1＝40°，
∴∠AOB＝∠OBC+∠1＝2∠1＝80°，即两条对角线相交所成的锐角是80°．故选：D．
2．（2025春 德清县期中）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠BAC＝∠DAC B．AC⊥BD C．BA＝BO D．
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝DO＝AO＝COACBD，∠ADC＝90°，AD＝BC，AD∥BC，
∴AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC不一定成立，AB＝AO一定不成立，BOAC，一定成立，故选：D．
3．（2025春 瑞安市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（﹣2，3），则对角线AC的长度是　　 ．
【答案】．
【解析】连接OB，
∴OB，
∵四边形OABC是矩形，∴OB＝AC，故答案为：．
题型二、矩形性质与勾股定理综合计算
1．（2025春 上城区校级期中）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB＝8，OM＝3，则线段OB的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．1
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点，
∴O M是△ADC的中位线，OM∥AD，
∵OM＝3，∴AD＝2OM＝6，
∵CD＝AB＝8，∴，∴．故选：A．
2．（2026春 东阳市月考）如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，下列哪条线段的长度是方程x2+6x﹣16＝0的其中一个解（　　）
A．线段AE的长 B．线段BE的长
C．线段CE的长 D．线段AC的长
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝4，
∵AB＝AE＝3，∴AC5，∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2，
∵x2+6x﹣16＝0，∴（x+8）（x﹣2）＝0，∴x1＝﹣8，x2＝2，
∴线段CE的长方程x2+6x﹣16＝0的其中一个解，故选：C．
3．（2025春 临海市校级月考）如图，两对全等的直角三角形拼成矩形ABCD，中空的部分是矩形EFGH，连结DE，若点M是GF的中点，BE＝3，AB＝3，AD＝2，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵Rt△ABE≌Rt△CDG，BE＝3，∴DG＝BE＝3，
∵四边形EFGH是矩形，∴DH∥BF，GH＝EF，∠DHE＝90°，
∴∠DGM＝∠EFM，∠GDM＝∠FEM，
∵点M是GF的中点，∴GM＝FM，
在△DGM和△EFM中，，∴△DGM≌△EFM（AAS），
∴DG＝EF＝3，∴GH＝EF＝3，∴DH＝DG+GH＝6，
在Rt△ADH中，AD，由勾股定理得：AH2，
在Rt△ABE中，AB，由勾股定理得：AE9，
∴HE＝AE﹣AH＝9﹣2＝7，
在Rt△DHE中，由勾股定理得：DE，即DE的长为．故选：B．
4．（2025春 柯桥区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在线段BD上（不与点B，D重合），∠AED＝2∠ADE，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．8
【答案】B
【解析】连接AC交BD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，且AB＝6，BC＝8，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，OA＝ODBD，∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD10，
∴OA＝ODBD＝5，∴∠OAD＝∠ADE，
∵∠AOE是△OAD的外角，∴∠AOE＝∠OAD+∠ADE＝2∠ADE，
∵∠AED＝2∠ADE，∴∠AOE＝∠AED，∴AE＝OA＝5，∴△AOE是等腰三角形，
∵AF⊥BD，∴OF＝EF＝1/2OE，∴OE＝2OF，
由三角形的面积公式得：S△ABFDBD AFAB AD，∴AF，
在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF，
∴OE＝2OF，∴DE＝OD+OE．故选：B．
5．（2026春 江北区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为　　 ．
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D＝90°，
∵EF是AC的垂直平分线，∴CE＝AE，
设CE＝AE＝x，则DE＝4﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+DE2＝CE2，
即22+（4﹣x）2＝x2，解得：x，∴CE；故答案为：．
6．（2026春 慈溪市月考）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E是对角线AC上的一点，连接DE，BE，且满足∠AED＝2∠DAE，已知AE＝3CE，则　　 ．
【答案】．
【解析】如图，连接BD交AC于点O，过点E作EF⊥BD于点F，
设EC＝x，则AE＝3CE＝3x，∴AC＝AE+EC＝4x，
∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD＝OB＝OC＝2x，
∴设∠OAD＝∠ODA＝α，∴∠DOE＝∠OAD+∠ODA＝2α，
∵∠AED＝2∠DAE＝2α，∴∠DOE＝∠DEO，∴DE＝DO＝2x，∴OE＝OC﹣EC＝x，
设OF＝y，则DF＝OD﹣OF＝2x﹣y，
∵EF⊥BD，∴OE2﹣OF2＝EF2＝DE2﹣DF2，∴x2﹣y2＝（2x）2﹣（2x﹣y）2，
∴，即，∴，
在直角三角形EOF中，由勾股定理得：，
在直角三角形BEF中，由勾股定理得：，
∴，故答案为：．
题型三、矩形性质与角平分线、等腰三角形综合
1．（2025春 拱墅区校级期中）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，则∠BAC的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【解析】∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝CE，∴∠ACE＝∠EAC，∴∠BAE＝∠CAE＝∠ACE，
∵∠BAE+∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠BAE＝∠CAE＝∠ACE＝30°，∴∠BAC＝60°，故选：C．
2．（2025春 嘉兴期末）如图，在矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC交BC于点E，OF平分∠BOE交BC于点F．若矩形ABCD的周长为定值，则下列线段的长度为定值的是（　　）
A．CF B．BF C．CE D．OF
【答案】A
【解析】如图，作OM⊥BC，垂足为M，
∵O是BD的中点，∴OMCD，CMBC，
设∠OEM＝α，则∠OCB＝90°﹣α，
∵OB＝OC，∴∠OBC＝90°﹣α，
∵OF平分∠BOE交BC于点F．∴∠BOFBOE（α﹣90°+α）＝α﹣45°，
∴∠OFM＝∠OBC+∠BOF＝90°﹣α+α﹣45°＝45°，
∴FM＝OM，∴CF＝FM+CMCDBC（CD+BC），
∵矩形ABCD的周长为定值，∴CF是矩形周长的，是定值．故选：A．
3．（2025春 奉化区校级期中）如图，矩形ABCD中，ADAB，∠BAD的平分线交BC于点E，DF⊥AE，垂足为F，连接BF，CF，下列结论：
①AD＝AE；②∠DEA＝∠DEC；③DE⊥CF；④BF＝FC；
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，∴AEAB，
∵ADAB，∴AD＝AE，故①正确；
∵∠BAE＝∠DAE＝45°，AD＝AE，∠ABE＝∠AFD＝90°，
∴△ABE≌△AFD（AAS），∴AB＝AF，BE＝DF，
∴AB＝BE＝AF＝DF＝CD，∴EF＝CE，∠ADF＝45°，
又∵DE＝DE，∴△DEC≌△DEF（SSS），∴∠DEA＝∠DEC，故②正确；
∵DF＝DC，EF＝EC，∴DE垂直平分FC，故③正确；
∵∠CDF＝90°﹣∠ADF＝45°，∴∠BAE＝∠FDC＝45°，
又∵AB＝DF，AF＝CD，∴△ABF≌△DFC（SAS），∴BF＝CF，故④正确，
综上所述：正确的结论有①②③④，共4个，故选：D．
4．（2025春 宁波期中）如图，AC是矩形ABCD的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，AF与EF的交点为F，则∠AFE的度数是 　　 ．
【答案】60°．
【解析】依据尺规作图的痕迹可知：EF是线段AC的垂直平分线，AF是∠DAC的平分线，∴AE＝AF，AC⊥EF，∠DAF＝∠CAF，∴△AEF是等腰三角形，
∵AC⊥EF，∴∠CAE＝∠CAF，∴∠DAF＝∠CAE＝∠CAF，
∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB＝90°，∴∠DAF+∠CAE+∠CAF＝90°，
∴∠DAF＝∠CAE＝∠CAF＝30°，∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝60°，
又∵AE＝AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°．故答案为：60°．
题型四、矩形的判定（定义、定理直接应用）
1．（2026春 无锡期中）下列说法中，正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对边相等的平行四边形是矩形
【答案】C
【解析】A、四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故A不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故B不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C符合题意；
D、对边相等是平行四边形的性质，平行四边形的对边都相等，所以对边相等不能作为判定平行四边形是矩形的条件，故D不符合题意．故选：C．
2．（2026春 英山县校级期中）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　）
A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直
【答案】A
【解析】∵有三个角是直角的四边形是矩形，
∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角；故选：A．
3．（2026春 鼓楼区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BM＝CM，∠1＝∠2．求证：平行四边形ABCD为矩形．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵AB＝CD，BM＝CM，∠1＝∠2，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴∠A＝∠D，
又∵∠A+∠D＝180°，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形．
4．（2025春 杭州校级期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别平分∠BAC和∠CAF，AD交BC于点D，AE＝DC．求证：四边形ADCE是矩形．
【解答】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠B＝∠ACB，∴∠ADC＝90°，
∵AE为△ABC的外角∠CAF的平分线，
∴∠CAE＝∠FAE，
∵∠FAC＝∠B+∠ACB，
∴∠FAC＝2∠B，
∴∠FAE＝∠B，
∴AE∥CD，
∵AE＝DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCE为矩形．
5．（2026春 盐都区期中）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，E是AB的中点，AC，DE交于点F，AF＝FC，BF∥CD．求证：四边形BCDF为矩形．
【解答】证明：∵AF＝FC，
∴点F是AC的中点，
又∵E是AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴ED∥BC，
又∵BF∥CD，
∴四边形BCDF为平行四边形，
∵∠BCD＝90°，
∴四边形BCDF为矩形．
题型五、矩形判定的条件添加与说理题
1．（2025春 临海市期中）如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O．添加下列一个条件，仍不能判定 ABCD是矩形，该条件是（　　）
A．∠AOB＝90° B．∠ABC＝90° C．AC＝BD D．∠OAD＝∠ODA
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，∴ ABCD是菱形，故A错误；符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴ ABCD是矩形，故B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴ ABCD是矩形，故C不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，OD＝2BD，
∵∠OAD＝∠ODA，∴OA＝OD，∴AC＝BD，∴ ABCD是矩形，故D不符合题意；故选：A．
2．（2025春 广阳区校级期中）如图，在 ABCD中．E为边AB的中点，F为CD上的点．连接BD、DE、BF．
嘉嘉：当DE∥BF时，若AD＝BD，则四边形DEBF为矩形；
淇淇：当∠ADB＝90°时，若BF＝CF，则点F为CD中点．
对于他俩的说法，正确的是（　　）
A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确
C．都正确 D．都不正确
【答案】C
【解析】∵在 ABCD中，DF∥BE，
当DE∥BF时，∴四边形DEBF为平行四边形，
∵AD＝BD，∴△ABD是等腰三角形，
∵点E为边AB的中点，∴DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，
∴四边形DEBF为矩形，故嘉嘉说法正确，符合题意；
∵在 ABCD中，∠A＝∠C，∠ADC+∠A＝180°，
当∠ADB＝90°时，∴∠CDB+∠A＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴∠C+∠CDB＝90°，∴∠CBD＝∠CBF+∠DBF＝90°，
∵BF＝CF，∴∠C＝∠CBF，∴∠CDB＝∠DBF，∴DF＝BF，
∴DF＝CF，即点F为CD中点，故淇淇说法正确，符合题意；故选：C．
3．（2025春 淄博期末）如图，在 ABCD中，AE⊥BC与点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 　 （写出一个即可）．
【答案】BE＝CF（答案不唯一）
【解析】添加条件为：BE＝CF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，
∴AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，
又∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD是矩形，故答案为：BE＝CF（答案不唯一）．
4．（2025春 睢宁县期中）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，添加一个适当的条件，使四边形BEDF是矩形，这个条件可以是 　 　 ．（填一个条件即可）
【答案】∠BED＝90°（答案不唯一）．
【解析】这个条件可以是∠BED＝90°，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵∠BED＝90°，∴平行四边形BEDF是矩形，故答案为：∠BED＝90°（答案不唯一）．
5．（2025春 靖江市校级期末）已知平行四边形ABCD，从①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形ABCD是矩形．选择的条件可以是　 　 ．（写出所有的可能，填写序号即可）
【答案】②③．
【解析】补充①AB＝BC；
∵平行四边形ABCD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本条件不成立，不符合题意；
补充②∠ABC＝90°；
∵平行四边形ABCD，∴平行四边形ABCD是矩形，故条件成立，符合题意；
补充③AC＝BD；
∵平行四边形ABCD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本条件成立，符合题意；
补充④AC⊥BD；
∵平行四边形ABCD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本条件不成立，不符合题意，
综上所述，选择的条件可以是②③，故答案为：②③．
6．（2026春 孝义市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AM为外角∠CAE的平分线，D为底边BC上一点，连接AD，过点C作CF∥AD交AM于点F，连接DF，交AC于点O．
（1）判断四边形ADCF的形状，并说明理由．
（2）在不增加辅助线和字母的前提下，请添加一个条件：　 　 ，使得四边形ADCF为矩形．
【解析】（1）平行四边形，理由如下：
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，
∵AM为外角∠CAE的平分线，∴，
∵∠EAC＝∠B+∠ACB，∴∠MAC＝∠ACB，∴AF∥CD，
∵CF∥AD，∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）在不增加辅助线和字母的前提下，令∠ADC＝90°，
则四边形ADCF是矩形．故答案为：∠ADC＝90°．
7．（2026 鼓楼区一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？
【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CDF，
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：当∠ABE＝30°时，四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵AB＝BO，BE⊥AO，
∴∠ABO＝2∠ABE＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AO＝BO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
8．（2026春 东阿县月考）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F．
（1）求证：EO＝OF；
（2）连接AE，AF，当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？此时，点O在什么位置？说明理由
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴EO＝FO；
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，
又∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO＝CO，
∴AO＝CO＝EO＝FO，
∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形，
即当点O沿AC移动时，四边形AECF能成为一个矩形，此时，点O在AC的中点．
题型六、直角三角形斜边上的中线性质
1．（2025春 玉环市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB＝8，则CD的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝8，
则CDAB，即CD8＝4．故选：A．
2．（2026春 惠城区期中）如图，将直角三角尺ABC放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则CD的长度为（　　）
A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
【答案】A
【解析】∵A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，
∴AD＝4﹣1＝3（cm），BD＝7﹣4＝3（cm），AB＝7﹣1＝6（cm），∴AD＝BD，
∵∠ACB＝90°，∴CDAB＝3（cm）．故选：A．
3．（2026春 晋安区期中）如图，在Rt△ABC中，D为BC的中点，以DC为斜边作Rt△CDE，F为CD的中点．若EF＝2，则AD的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】∵在 Rt△CDE，F 为CD 的中点．EF＝2，∴DC＝2EF＝2×2＝4，
∵点D 为BC 的中点，∴BC＝2DC＝2×4＝8（直角三角形中线定理），
∴在Rt△ABC 中，D 为BC 的中点，
∴（直角三角形中线定理）．则AD的长为4，故选：B．
4．（2025秋 桂林期末）如图，一把长为10m的梯子AB斜靠在墙上，当梯子的顶端沿墙下滑的过程中，梯子的中点C到墙角O的距离变化情况是（　　）
A．变大 B．变小
C．先变小再变大 D．不变
【答案】D
【解析】连接OC，
根据题意得∠AOB＝90°，AB＝10m，点C是AB的中点，
∴根据直角三角形斜边上的中线得，OCAB10＝5m，即当梯子的顶端沿墙在下滑的过程中，梯子的中点C到墙角O的距离不变．故选：D．
5．（2026春 襄城区校级月考）如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，∠CDE＝56°，则∠DCE的度数是（　　）
A．56° B．62° C．63° D．68°
【答案】A
【解析】∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，
∴△ACB和△ADB均为直角三角形，且点E是公共斜边AB的中点，
∴EC，ED，∴EC＝ED，∴∠DCE＝∠CDE，
∵∠CDE＝56°，∴∠DCE＝56°，故选：A．
6．（2025春 临海市期末）直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是 　 　 ．
【答案】30．
【解析】∵直角三角形斜边上的中线CD是6，∴斜边AB长为：2×CD＝6×2＝12，
∴它的面积AB×CE12×5＝30，故答案为：30．
7．（2026春 海淀区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、F分别是BC、AC的中点，连接AD，点E是边DC的中点，连接EF，若BC＝5，则EF的长为　 　 ．
【答案】1.25．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴，
由题意可得：EF是△ADC的中位线，∴．故答案为：1.25．
8．（2025春 惠州月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠A＝30°，BC＝2．
（1）求CD的长．
（2）请直接写出线段BC与线段AB之间的数量关系．
【解析】∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AD＝BD，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴△BDC为等边三角形，
∴CD＝BC＝2；
（2）∵CD＝AD＝BD，
∴CDAB，
∴BCAB．
题型七、直角三角形斜边中线与角度、面积综合
1．（2026春 高唐县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，，则BE的值是（　　）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【解析】∵∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，
∴，
∵DE⊥AC，∴，即点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝2×2＝4，
在Rt△ABC中，，∴，
在Rt△BCE中，，则BE的值是4，故选：A．
2．（2026春 东西湖区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠DCE＝ 　 　 °．
【答案】45．
【解析】∵∠A C D＝3∠B C D，∠A C B＝90°，
∴∠A C D＝67.5°，∠B C D＝22.5°，
∵CD⊥AB，∴∠B＝90°﹣∠B C D＝90°﹣22.5°＝67.5°，
又∵E是斜边AB的中点，∴BE＝CE，∴∠BCE＝∠B＝67.5°，
∴∠E C D＝∠B C E﹣∠B C D＝67.5°﹣22.5°＝45°．故答案为：45．
3．（2026春 仓山区期中）如图，以线段AB为斜边向两侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°，E是线段AB的中点，连接CE，DE．若∠CED＝100°，则∠CBD的度数为　 　 ．
【答案】130°．
【解析】以线段AB为斜边向两侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵E是线段AB的中点，∴，
∴，
∵∠CED＝∠CEB+∠DEB＝100°，
∴．故答案为：130°．
4．（2025秋 鼓楼区期中）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长．
【解答】（1）证明：连接BE、DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，
∴，
∵F是BD的中点，
∴EF⊥BD；
（2）解：由（1）可知，，
∴∠EAB＝∠EBA，∠EAD＝∠EDA，
∴2∠EAB＝∠CEB，2∠EAD＝∠CED，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BED＝60°，
∵BE＝DE，
∴△BED是等边三角形，
∴BD＝BE＝4．
5．（2025春 城关区校级期末）如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点．
（1）求证：DE⊥MN；
（2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长．
【解答】（1）证明：如图，连接DM，DN，
∵BN、CM分别是△ABC的两条高，
∴BN⊥AC，CM⊥AB，
∴∠BMC＝∠CNB＝90°，
∵D是BC的中点，
∴DMBC，DNBC，
∴DM＝DN，
∵E为MN的中点，
∴DE⊥MN；
（2）解：∵BC＝26，
∴DMBC＝13，
∵点E是MN的中点，MN＝10，
∴ME＝5，
由勾股定理得：DE12．
题型八、矩形中的动点最值问题
1．（2025春 临高县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为AD，CD上的动点，且EF＝2，点P为EF的中点，过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，则线段MN的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】连接DF，BD，BP，
在矩形ABCD中，∠B＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝3，
由题可得四边形BMPN是矩形，∴BP＝MN，
在Rt△DEF中，DPEF＝1，
在Rt△BCD中，BD5，
∴BP≥BD﹣DP＝4，当且仅当B、P、D三点共线时取等，
∴BP最小值为4，∴MN最小值为4．故选：C．
2．（2025春 义乌市月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥CB于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．4.8
【答案】D
【解析】连接CD，
∵DE⊥AC，DF⊥CB，∴∠DEC＝∠DFC＝∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，∴EF＝CD，
当CD⊥AB时，可知CD的值最小，此时，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，
∴，解得CD＝4.8，∴线段EF的最小值是4.8，故选：D．
3．（2025春 云南期末）已知平面直角坐标系中，有两点A（a，0），B（0，b），且满足b4，P为AB上一动点（不与A，B重合），PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为E，F，连接EF，则EF的最小值为（　　）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】如图，连接OP，
∵b4，∴a﹣3≥0，3﹣a≥0，∴a＝3，∴b＝4，
∴A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，
∵∠AOB＝90°，∴AB5，
∵PE⊥x轴，PF⊥y轴，∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，
当OP⊥AB时，OP最小，EF也最小，此时，OP，
∴EF的最小值为，故选：A．
4．（2025春 渭城区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝5，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC以每秒1个单位长度的速度匀速向终点C运动，设运动时间为t秒．下列说法正确的有（　　）
①线段EF的长度先减小后增大；②当时，EF的值最小；③当t＝6时，EF＝5．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】①如图，连接AP，
∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∠A＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP，
∴在点P的运动过程中，线段AP的值先减小，后增大，
∴在点P的运动过程中，线段EF的值先减小，后增大，故①符合题意；
②当AP⊥BC时，线段AP的值最小，∴线段EF的值最小，
∵∠A＝90°，∠C＝30°，∴∠B＝60°，
∵∠APB＝90°，∴∠BAP＝30°，∴BP，∴，
∴当时，EF的值最小，故②符合题意；
③∵t＝6，∴BP＝6，
如图，连接EF，或A作AH⊥BC于H，
则BH，AH，∴PH＝BP﹣BH，
∴EF＝AP.故③不符合题意；故选：C．
5．（2025春 建华区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，动点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列结论中：
①四边形ABCD是矩形；
②当CD＝4OF时，点E是AB的中点；
③当AB＝3，BC＝4时，线段OF长度的最大值为2；
④当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形，
其中正确的有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①∵OA＝OB＝OC＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故①正确，符合题意；
②当点E在AB上时，由①可知，四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，
∵点O，F分别是AC，CE的中点，∴OF是△ACE的中位线，∴AE＝2OF，
∵CD＝4OF，∴CD＝AB＝2AE，∴点E是AB的中点；
当点E在AD上时就不成立；故②不正确，不符合题意；
③当点E与点D重合时，OF的值最大，
∵AD＝BC＝4，∴AE的最大值是4，∴OF2，
即线段OF长度的最大值是2，故③正确，符合题意；
④当∠COF＝60°时，∠OAB＝60°，
∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠OBA＝60°，∴∠FON＝60°，
∵∠BEN＞∠OAB，∴∠OFN≠60°，
∴△OFN不是等边三角形，故④错误，不符合题意；
综上所述，其中正确的有2个，故选：B．
6．（2025春 西峰区校级期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快　 　 s后，四边形ABPQ成为矩形．
【答案】4
【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得
3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．
7．（2025春 南关区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为　　 ．
【答案】
【解析】连接AD、EF，
∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，∴BC15，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，∴EF＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积AB×ACBC×AD，
∴AD，∴EF的最小值为，
∵点G为四边形DEAF对角线交点，∴GFEF；故答案为：．
6．（2026 石家庄开学）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm．点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边BC上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止，求经过多长时间，四边形ABQP为矩形？
【解析】∵四边形ABCD是矩形，AD＝12cm，
∴BC＝AD＝12cm，∠A＝∠B＝90°，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，设运动的时间为t秒，
∵点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，到达点D时停止，
∴点P的运动时间为：12÷1＝12（秒），
又∵点Q在边BC上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，
∴点Q从点C到点B的运动时间为：12÷4＝3（秒），
∴有以下四种情况：
①当0＜t＜3时，此时点Q从点C向点B运动，AP＝t（cm），BQ＝（12﹣4t）cm，
又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
∴t＝12﹣4t，解得：t，
∴当t秒时，四边形ABQP是矩形；
②当3≤t＜6时，此时点Q从点B向点C运动，AP＝t（cm），BQ＝（4t﹣12）cm，
又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
∴t＝4t﹣12，
解得：t＝4，
∴当t＝4秒时，四边形ABQP是矩形；
③当6≤t＜9时，此时点Q从点C向点B运动，AP＝t（cm），BQ＝（36﹣4t）cm，
又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
∴t＝36﹣4t，解得：t，
∴当t秒时，四边形ABQP是矩形；
④当9≤9≤12时，此时点Q从点B向点C运动，AP＝t（cm），BQ＝（4t﹣36）cm，
又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
∴t＝4t﹣36，解得：t＝12，
∴当t＝12秒时，四边形ABQP是矩形，
综上所述：当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形ABQP是矩形．
题型九、矩形判定与性质综合证明题
1．（2026 南通模拟）平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若△OAB是等边三角形，OC＝3，则四边形ABCD的面积是（　　）
A． B．27 C． D．24
【答案】A
【解析】∵△AOB为等边三角形，∴OA＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∴BD＝AC，
∴平行四边形ABCD为矩形，
在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，AC＝2OC＝6，
∴ABAC＝3，∴BC3，
∴矩形ABCD的面积＝33＝9．故选：A．
2．（2025春 罗庄区期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E，F，连接PB，PD．若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积是　 　 ．
【答案】3．
【解析】∵点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，作PM⊥AD于M，交BC于N，
则有四边形AEPM是矩形，四边形DFPM是矩形，四边形CFPN是矩形，四边形BEPN是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S矩形EPNB＝S矩形DMPF＝1×3＝3，
∴，
∴S阴影＝1.5+1.5＝3，故答案为：3．
3．（2025春 海淀区校级月考）四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连接AC、EF，已知∠BAC＝90°，，AC＝AD＝CD＝4，则EF的长为 　　 ．
【答案】．
【解析】四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，∠BAC＝90°，，AC＝AD＝CD＝4，如图，作DH⊥BA交BA延长线于点H，作DG⊥AC于点G，连接BD，
∵DH⊥BA，DG⊥AC，∠BAC＝90°，
∴四边形AGDH是矩形，∴DH＝AG，
设DH＝AG＝x，则CG＝AC﹣AG＝4﹣x，
在Rt△ADG中，由勾股定理得：DG2＝AD2﹣AG2＝42﹣x2，
在Rt△DGC中，由勾股定理得：DG2＝CD2﹣CG2＝42﹣（4﹣x）2，
∴42﹣x2＝42﹣（4﹣x）2，解得x＝2，∴DH＝AG＝2，
在Rt△DGC中，由勾股定理得：，
∴，
在Rt△BHD中，由勾股定理得：，
∵E、F分别是BC、CD的中点，∴，故答案为：．
4．（2025春 杭州期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，BE＝CF．
（1）求证： ABCD是矩形．
（2）若OD＝13，CF＝12，求BF的长．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠BEO＝∠CFO＝90°，
∵∠BOE＝∠COF，BE＝CF，
∴△BOE≌△COF（AAS），
∴OB＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AO＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
（2）解：∵OD＝13，
∴OB＝OC＝OD＝13，
∵CF＝12，
∴OF5，
∴BF＝OB+OF＝18．
5．（2025春 杭州校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E、F分别是CD、BC的中点，连接EF．
（1）求证：四边形OEFB是矩形；
（2）若AD＝8，DC＝12，求四边形OEFB的面积．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∵点E、F分别是CD、BC的中点，
∴OE、EF都是△BCD的中位线，
∴OE∥BC，EF∥BD，
∴四边形OEFB是平行四边形，
∵AD⊥BD且AD∥BC，
∴BC⊥BD，
∴∠CBD＝90°，
∴平行四边形OEFB是矩形；
（2）解：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝8，DC＝12，
∴BC＝AD＝8，AB＝DC＝12，，
∵OE是△BCD的中位线，
∴，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
在直角三角形ABD中，由勾股定理得：，
∴，
∴四边形OEFB的面积为：．
6．（2025春 西湖区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝5，BO＝DO，且AB＝6，BC＝8．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数．
【解析】（1）∵AO＝CO＝5，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝AO+CO＝10，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AB2+BC2＝62+82＝100＝102＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADF：∠FDC＝3：2，∠ADF+∠FDC＝∠ADC，
∴，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．
7．（2026春 鄞州区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若AC＝10，BD＝6，∠ABD＝45°，求矩形OEFG的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵点E为BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
又∵EF⊥CD，∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OB＝OD＝3，
∴∠ODG＝∠ABD＝45°，
由（1）可知，四边形OEFG为矩形，
∴∠OGF＝90°，
∴∠OGD＝90°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∴DG＝OG，
∵OD2＝OG2+DG2，
∴DG＝OG＝3，
∵GC2+GO2＝OC2，
GC2+9＝25，
∴GC＝4，
∴DC＝DG+GC＝3+4＝7，
∴OE，
∴S矩形OEFG＝OG OE＝3，故答案为：．
8．（2026春 鼓楼区校级期中）如图1，已知AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，分别以点A，C为圆心，BC，AB为半径，在BC的上方画弧，两弧相交于点D，连接AD，CD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图2，连接AC，BD，E是边AD上一点，EF⊥AC于点E，EG⊥BD于点G．则EF+EG＝　 　 ．
【解答】（1）证明：由题意可知，AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：设AC、BD交于点O，连接OE，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
OA＝OD，
∴AC10，
∴OA＝OD＝5，△AOD的面积矩形ABCD的面积6×8＝12，
又∵△AOE的面积+△DOE的面积＝△AOD的面积，
∴OA×EFOD×EG＝12，即5×（EF+EG）＝12，
解得：EF+EG＝4.8，故答案为：4.8．
9．（2026春 朝阳区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（4，2），C（4，0），P为矩形ABCO内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形ABCO为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于OA，则称P为矩形ABCO的矩宽点．
例如：如图中的P（，）为矩形ABCO的一个矩宽点．
（1）在点D（，），E（2，1），F（，）中，矩形ABCO的矩宽点是 ；
（2）若G（m，）为矩形ABCO的矩宽点，求m的值．
【解析】（1）∵1，
∴点D是矩形ABCO的矩宽点，
∵（4）+（2）1，
∴点F是矩形ABCO的矩宽点．
故答案为：D和F；
（2）若G（m，）为矩形ABCO的矩宽点，
∴2m+22或2m+2×（2）＝2或2（4﹣m）+22或2（4﹣m）+2×（2）＝2，
解得m＝±或或，
因为G为矩形内的点，
∴m和m不合题意，舍去，
∴m的值为或．
题型十、菱形基本性质（边长、对角线、内角基础计算）
1．（2025 安陆市校级模拟）在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（　　）
A．70° B．40° C．75° D．30°
【答案】A
【解答】解：在菱形ABCD∵∠ABC＝80°，∴∠ABD＝40°．
∵BA＝BE，∴∠BAE70°．故选：A．
2．（2025春 玉环市期中）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM．若AC＝6，BD＝8，则OM的长为（　　）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OA＝OCAC6＝3，OB＝ODBD8＝4，
∴∠AOB＝90°，∴AB5，
∵点M为AB的中点，∴OMAB5，故选：A．
3．（2025春 义乌市校级期中）已知菱形的周长为20，其中一条对角线的为8，则另一条对角线的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解答】解：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且菱形ABCD的周长为20，AC＝8，
∵AB＝AD＝CD＝CB，且AB+AD+CD+CB＝20，∴4AB＝20，∴AB＝5，
∵AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OCAC＝4，∴OD＝OB3，
∴BD＝2OB＝6，∴另一条对角线的长为6，故选：C．
4．（2025春 临平区月考）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCA＝26°时，则∠ADC的度数为（　　）
A．26° B．52° C．128° D．154°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCA＝26°，
∴∠BCD＝2∠BCA＝2×26°＝52°，∠BCD+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BCD＝128°，故选：C．
5．（2025春 德清县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的边长为 　 　 ．
【答案】6．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∴△AOD为直角三角形．
∵OE＝3，且点E为线段AD的中点，∴AD＝2OE＝6．
∴菱形ABCD的边长为6，故答案为：6．
6．（2025春 宁海县期末）如图，BD是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E，交BD于点F，若∠C＝140°，则∠BFA＝　 　 ．
【答案】110°．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C＝140°，∴∠ABC＝40°，∠CBD＝20°，
∵AE⊥BC，∴∠BFE＝70°，∴∠BFA＝110°，故答案为：110°．
7．（2025春 椒江区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接OE，若AB＝5，AC＝8，则OE＝　 　 ．
【答案】3．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝5，AO＝CO＝4，BO＝DO，AC⊥BD，
∴BO3，∴BD＝6，
∵DE⊥AB，BO＝DO，∴OEBD＝3，故答案为：3．
题型十一、菱形性质与勾股定理、面积综合计算
1．（2025春 杭州期中）如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，连结BD．若BD＝24，AD＝13，则CE的长为（　　）
A． B． C．10 D．12
【答案】B
【解答】解：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴，OB＝ODBD＝12，AC⊥BD，AB＝AD＝13，∴∠AOB＝90°，
∴OA5，∴AC＝10，
∵菱形的面积＝AB．CEAC BD，即13×CE10×24，解得：CE，故选：B．
2．（2026春 钱塘区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．48 B．60 C．96 D．192
【答案】C
【解答】解：∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB，
∵DE⊥AB，∴OE＝OB＝OD＝6，
∵AO2＝AB2﹣OB2＝102﹣62，∴AO＝8，∴AC＝16，
∵BD＝12，∴菱形ABCD的面积为：AC BD16×12＝96．故选：C．
3．（2025春 建德市校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
【答案】A
【解答】解：四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OC＝OAAC＝3，OB＝ODBD＝4，∴∠BOC＝90°，
在直角三角形BOC中，由勾股定理得：BC5，
∵AE⊥BC于点E，∴S菱形ABCD＝2S△ABC＝2BC AE＝5AE，
∵S菱形ABCDAC BD＝24，∴5AE＝24，∴AE，故选：A．
4．（2025春 拱墅区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若5BE＝3CD，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则菱形ABCD的面积为 　 　 ．
【答案】24．
【解答】解：∵5BE＝3CD，∴BE：CD＝3：5，
令BE＝3x，CD＝5x，∴OB＝BE+OE＝3x+1
∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝5x，OB＝OD，AC＝2AO，
∵∠DAE＝∠DEA，∴DE＝AD＝5x，∴OD＝DE﹣OE＝5x﹣1，
∴3x+1＝5x﹣1，∴x＝1，
∴OD＝5x﹣1＝4，AD＝5x＝5，
∴AO3，
∵BD＝2OD＝8，AC＝2AO＝6，∴菱形ABCD的面积AC BD6×8＝24．故答案为：24．
5．（2025春 镇海区校级月考）如图，点D，F把线段BH分成三条线段BD，DF，FH，分别以这三条线段为一条对角线作菱形ABCD，菱形DEFG，菱形FMHN，连结CE，EM，MG，GC组成四边形CEMG．若菱形DEFG的边长为17，BH＝44，DF＝30，则四边形CEMG的面积是　　 ．
【答案】296．
【解答】解：连接EG交BH于O，连接AC交BH于K，连接MN交BH于P．设BD＝a，FH＝b．
在菱形ABCD、菱形DEFG、菱形FMHN中，
∴AC⊥BD，EG⊥BH，MN⊥BH，BK＝DKa，PF＝PHb，
∵BH＝44，DF＝30，∴a+b＝14，OD＝OF＝15，
∵EF＝17，∴OE8，∴EG＝16，
∴S四边形ECGM＝S△CEG+S△EGM16×（15a）16×（15b）＝8（15+15ab）＝8×（30+7）＝296，故答案为：296．
6．（2025春 香坊区校级期中）如图，已知AB＝6，分别以A、B两点为圆心，5为半径画弧，两弧交于M、N两点，则四边形AMBN的面积是　 　 ．
【答案】24．
【解答】解：由题意得AM＝MB＝BN＝NA＝5，∴四边形AMBN是菱形，
如图，设MN和AB交于点O，
∴，AB⊥MN，∴，∴MN＝2×4＝8，
∴四边形AMBN的面积是，故答案为：24．
题型十二、菱形性质与角度关系、等腰三角形综合
1．（2025 岳阳县一模）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（　　）
A．64° B．66° C．68° D．70°
【答案】C
【解答】解：作图可得AB＝AD＝BC＝DC，
∴四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠ABD＝∠CBD
由条件可得∠MBC＝∠A＝44°，∴∠CBD68°，故选：C．
2．（2026春 拱墅区校级期中）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，连接CE、BE，且BE＝CD，设∠A＝β，∠DCE＝α，则关系正确的是（　　）
A．α+β＝90° B．2β+3α＝180°
C．2β﹣α＝90° D．3β﹣2α＝180°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且∠A＝β，∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝∠A＝β，AD∥BC，
∵∠DCE＝α，∴∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝β﹣α，
∵BE＝CD，∴BE＝AB＝BC，∴△ABE和△BCE都是等腰三角形，
∴∠BEA＝∠A＝β，∠BEC＝∠BCE＝β﹣α，
∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠BEA＝β，
在△BCE中，∠EBC+∠BEC+∠BCE＝180°，
∴β+β﹣α+β﹣α＝180°，∴3β﹣2α＝180°．故选：D．
3．（2026春 江北区校级期中）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解答】解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质得∠ADC＝∠ABC＝80°，∠DCE＝80°，∠DHC＝90°，
又∵∠ECM＝30°，∴∠DCF＝50°，
∵DF⊥CM，∴∠CFD＝90°，∴∠CDF＝40°，
又∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ADC，∴∠HDC＝40°，
在△CDH和△CDF中，，∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DH＝DF，∴DB＝2DH＝2．故选：B．
4．（2025春 江阳区校级期中）如图， ABCD中EF垂直平分对角线BD，若∠C＝63°，∠BFE＝50°，则∠ABE＝　　 ．
【答案】37°．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AD∥BC，∠ABC＝180°﹣∠C＝117°，∴∠DEO＝∠BFO，
∵∠DOE＝∠BOF，∴△DOE≌△BOF（AAS），∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形，∴BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE＝50°，∴∠EBF＝80°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBF＝37°，故答案为：37°．
5．（2025春 杭州期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝72°，以点A为圆心，AB为半径画弧线，分别交BC，CD于点F，E，连接AE，AF，EF，BD．
（1）求∠EAF度数；
（2）求证：BD∥EF．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC，∠ADC＝∠ABF＝72°，
由题意得到AF＝AE＝AB，
∴∠AFB＝∠ABF＝72°，
∴∠BAF＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
同理：∠DAE＝36°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴∠BAD＝108°，
∴∠EAF＝108°﹣36°﹣36°＝36°；
（2）证明：∵AE＝AF，∠EAF＝36°，
∴∠AFE＝∠AEF（180°﹣36°）＝72°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABM∠ABC72°＝36°，
∵∠BAF＝36°，
∴∠AMN＝∠ABM+∠BAM＝72°，
∴∠AMN＝∠AFE，
∴BD∥EF．
题型十三、菱形性质与动点、图形拼接、线段关系综合
1．（2025春 西湖区校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，点P从点B出发，沿折线B﹣C﹣D方向移动，移动到点D停止，连结AP，DP．在△DAP形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（　　）
A．①③②③ B．③②①③ C．①③②① D．③②③①
【答案】A
【解答】解：作AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，连接BD、AC、DF，则∠AED＝∠AFB＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，
∴CD＝AD＝AB＝BC，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴∠ADC＝∠ABC＝180°﹣∠BCD＝60°，∴△ADC和△ABC都是等边三角形，
∵∠BAF＝90°﹣∠ABC＝30°，∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAF＝90°，
∴当点P与点B重合时，△DAP为等腰三角形；当点P与点F重合时，△DAP为直角三角形；
当点P与点C重合时，△DAP为等边三角形；当点P与点E重重时，△DAP为直角三角形，故选：A．
2．（2025春 慈溪市校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，点G、E、F分别是BD、AB、AD上的点，若GE+GF＝3，则AE+AF的值是　 　 ．
【答案】．
【解答】解：连接AC，过A作AM⊥BC于M，在BC上截取BK＝BE，连接GK，
∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠CBD，BC＝BA，BC∥AD，
在△BGK与△BGE中，，∴△BGK≌△BGE（SAS），∴GK＝GE，∠BEG＝∠BKG，
∵GF+GE＝3，∴GF+GK＝3，∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，
∴，∴GF+GK＝AM，∴F、G、K共线，且FK⊥BC，∴∠BEG＝∠BKG＝90°，
∵AD∥BC，∴FK⊥AD，∴∠GFD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，∴，
∴，∴，
∴；故答案为：．
3．（2025春 嵊州市期末）如图，菱形ABCD的边长为5，点E在边AB上，连结CE，过点D作DF⊥CE于点F，CE，DF将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若EC＝DF+2，则线段AE的长度为 　 　 ．
【答案】．
【解答】解：由题中的两个图可得：EF＝CF，
如图1，过点D作DM⊥AB于点M，过点C作CN⊥AB于N，连接DE，
设DF＝2x，AM＝a，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝AB＝BC＝5，AD∥BC，CD∥AB，
∵EF＝CF，DF⊥CE，∴CD＝DE＝5，∴AD＝DE，
∵DM⊥AB，∴AM＝EM＝a，
∵EC＝DF+2＝2x+2，∴CF＝x+1，
在Rt△DFC中，DF2+CF2＝CD2，∴（2x）2+（x+1）2＝52，
∴5x2+2x﹣24＝0，解得：x1＝2，x2（舍），∴CE＝6，
∵CD∥AB，DM⊥AB，CN⊥AB，∴∠DMN＝∠N＝∠NCD＝90°，
∴四边形DMNC是矩形，∴CD＝MN＝5，∴EN＝5﹣a，
∵DM2＝CN2，∴AD2﹣AM2＝CE2﹣EN2，
∴52﹣a2＝62﹣（5﹣a）2，∴a，∴AE＝2a，故答案为：．
4．（2025春 杭州校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），PE∥BC，PF∥DC，AP＝a，PF＝b，PE＝c，则a，b，c满足的数量关系式为 ．
【答案】a2＝b2﹣bc+c2．
【解答】解：如图，连接PC，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
在△APD和△CPD中，，∴△APD≌△CPD（SAS），∴AP＝CP＝a，
∵PE∥BC，PF∥DC，∴四边形PECF是平行四边形，∴PE＝CF＝c，
∵AB∥CD，∴PF∥AB，∴∠PFC＝∠ABC＝60°，
∵PH⊥BC，∴∠FPH＝30°，
∴FHPF，PHb，∴CH＝FH﹣CFc，
∵PC2＝CH2+PH2，∴a2＝（c）2+（b）2，∴a2＝b2﹣bc+c2．故答案为：a2＝b2﹣bc+c2．
题型十四、菱形判定（定义、定理直接判断）
1．（2025春 舟山期末）已知在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是（　　）
A．AD＝AB B．∠ADB＝∠CDB C．OA＝OB D．AC⊥BD
【答案】C
【解答】解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形判定 ABCD是菱形，故A不符合题意；
B、由四边形ABCD是平行四边形，推出AB∥CD，得到∠ABD＝∠CDB，因此∠ABD＝∠ADB，得到AB＝AD，判定 ABCD是菱形，故B不符合题意；
C、由四边形ABCD是平行四边形，推出AC＝2OA，BD＝2OB，得到AC＝BD，判定 ABCD是矩形，不一定是菱形，故C符合题意；
D、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定 ABCD是菱形，故D不符合题意．故选：C．
2．（2026春 鼓楼区校级期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则添加下列条件，能使四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．∠A＝90° B．AC⊥BD C．AC＝DB D．CD＝AB
【答案】B
【解答】解：∵在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，四边形内角和为360°，
∴2（∠A+∠B）＝360°，即∠A+∠B＝180°，可得AD∥BC，同理可得AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
对各选项分析如下：
选项A：若∠A＝90°，平行四边形ABCD是矩形，不能判定为菱形；
选项B：AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故平行四边形ABCD是菱形，符合要求；
选项C：若AC＝DB，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定为菱形；
选项D：平行四边形对边本来相等，CD＝AB是平行四边形的固有性质，无法判定为菱形，故选：B．
3．（2025 广州校级二模）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　）
A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB＝AC
C．∠A＝90° D．点D为BC的中点
【答案】A
【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，
如图，连接AD，
∴三角形ADE和三角形ADF的面积相等，
∴当点D在∠BAC的平分线上，点D到AE，AF的距离相等，∴AF＝AE，∴平行四边形AFDE是菱形；
B，D不能得平行四边形AFDE是菱形；C能得平行四边形AFDE是矩形；故选：A．
4．（2025春 颍上县期末）在如图的方格纸中有一个四边形ABCD（A，B，C，D四点均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长都为1，则关于四边形ABCD的以下说法，错误的是（　　）
A．四边形ABCD是菱形 B．边长
C．四边形ABCD的面积是12 D．∠ABC＝∠ADC＝60°
【答案】D
【解答】解；∵方格纸中每个小正方形的边长都为1，
由勾股定理得：，故B说法正确，该选项不符合题意；
∴四边形ABCD是菱形，故A说法正确，该选项不符合题意；
∵AC＝4，BD＝12，∴，故C说法正确，该选项不符合题意；
∵AB＝BC≠AC，∴△ABC不是等边三角形，∴∠ABC＝∠ADC≠60°，
故D说法错误，该选项符合题意；故选：D．
5．（2025春 炎陵县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，从①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD是菱形，则应选择　 　 （限填序号）．
【答案】①③．
【解答】解：添加条件①时，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，故①符合题意；
添加条件②时，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴不能得到四边形ABCD是菱形，故②不符合题意；
添加条件③时，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故③符合题意；
故答案为：①③．
6．（2025春 中山市期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝4，BD＝2，，求证： ABCD是菱形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OCAC＝3＝2，OBBD＝1，
∵OB2+OC2＝12+22＝5＝BC2，
∴∠BOC＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形．
7．（2025春 渭城区校级月考）求证：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．
如图，已知① ，垂足为O，OA＝OC，OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA．
求证：②　 　 ．
嘉琪同学画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你帮助嘉琪补全已知和求证，并写出证明过程．
【解答】解：已知：AB⊥BD，垂足为O，OA＝OC，OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA．
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：①AB⊥BD，②四边形ABCD是菱形．
题型十五、菱形判定（条件添加、方案判断、说理）
1．（2025春 广阳区校级期中）在平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠BAC＞90°．要求在边BC，AD上分别找到点M，N，使四边形AMCN是菱形．下面有两种方案，下列判断正确的是（　　）
A．只有方案I可行 B．只有方案Ⅱ可行
C．方案I、Ⅱ都可行 D．方案I、Ⅱ都不可行
【答案】A
【解答】解：方案I：设AC与MN相交于点O，
∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AM＝MC，AN＝NC，CO⊥MN，
∴∠DAC＝∠NCA，∠COM＝∠CON＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠MCO＝∠NCO，
∵OC＝OC，∴△OCM≌△OCN（ASA），∴CM＝CN，
∴CM＝CN＝AM＝AN，∴四边形AMCN为菱形；
方案II：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，
∵AM平分∠BAD，AN平分∠BCD，∴∠BAM＝∠DCN
在△BAM和△DCN中，，∴△BAM≌△DCN（ASA），∴∠BMA＝∠DNC，
∵AD∥BC，∴∠BMA＝∠DAM，∴∠DNC＝∠DAM，∴AM∥CN，
∴四边形AMCN为平行四边形，不能判断四边形AMCN为菱形；
综上所述，只有方案I可行，故选：A．
2．（2025春 安定区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，分别延长AD，CB至点F、E，使BE＝DF，连接AE、CF，请再添加一个条件： 　 ，使四边形AECF是菱形．
【答案】AE＝EC（答案不唯一）．
【解答】解：AE＝EC（答案不唯一）．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，∴CE＝AF，∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝EC，∴四边形AECF是菱形，故答案为：AE＝EC（答案不唯一）．
3．（2025春 仁和区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作 CDEB，当AD＝ 　　 ， CDEB为菱形．
【答案】．
【解答】解：如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB10，
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB．
∵AB OCAC BC，∴OC．∴OB，
∴AD＝AB﹣2OB，故答案为：．
4．（2025春 海珠区校级期中）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为菱形，则四边形ABCD需满足的条件是 ．
【答案】AB＝CD．
【解答】解：四边形ABCD需满足的条件是AB＝CD，
理由：∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，
∴AE＝DE，BN＝DN，AM＝CM，BF＝CF，
∴EN、NF、FM、EM分别为△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线，
∴EN＝FMAB，FN＝EMCD，∴四边形EMFN为平行四边形，
当EN＝FN，即AB＝CD，则此时平行四边形EMFN是菱形，故答案为：AB＝CD．
5．（2025春 开州区期中）爱学习的小月在学习平行四边形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是菱形的方法，她的想法是过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，如果这个顶点到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
（1）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，用尺规过点A作BC垂线，交BC于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，AF＝AE．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
证明：∵AF⊥BC，AE⊥DC，
∴∠AFB＝90°，∠AED＝90°．
∴①　 ．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴②　 ．
在△ABF与△ADE中
∴△ABF≌△ADE（AAS）
∴④ ．
∵四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交，结论仍然成立．因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线）相交，如果这个顶点⑤　 　 ．
【解答】解：（1）如图：点F即为所求；
（2）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，AF＝AE．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
证明：∵AF⊥BC，AE⊥DC，∴∠AFB＝90°，∠AED＝90°．∴∠AFB＝∠AED．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D．
在△ABF与△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（AAS），∴AB＝AD．
∵四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形．
小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交，结论仍然成立．
因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，该点到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．
故答案为：∠AFB＝∠AED，∠B＝∠D，AB＝AD．AE＝AF，到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．
题型十六、菱形判定（动点、坐标系、存在性问题）
1．（2025春 盖州市期中）如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动，在此运动过程中，四边形PQCD是平行四边形出现　 　 次．当P出发　 　 秒时，四边形PQCD是菱形．
【答案】3，6．
【解答】解：由已知可得，P从A到D需12s，Q从C到B（或从B到C）需4s，
设P，Q运动时间为ts，
①当0≤t≤4时，四边形CQPD是平行四边形时，如图：
此时PD＝CQ＝3tcm，∴t+3t＝12，解得t＝3，∴t为1.5s或3s时，PQ＝CD；
②当4＜t≤8时，若四边形CQPD是平行四边形，如图：
此时BQ＝3（t﹣4）cm，AP＝tcm，
∵AD＝BC，PD＝CQ，∴BQ＝AP，∴3（t﹣4）＝t，解得t＝6；
③当8＜t≤12时，若四边形CQPD是平行四边形，如图：
此时CQ＝3（t﹣8），PD＝12﹣t，∴3（t﹣8）＝12﹣t，解得t＝9，∴t为9s时，PQ＝CD；
综上所述，t为1.5s或3s或6s或9s时，四边形CQPD是平行四边形；
当PD＝CD时，即12﹣t＝6，解得t＝6，∴P出发6秒时，四边形PQCD是菱形．故答案为：3，6．
2．（2025 泰和县校级模拟）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（﹣3，0），AD＝6．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线AB上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为 　 　 ．
【答案】（3，8）或或．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∵A（0，4），B（﹣3，0），AD＝6，∴OB＝3，OC＝3，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（0，4），B（﹣3，0）代入，解得：，
∴直线AB的解析式为，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，，
所以点F与B重合，即F1（﹣3，0），由题意舍去，
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，
∴M在射线AD上，且AD垂直平分FC，∴F2（3，8）；
③AC是对角线时，作AC垂直平分线交射线AB于点F3，设，
∵A（0，4），C（3，0），∴AC的中点，
∵AN2+NF2＝AF2，∴，
解得：，∴，
④AF是对角线时，AF的垂直平分线经过点C，设，
∵A（0，4），C（3，0），∴AF的中点，
在Rt△AGF中，AG2+CG2＝AC2，∴，
解得：或m＝0（不合题意舍去），∴，
综上，点F的坐标为（3，8）或或．
故答案为：（3，8）或或．
3．（2025春 大洼区校级月考）如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，∠ACB＝60°，将△DBC沿着BC的方向以每秒2cm的速度运动得到△DFE（如图②），连接AF，CD．
（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；
（2）若AC＝4cm，BC＝10cm，设运动时间为t秒，当t为何值时， AFDC是菱形？请说明你的理由．
【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，AB＝DE．
根据平移的性质得到：BF＝EC．
在△ABF与△DEC中，，
∴△ABF≌△DEC（SAS），
∴AF＝CD，∠AFB＝∠DCE，
∴∠AFC＝∠DGF，
∴AF∥DC，
∴四边形AFDC是平行四边形；
（2）解：当t＝3秒时，四边形AFDC是菱形，理由如下：
∵t＝3，
∴CF＝10﹣3×2＝4（cm），
∵AC＝4cm，
∴CF＝AC，
∵ACB＝60°，
∴△ACF是等边三角形，
∴AF＝AC，
∵四边形AFDC是平行四边形，
∴四边形AFDC是菱形．
4．（2025春 南平校级期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝100cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）用t的代数式表示：AE＝　 ，DF＝　 ；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：CD＝4tcm，AE＝2tcm，
∵DF⊥BC，
∴∠DFC＝90°，
∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝30°，
∴DFCD＝2tcm，
故答案为：4tcm，2tcm；
（2）四边形AEFD能够成为菱形，理由如下：
由（1）得：AE＝DF，
∵∠B＝∠DFC＝90°，
∴DF∥AE，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
若 AEFD为菱形，则AE＝AD，
∵AC＝100，CD＝4t，
∴AD＝100﹣4t，
∴2t＝100﹣4t，
∴，
∴当时，四边形AEFD能够成为菱形．
题型十七、菱形判定（几何证明题）
1．（2026 秦淮区一模）如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，F是边BC上一点，EF∥CD．求证：四边形ABFE是菱形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠FBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
2．（2025春 大丰区期中）已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是菱形．
【解答】证明：∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OCAC，OBBD，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∴四边形OBEC是菱形．
3．（2024秋 万安县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．求证：四边形ADCF是菱形．
【解答】证明：在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴ADBC＝BD＝CD，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AFE和△DBE中，，
∴△AFE≌△DBE（ASA），
∴AF＝BD＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD＝DC，
∴四边形ADCF是菱形．
4．（2025春 长宁区校级期中）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H，联结EH、FG．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠BEG＝∠DCE，∠FDH＝∠EBG，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴DF＝FC＝AE＝EB，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE，
∴∠DFH＝∠DCE，
∴∠DFH＝∠BEG，
∴△DFH≌△BEG（ASA），
∴FH＝EG，
∵FH∥EG，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）证明：由（1）知，四边形EGFH是平行四边形．
∵点E、O分别是AB、BD的中点，
∴OE∥AD．
∵AD⊥BD，
∴EF⊥GH．
∴ HEGF是菱形．
5．（2025春 长安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为边AB、AC上的点，DE∥BC，联结BE，点G为BE的中点，联结DG，并延长交边BC于F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）如果∠C＝2∠BEF，求证：四边形DBFE是菱形．
证明：
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，
∴∠DEG＝∠FBG，∠EDG＝∠BFG，DE∥FB，
∵点G为BE的中点，
∴EG＝BG，
在△DEG和△FBG中，，
∴△DEG≌△FBG（AAS），
∴DE＝FB，
∴四边形DBFE是平行四边形；
（2）由（1）知四边形DBFE是平行四边形，
∴BD∥EF，
∴∠ABC＝∠EFC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠EFC＝∠C，
∵∠C＝2∠BEF，
∴∠EFC＝2∠BEF＝∠BEF+∠EBF，
∴∠BEF＝∠EBF，
∴BF＝EF，
∴平行四边形DBFE是菱形．
题型十八、菱形判定与性质综合（概念辨析、基础计算）
1．（2025春 德阳期末）下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相垂直 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．菱形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】D
【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，故选项A不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直平分，故选项C不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项D符合题意；故选：D．
2．（2025春 南岗区校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝6，则四边形CODE的周长为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，AC＝6，∴，
∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为3×4＝12．故选：A．
3．（2025春 扬州期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝3，AF＝2，则四边形ABCD的周长为（　　）
A． B． C．40 D．24
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD；
∵点E，F分别为AD，AO的中点，
∴AO＝2AF＝4，EF是△AOD的中位线，∴OD＝2EF＝6，
∵平行四边形ABCD中，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AB＝AD，∴，
∴菱形ABCD的周长．故选：B．
4．（2026 长宁区二模）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，其上有一个四边形ABCD（A、B、C、D均为格点），那么下列说法中正确的是（　　）
A．四边形ABCD是菱形 B．四边形ABCD的周长是
C．四边形ABCD的面积是6 D．∠ABC＝∠ADC＝45°
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AD，BC＝CD2，
∵2，∴AB≠BC，∴四边形ABCD不是菱形，故A不符合题意；
四边形ABCD的周长是AB+AD+BC+CD＝42，故B不符合题意；
∵AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积是AC BD3×4＝6，故C符合题意，
∵∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠ABC＝∠ADC＞45°，故D不符合题意，故选：C．
题型十九、菱形判定与性质综合（多结论判断题）
1．（2025 北京模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBOS菱形ABCD中，正确的结论个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC＝CD，AD∥BC，BD＝2DO，
又∵BE＝CD，∴AD＝BE，∴四边形ADBE是平行四边形，
当BD＝AD时，四边形ADBE为菱形，故③不正确，
∴AE＝BD，∴AE＝2DO，故①正确；
∵四边形ADBE是平行四边形，四边形ABCD是菱形，
∴AE∥BD，AC⊥BD，∴AE⊥AC，即∠CAE＝90°，故②正确；
∵四边形ADBE是平行四边形，∴S△ABE＝S△ABDS菱形ABCD，
∵四边形ABCD是菱形，∴S△ABOS菱形ABCD，
∴S四边形AEBO＝S△ABE+S△ABOS菱形ABCD，故④正确；
正确的结论个数有3个，故选：C．
2．（2025春 黄山期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接AE，则下列结论：①AC⊥AE；②△DEG≌△ABG；③OG∥AB；④四边形ABDE是菱形．其中正确的有（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD，
∵CD＝DE，∴DE＝AB，∴四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥AE，∴AC⊥AE，故①正确；
∵四边形ABDE是平行四边形，∴AG＝DG，BG＝EG，
在△DEG和△ABG中，，∴△DEG≌△ABG（SSS），故②正确；
∵四边形ABDE是平行四边形，四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AG＝GD，∴OD是△ABD中位线，∴OG∥AB，故③正确；
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，
∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB，
∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD＝AE，AB＝DE，
∴BD＝AE＝AB＝DE，∴四边形ABDE是菱形，故④正确，
综上所述，正确的是①②③④，故选：A．
3．（2025春 阿城区期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③S平行四边形ABCD＝4S△BFG；④若AB＝6，AD＝4，那么．其中所有正确结论的序号是 　　 ．
【答案】①②③．
【解答】解：①∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，
∴四边形DEBF为平行四边形，∴DE∥BF，故①正确．
②由①知四边形DEBF为平行四边形，
∵AD⊥BD，E为边AB的中点，∴DE＝BE＝AE，∴四边形BEDF是菱形，故②正确．
④∵AG∥DB，AD∥BG，AD⊥BD，
∴四边形AGBD为矩形，∴AD＝BG＝BC，
∵AB＝6，AD＝4，∴BF＝DF＝CF＝3，BC＝4，∴CG＝8，
∵CG2﹣CF2＝82﹣32＝55＝FG2，∴∠CFG＝90°，∴FG⊥CD，
要使FG⊥CD，则BF＝BC＝BG，而BF＝3，BC＝BG＝4，
∴BFCG，∴FG⊥AB不恒成立，∴不成立，故④错误．故④不正确．
③由④知BC＝BG，∴S△BFGS△BFGS△FCG，
∵F为CD中点，∴S△FCGS平行四边形ABCD，∴S△BFGS平行四边形ABCD，故③正确．
综上可得：①②③正确．故答案为：①②③．
题型二十、菱形判定与性质综合（几何证明 + 计算）
1．（2026春 天山区校级期中）如图，在Rt△ABF中，∠FAB＝90°，∠F＝30°，E，D分别是AF，BF的中点，连接ED并延长到点C，使CD＝2DE，连接BC，AD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，求菱形ABCD的周长．
【解答】（1）证明：设DE＝a，
∴CD＝2DE＝2a，
∵点E，D分别是AF，BF的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴AB＝2DE＝2a，DE∥AB，
∴CD＝AB＝2a，
∵点C在ED的延长线上，
∴CD∥AB，
又∴CD＝AB＝2a，
∴四边形ABCD是平行四边形；
在Rt△ABF中，∠FAB＝90°，∠F＝30°，
∴BF＝2AB＝4a，
∵点D是BF的中点，
∴AD是Rt△ABF斜边BF上的中线，
∴AD＝BD＝FDBF＝2a，
∴AD＝AB＝2a，
∴平行四边形ABCD是菱形，
（2）解：由（1）可知：设DE＝a，菱形ABCD的边长为2a，BD＝2a，
∴菱形ABCD的周长为：8a，
又∵BD，
∴2a，∴a，
∴菱形ABCD的周长为：8a．
2．（2026 大兴区一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，CD∥AB，点E，F分别为AC，BC的中点，DE∥CF．
（1）求证：四边形EFCD为菱形；
（2）若∠ADC＝90°，EF＝2，求AD的长．
【解答】（1）证明：∵点E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线．
∴EF∥AB，且EFAB．
∵CD∥AB，
∴EF∥CD．
又∵DE∥CF，
∴四边形EFCD为平行四边形．
∵AB＝BC，
∴EFBC．
∵F为BC的中点，
∴CFBC．
∴CF＝EF．
∴四边形EFCD为菱形；
（2）由（1）知，四边形EFCD为菱形，则DC＝DE＝EF＝2．
∵∠ADC＝90°，点E为AC的中点，
∴AC＝2DE＝4．
在直角△ACD中，利用勾股定理知：AD2．
3．（2025春 台江县校级期中）如图，在矩形ABCO中，延长AO到D，使DO＝AO，延长CO到E，使EO＝CO，连接AE、ED、DC、AC．
（1）求证：四边形AEDC是菱形；
（2）连接EB，若AE＝4，∠AED＝60°，求AEDC的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCO是矩形，
∴∠AOC＝90°，即AO⊥CO，
又∵DO＝AO，EO＝CO，
∴四边形AEDC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵AD⊥CE（已证AO⊥CO，DO＝AO，EO＝CO，即对角线互相垂直 ），
∴四边形AEDC是菱形；
（2）解：∵四边形AEDC是菱形，
∴AE＝ED，
又∵∠AED＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴AD＝AE＝4，
∴OA＝OD＝2，
∴∠AEO＝∠DEO＝30°，
∴，
∴，
∴菱形AEDC的面积．
4．（2026 新泰市一模）如图，已知△ABC，按以下步骤作图：
①分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②作直线MN，交BC于点G，交AB于点Q；
③以点A为圆心，AG长为半径作弧，交直线MN于点P，连接AP，BP．
（1）判断四边形APBG是何种特殊四边形，并说明理由；
（2）若AG＝13，PG＝10，求AB的长．
【解答】解：（1）四边形APBG是菱形，理由如下：
由作图知MN垂直平分AB，AP＝AG，
∴BG＝AG，BP＝AP，
∴AP＝BP＝AG＝BG，
∴四边形APBG是菱形；
（2）∵四边形APBG是菱形，
∴AQ⊥PG，，，
在Rt△AQG中，AQ2+QG2＝AG2，
∴AQ2＝132﹣52＝144，
∴AQ＝12，
∴AB＝2AQ＝2×12＝24．
5．（2025春 保山期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O在BD上，过点O作EF⊥BD分别交BC，AD于点E和点F，且BF∥DE．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若菱形BEDF的周长是32，BD+EF＝20，求OF OD的值．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，BF∥DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）解：∵菱形BEDF的周长是32，
∴FD＝32÷4＝8，BD＝2OD，EF＝2OF，
∵BD+EF＝20，
∴2OD+2OF＝20，
∴OD+OF＝10，
∴（OD+OF）2＝102，
∴OD2+OF2+2OD OF＝100，
∵EF⊥BD，
∴△DOF是直角三角形，
由勾股定理得：OD2+OF2＝DF2＝82＝64，
∴64+2OD OF＝100，
∴OD OF＝18．
6．（2025春 通辽期末）课本再现
思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（1）定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：如图1，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
（2）知识应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求证：平行四边形ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若，求CE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝CB，
∵BD⊥AC，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AB＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵AD2＝52＝32+42＝OA2+OD2，
∴∠AOD＝90°，
∴BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，
∴∠ACD＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠E+∠COE，
∴∠ACD＝∠E+∠COE，
∵，
∴∠ACD＝2∠E，
∴∠COE＝∠E，
∴OC＝CE，
由①得OC＝4，
∴CE＝4．
题型二十一、正方形基础性质辨析（与矩形、菱形对比）
1．（2026春 兴化市期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．对角线相等
C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直
【答案】D
【解答】解：根据正方形和矩形的性质对比分析：
①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻边不相等；
②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角；
③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个特征；
综上所述，只有选项D正确，符合题意，故选：D．
2．（2026春 西城区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．有一个角是直角的矩形是正方形
【答案】C
【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，是假命题，不合题意；
B、一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形，是假命题，不合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意；
D、有一个角是直角的矩形是正方形，是假命题，不合题意；故选：C．
3．（2026春 海淀区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，则下列说法中错误的是（　　）
A．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形
B．若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形
C．若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形
D．若AB＝BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形
【答案】D
【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，A选项正确，故本选项不符合题意；
∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，B选项正确，故本选项不符合题意；
∵AB⊥BC，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，
∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形，
∴平行四边形ABCD是正方形，C选项正确，故本选项不符合题意；
∵AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形，
∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴都只能证明平行四边形ABCD是菱形，D选项错误，故本选项符合题意．故选：D．
4．（2026春 玄武区校级期中）如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD（AB＞AD）的四条边上，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH．下列关于四边形EFGH的说法正确的是（　　）
①存在无数个四边形EFGH是平行四边形；②存在无数个四边形EFGH是菱形；
③存在无数个四边形EFGH是矩形；④存在无数个四边形EFGH是正方形
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
过点O直线EG和HF，分别交AB，BC，CD，AD于E，F，G，H，
则四边形EFGH是平行四边形，故存在无数个四边形EFGH是平行四边形；故①正确；
②如图，当EG＝HF时，四边形EFGH是矩形，故存在无数个四边形EFGH是矩形；故②正确；
③如图，当EG⊥HF时，存在无数个四边形EFGH是菱形；故③正确；
④当四边形EFGH是正方形时，EH＝EF，则△AEH≌△BFE（AAS），∴AH＝BE，AE＝BF，
∵BF＝DH，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，
当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形，故④错误；故选：C．
题型二十二、正方形边长、对角线、面积基础计算
1．（2026春 房山区期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若，则正方形ABCD的周长为（　　）
A． B．4 C． D．8
【答案】B
【解答】解：AB＝BC＝a（正方形的边长），且已知对角线，
代入公式得：，2a2＝2，a2＝1，
∵边长a必须是正数，∴解得a＝1．周长＝4×a＝4×1＝4．故选：B．
2．（2026春 普陀区期中）如果正方形的一条对角线长为，那么它的面积是　　 ．
【答案】3．
【解答】解：正方形的面积是3．故答案为：3．
3．（2026春 闵行区期中）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，作EF⊥AB于点F，连接DE，若BC＝11，BF＝5，则DE的长为　　 ．
【答案】．
【解答】解：连接BE，四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝11，∠EAF＝45°，
∵EF⊥AB，∴EF＝AF＝AB﹣BF＝11﹣5＝6，BE，
∵正方形ABCD关于AC对称，∴DE＝BE．故答案为：．
4．（2026春 海淀区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且C（0，﹣4），D（b，﹣2），则正方形ABCD的面积是　　 ．
【答案】20．
【解答】解：过点D作DE⊥OC于点E，则OC＝2，OE＝2，
∴CE＝OC﹣OE＝4﹣2＝2，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠CED＝90°，BC＝CD，
∴∠BCO+∠OCD＝∠CDE+∠OCD＝90°，∴∠BCO＝∠CDE，
∴△OBC≌△ECD（AAS），∴DE＝OC＝4，
∴正方形ABCD的面积是CE2+DE2＝22+42＝20，故答案为：20．
5．（2025春 城厢区校级期中）用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝5，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为　　 ．
【答案】5．
【解答】解：如图1，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，
∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝CB＝AC＝5，
如图2，连接AC，
∵正方形ABCD与菱形ABCD的边长相等，∴AB＝CB＝5，∠B＝90°，
∴ACAB＝5，故答案为：5．
题型二十三、正方形性质与角度计算综合
1．（2026春 东西湖区期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，
∴∠BAD＝90，∠DAE＝60°，AB＝AD，AD＝AE，∴∠BAE＝150°，AB＝AE，
∴∠AEB＝∠ABE（180°﹣150°）＝15°．故选：B．
2．（2026春 江阴市期中）两个正方形按如图所示位置摆放，若∠2＝65°，则∠1＝　 　 ．
【答案】155°．
【解答】解：如图，
由题意可知，∠4+∠2＝∠3+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，
∴∠3＝∠2＝65°，∠5＝25°，∴∠1＝180°﹣25°＝155°，故答案为：155°．
3．（2026春 韩城市期中）如图，在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB＝AE，连接DE，DF，若∠EAB＝30°，求∠DFE的度数．
【解答】解：∵在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB＝AE，
∴AD＝AE＝EF，∠DAB＝∠AEF＝90°，
∵∠EAB＝30°，
∴∠DAE＝90°﹣∠EAB＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DEA＝60°，DE＝AE＝EF，
∴∠DEF＝30°，
∴．
4．（2026春 吴忠期中）如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；
（2）若BD＝8cm，求线段BE的长．
【解答】解：（1）四边形ACED是平行四边形．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
即AD∥CE，
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）由（1）知，BC＝AD＝CE＝CD，
∵BD＝8cm，
∴BCBD8＝4cm，
∴BE＝BC+CE＝448cm．
题型二十四、正方形性质与实际应用、图形拼接
1．（2026春 临安区期中）学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为2.1m的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高2m，宽0.9m，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（　　）
A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门
C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门
【答案】C
【分析】利用勾股定理求出长方形门框的对角线长，再与正方形大理石的边长进行比较即可得到结论．
【解答】解：斜着沿门框对角线能进门，
理由：∵2.5（m），∵2.1＜2.19，∴斜着沿门框对角线能进门，故选：C．
2．（2026春 秦淮区期中）将菱形MNPQ、菱形EFGH和正方形ABCD按如图所示的位置摆放，FG与NP间的距离为1cm．已知AB＝EF，则正方形ABCD的面积为（　　）
A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
【答案】D
【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，由题可知AB＝EF＝a．
根据图形摆放的位置关系，可得FG与NP之间的垂直距离为，解得正方形边长a＝4cm．
正方形面积公式为边长的平方，因此正方形ABCD的面积为42＝16cm2，对应选项D．故选：D．
3．（2025春 鄞州区期末）如图1，由5块图形拼成矩形ABCD（其中①，②是正方形），截去①号正方形后，其余4块图形可拼成如图2的正方形EFGH，则下列说法错误的是（　　）
A．四边形ABCD是正方形
B．矩形ABCD的周长是②号正方形周长的2倍
C．③号图形的较长直角边是较短直角边的倍
D．矩形ABCD的周长是正方形EFGH周长的倍
【答案】D
【解答】解：如图：
根据题意可得，两个图中⑤是同一个图形，
即MO＝ER，MN＝EQ，NC＝QT，PC＝ST，MO＝ER，
∵①，②是正方形，∴AK＝AJ＝JL＝KL，JL＝JD＝DN＝LN，
∴AJ＝JD，即①与②是边长相等的两个正方形；
又∵②是正方形，且两个图中②是同一个图形，
故DN＝HW＝QT，∴DN＝HW＝QT＝NC，即DN＝DC，∴AD＝DC，
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第5章 特殊平行四边形全章题型突破
题型一、矩形的基本性质（边角、对角线）
1．（2025春 玉环市期中）矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交所成的锐角是（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
2．（2025春 德清县期中）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠BAC＝∠DAC B．AC⊥BD C．BA＝BO D．
3．（2025春 瑞安市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（﹣2，3），则对角线AC的长度是　　 ．
题型二、矩形性质与勾股定理综合计算
1．（2025春 上城区校级期中）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB＝8，OM＝3，则线段OB的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．1
2．（2026春 东阳市月考）如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，下列哪条线段的长度是方程x2+6x﹣16＝0的其中一个解（　　）
A．线段AE的长 B．线段BE的长
C．线段CE的长 D．线段AC的长
3．（2025春 临海市校级月考）如图，两对全等的直角三角形拼成矩形ABCD，中空的部分是矩形EFGH，连结DE，若点M是GF的中点，BE＝3，AB＝3，AD＝2，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025春 柯桥区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在线段BD上（不与点B，D重合），∠AED＝2∠ADE，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．8
5．（2026春 江北区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为　　 ．
6．（2026春 慈溪市月考）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E是对角线AC上的一点，连接DE，BE，且满足∠AED＝2∠DAE，已知AE＝3CE，则　　 ．
题型三、矩形性质与角平分线、等腰三角形综合
1．（2025春 拱墅区校级期中）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，则∠BAC的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．（2025春 嘉兴期末）如图，在矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC交BC于点E，OF平分∠BOE交BC于点F．若矩形ABCD的周长为定值，则下列线段的长度为定值的是（　　）
A．CF B．BF C．CE D．OF
3．（2025春 奉化区校级期中）如图，矩形ABCD中，ADAB，∠BAD的平分线交BC于点E，DF⊥AE，垂足为F，连接BF，CF，下列结论：
①AD＝AE；②∠DEA＝∠DEC；③DE⊥CF；④BF＝FC；
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025春 宁波期中）如图，AC是矩形ABCD的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，AF与EF的交点为F，则∠AFE的度数是 　　 ．
题型四、矩形的判定（定义、定理直接应用）
1．（2026春 无锡期中）下列说法中，正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对边相等的平行四边形是矩形
2．（2026春 英山县校级期中）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　）
A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直
3．（2026春 鼓楼区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BM＝CM，∠1＝∠2．求证：平行四边形ABCD为矩形．
4．（2025春 杭州校级期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别平分∠BAC和∠CAF，AD交BC于点D，AE＝DC．求证：四边形ADCE是矩形．
5．（2026春 盐都区期中）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，E是AB的中点，AC，DE交于点F，AF＝FC，BF∥CD．求证：四边形BCDF为矩形．
题型五、矩形判定的条件添加与说理题
1．（2025春 临海市期中）如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O．添加下列一个条件，仍不能判定 ABCD是矩形，该条件是（　　）
A．∠AOB＝90° B．∠ABC＝90° C．AC＝BD D．∠OAD＝∠ODA
2．（2025春 广阳区校级期中）如图，在 ABCD中．E为边AB的中点，F为CD上的点．连接BD、DE、BF．
嘉嘉：当DE∥BF时，若AD＝BD，则四边形DEBF为矩形；
淇淇：当∠ADB＝90°时，若BF＝CF，则点F为CD中点．
对于他俩的说法，正确的是（　　）
A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确
C．都正确 D．都不正确
3．（2025春 淄博期末）如图，在 ABCD中，AE⊥BC与点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 　 （写出一个即可）．
4．（2025春 睢宁县期中）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，添加一个适当的条件，使四边形BEDF是矩形，这个条件可以是 　 　 ．（填一个条件即可）
5．（2025春 靖江市校级期末）已知平行四边形ABCD，从①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形ABCD是矩形．选择的条件可以是　 　 ．（写出所有的可能，填写序号即可）
6．（2026春 孝义市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AM为外角∠CAE的平分线，D为底边BC上一点，连接AD，过点C作CF∥AD交AM于点F，连接DF，交AC于点O．
（1）判断四边形ADCF的形状，并说明理由．
（2）在不增加辅助线和字母的前提下，请添加一个条件：　 　 ，使得四边形ADCF为矩形．
7．（2026 鼓楼区一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？
8．（2026春 东阿县月考）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F．
（1）求证：EO＝OF；
（2）连接AE，AF，当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？此时，点O在什么位置？说明理由
题型六、直角三角形斜边上的中线性质
1．（2025春 玉环市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB＝8，则CD的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．（2026春 惠城区期中）如图，将直角三角尺ABC放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则CD的长度为（　　）
A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
3．（2026春 晋安区期中）如图，在Rt△ABC中，D为BC的中点，以DC为斜边作Rt△CDE，F为CD的中点．若EF＝2，则AD的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2025秋 桂林期末）如图，一把长为10m的梯子AB斜靠在墙上，当梯子的顶端沿墙下滑的过程中，梯子的中点C到墙角O的距离变化情况是（　　）
A．变大 B．变小
C．先变小再变大 D．不变
5．（2026春 襄城区校级月考）如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，∠CDE＝56°，则∠DCE的度数是（　　）
A．56° B．62° C．63° D．68°
6．（2025春 临海市期末）直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是 　 　 ．
7．（2026春 海淀区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、F分别是BC、AC的中点，连接AD，点E是边DC的中点，连接EF，若BC＝5，则EF的长为　 　 ．
8．（2025春 惠州月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠A＝30°，BC＝2．
（1）求CD的长．
（2）请直接写出线段BC与线段AB之间的数量关系．
题型七、直角三角形斜边中线与角度、面积综合
1．（2026春 高唐县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，，则BE的值是（　　）
A． B． C．5 D．
2．（2026春 东西湖区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠DCE＝ 　 　 °．
3．（2026春 仓山区期中）如图，以线段AB为斜边向两侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°，E是线段AB的中点，连接CE，DE．若∠CED＝100°，则∠CBD的度数为　 　 ．
4．（2025秋 鼓楼区期中）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长．
5．（2025春 城关区校级期末）如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点．
（1）求证：DE⊥MN；
（2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长．
题型八、矩形中的动点最值问题
1．（2025春 临高县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为AD，CD上的动点，且EF＝2，点P为EF的中点，过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，则线段MN的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2025春 义乌市月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥CB于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．4.8
3．（2025春 云南期末）已知平面直角坐标系中，有两点A（a，0），B（0，b），且满足b4，P为AB上一动点（不与A，B重合），PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为E，F，连接EF，则EF的最小值为（　　）
A． B．3 C．4 D．5
4．（2025春 渭城区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝5，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC以每秒1个单位长度的速度匀速向终点C运动，设运动时间为t秒．下列说法正确的有（　　）
①线段EF的长度先减小后增大；②当时，EF的值最小；③当t＝6时，EF＝5．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（2025春 建华区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，动点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列结论中：
①四边形ABCD是矩形；
②当CD＝4OF时，点E是AB的中点；
③当AB＝3，BC＝4时，线段OF长度的最大值为2；
④当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形，
其中正确的有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025春 西峰区校级期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快　 　 s后，四边形ABPQ成为矩形．
7．（2025春 南关区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为　　 ．
6．（2026 石家庄开学）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm．点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边BC上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止，求经过多长时间，四边形ABQP为矩形？
题型九、矩形判定与性质综合证明题
1．（2026 南通模拟）平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若△OAB是等边三角形，OC＝3，则四边形ABCD的面积是（　　）
A． B．27 C． D．24
2．（2025春 罗庄区期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E，F，连接PB，PD．若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积是　 　 ．
3．（2025春 海淀区校级月考）四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连接AC、EF，已知∠BAC＝90°，，AC＝AD＝CD＝4，则EF的长为 　　 ．
4．（2025春 杭州期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，BE＝CF．
（1）求证： ABCD是矩形．
（2）若OD＝13，CF＝12，求BF的长．
5．（2025春 杭州校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E、F分别是CD、BC的中点，连接EF．
（1）求证：四边形OEFB是矩形；
（2）若AD＝8，DC＝12，求四边形OEFB的面积．
6．（2025春 西湖区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝5，BO＝DO，且AB＝6，BC＝8．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数．
7．（2026春 鄞州区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若AC＝10，BD＝6，∠ABD＝45°，求矩形OEFG的面积．
8．（2026春 鼓楼区校级期中）如图1，已知AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，分别以点A，C为圆心，BC，AB为半径，在BC的上方画弧，两弧相交于点D，连接AD，CD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图2，连接AC，BD，E是边AD上一点，EF⊥AC于点E，EG⊥BD于点G．则EF+EG＝　 　 ．
9．（2026春 朝阳区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（4，2），C（4，0），P为矩形ABCO内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形ABCO为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于OA，则称P为矩形ABCO的矩宽点．
例如：如图中的P（，）为矩形ABCO的一个矩宽点．
（1）在点D（，），E（2，1），F（，）中，矩形ABCO的矩宽点是 ；
（2）若G（m，）为矩形ABCO的矩宽点，求m的值．
题型十、菱形基本性质（边长、对角线、内角基础计算）
1．（2025 安陆市校级模拟）在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（　　）
A．70° B．40° C．75° D．30°
2．（2025春 玉环市期中）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM．若AC＝6，BD＝8，则OM的长为（　　）
A． B．4 C．5 D．
3．（2025春 义乌市校级期中）已知菱形的周长为20，其中一条对角线的为8，则另一条对角线的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2025春 临平区月考）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCA＝26°时，则∠ADC的度数为（　　）
A．26° B．52° C．128° D．154°
5．（2025春 德清县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的边长为 　 　 ．
6．（2025春 宁海县期末）如图，BD是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E，交BD于点F，若∠C＝140°，则∠BFA＝　 　 ．
7．（2025春 椒江区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接OE，若AB＝5，AC＝8，则OE＝　 　 ．
题型十一、菱形性质与勾股定理、面积综合计算
1．（2025春 杭州期中）如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，连结BD．若BD＝24，AD＝13，则CE的长为（　　）
A． B． C．10 D．12
2．（2026春 钱塘区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．48 B．60 C．96 D．192
3．（2025春 建德市校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
4．（2025春 拱墅区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若5BE＝3CD，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则菱形ABCD的面积为 　 　 ．
5．（2025春 镇海区校级月考）如图，点D，F把线段BH分成三条线段BD，DF，FH，分别以这三条线段为一条对角线作菱形ABCD，菱形DEFG，菱形FMHN，连结CE，EM，MG，GC组成四边形CEMG．若菱形DEFG的边长为17，BH＝44，DF＝30，则四边形CEMG的面积是　　 ．
6．（2025春 香坊区校级期中）如图，已知AB＝6，分别以A、B两点为圆心，5为半径画弧，两弧交于M、N两点，则四边形AMBN的面积是　 　 ．
题型十二、菱形性质与角度关系、等腰三角形综合
1．（2025 岳阳县一模）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（　　）
A．64° B．66° C．68° D．70°
2．（2026春 拱墅区校级期中）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，连接CE、BE，且BE＝CD，设∠A＝β，∠DCE＝α，则关系正确的是（　　）
A．α+β＝90° B．2β+3α＝180°
C．2β﹣α＝90° D．3β﹣2α＝180°
3．（2026春 江北区校级期中）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．3
4．（2025春 江阳区校级期中）如图， ABCD中EF垂直平分对角线BD，若∠C＝63°，∠BFE＝50°，则∠ABE＝　　 ．
5．（2025春 杭州期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝72°，以点A为圆心，AB为半径画弧线，分别交BC，CD于点F，E，连接AE，AF，EF，BD．
（1）求∠EAF度数；
（2）求证：BD∥EF．
题型十三、菱形性质与动点、图形拼接、线段关系综合
1．（2025春 西湖区校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，点P从点B出发，沿折线B﹣C﹣D方向移动，移动到点D停止，连结AP，DP．在△DAP形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（　　）
A．①③②③ B．③②①③ C．①③②① D．③②③①
2．（2025春 慈溪市校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，点G、E、F分别是BD、AB、AD上的点，若GE+GF＝3，则AE+AF的值是　 　 ．
3．（2025春 嵊州市期末）如图，菱形ABCD的边长为5，点E在边AB上，连结CE，过点D作DF⊥CE于点F，CE，DF将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若EC＝DF+2，则线段AE的长度为 　 　 ．
4．（2025春 杭州校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），PE∥BC，PF∥DC，AP＝a，PF＝b，PE＝c，则a，b，c满足的数量关系式为 ．
题型十四、菱形判定（定义、定理直接判断）
1．（2025春 舟山期末）已知在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是（　　）
A．AD＝AB B．∠ADB＝∠CDB C．OA＝OB D．AC⊥BD
2．（2026春 鼓楼区校级期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则添加下列条件，能使四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．∠A＝90° B．AC⊥BD C．AC＝DB D．CD＝AB
3．（2025 广州校级二模）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　）
A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB＝AC
C．∠A＝90° D．点D为BC的中点
4．（2025春 颍上县期末）在如图的方格纸中有一个四边形ABCD（A，B，C，D四点均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长都为1，则关于四边形ABCD的以下说法，错误的是（　　）
A．四边形ABCD是菱形 B．边长
C．四边形ABCD的面积是12 D．∠ABC＝∠ADC＝60°
5．（2025春 炎陵县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，从①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD是菱形，则应选择　 　 （限填序号）．
6．（2025春 中山市期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝4，BD＝2，，求证： ABCD是菱形．
7．（2025春 渭城区校级月考）求证：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．
如图，已知① ，垂足为O，OA＝OC，OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA．
求证：②　 　 ．
嘉琪同学画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你帮助嘉琪补全已知和求证，并写出证明过程．
题型十五、菱形判定（条件添加、方案判断、说理）
1．（2025春 广阳区校级期中）在平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠BAC＞90°．要求在边BC，AD上分别找到点M，N，使四边形AMCN是菱形．下面有两种方案，下列判断正确的是（　　）
A．只有方案I可行 B．只有方案Ⅱ可行
C．方案I、Ⅱ都可行 D．方案I、Ⅱ都不可行
2．（2025春 安定区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，分别延长AD，CB至点F、E，使BE＝DF，连接AE、CF，请再添加一个条件： 　 ，使四边形AECF是菱形．
3．（2025春 仁和区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作 CDEB，当AD＝ 　　 ， CDEB为菱形．
4．（2025春 海珠区校级期中）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为菱形，则四边形ABCD需满足的条件是 ．
5．（2025春 开州区期中）爱学习的小月在学习平行四边形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是菱形的方法，她的想法是过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，如果这个顶点到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
（1）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，用尺规过点A作BC垂线，交BC于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，AF＝AE．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
证明：∵AF⊥BC，AE⊥DC，
∴∠AFB＝90°，∠AED＝90°．
∴①　 ．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴②　 ．
在△ABF与△ADE中
∴△ABF≌△ADE（AAS）
∴④ ．
∵四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交，结论仍然成立．因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线）相交，如果这个顶点⑤　 　 ．
题型十六、菱形判定（动点、坐标系、存在性问题）
1．（2025春 盖州市期中）如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动，在此运动过程中，四边形PQCD是平行四边形出现　 　 次．当P出发　 　 秒时，四边形PQCD是菱形．
2．（2025 泰和县校级模拟）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（﹣3，0），AD＝6．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线AB上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为 　 　 ．
3．（2025春 大洼区校级月考）如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，∠ACB＝60°，将△DBC沿着BC的方向以每秒2cm的速度运动得到△DFE（如图②），连接AF，CD．
（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；
（2）若AC＝4cm，BC＝10cm，设运动时间为t秒，当t为何值时， AFDC是菱形？请说明你的理由．
4．（2025春 南平校级期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝100cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）用t的代数式表示：AE＝　 ，DF＝　 ；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
题型十七、菱形判定（几何证明题）
1．（2026 秦淮区一模）如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，F是边BC上一点，EF∥CD．求证：四边形ABFE是菱形．
2．（2025春 大丰区期中）已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是菱形．
3．（2024秋 万安县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．求证：四边形ADCF是菱形．
4．（2025春 长宁区校级期中）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H，联结EH、FG．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．
5．（2025春 长安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为边AB、AC上的点，DE∥BC，联结BE，点G为BE的中点，联结DG，并延长交边BC于F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）如果∠C＝2∠BEF，求证：四边形DBFE是菱形．
证明：
题型十八、菱形判定与性质综合（概念辨析、基础计算）
1．（2025春 德阳期末）下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相垂直 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．菱形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
2．（2025春 南岗区校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝6，则四边形CODE的周长为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
3．（2025春 扬州期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝3，AF＝2，则四边形ABCD的周长为（　　）
A． B． C．40 D．24
4．（2026 长宁区二模）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，其上有一个四边形ABCD（A、B、C、D均为格点），那么下列说法中正确的是（　　）
A．四边形ABCD是菱形 B．四边形ABCD的周长是
C．四边形ABCD的面积是6 D．∠ABC＝∠ADC＝45°
题型十九、菱形判定与性质综合（多结论判断题）
1．（2025 北京模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBOS菱形ABCD中，正确的结论个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025春 黄山期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接AE，则下列结论：①AC⊥AE；②△DEG≌△ABG；③OG∥AB；④四边形ABDE是菱形．其中正确的有（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
3．（2025春 阿城区期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③S平行四边形ABCD＝4S△BFG；④若AB＝6，AD＝4，那么．其中所有正确结论的序号是 　　 ．
题型二十、菱形判定与性质综合（几何证明 + 计算）
1．（2026春 天山区校级期中）如图，在Rt△ABF中，∠FAB＝90°，∠F＝30°，E，D分别是AF，BF的中点，连接ED并延长到点C，使CD＝2DE，连接BC，AD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，求菱形ABCD的周长．
2．（2026 大兴区一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，CD∥AB，点E，F分别为AC，BC的中点，DE∥CF．
（1）求证：四边形EFCD为菱形；
（2）若∠ADC＝90°，EF＝2，求AD的长．
3．（2025春 台江县校级期中）如图，在矩形ABCO中，延长AO到D，使DO＝AO，延长CO到E，使EO＝CO，连接AE、ED、DC、AC．
（1）求证：四边形AEDC是菱形；
（2）连接EB，若AE＝4，∠AED＝60°，求AEDC的面积．
4．（2026 新泰市一模）如图，已知△ABC，按以下步骤作图：
①分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②作直线MN，交BC于点G，交AB于点Q；
③以点A为圆心，AG长为半径作弧，交直线MN于点P，连接AP，BP．
（1）判断四边形APBG是何种特殊四边形，并说明理由；
（2）若AG＝13，PG＝10，求AB的长．
5．（2025春 保山期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O在BD上，过点O作EF⊥BD分别交BC，AD于点E和点F，且BF∥DE．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若菱形BEDF的周长是32，BD+EF＝20，求OF OD的值．
6．（2025春 通辽期末）课本再现
思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（1）定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：如图1，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
（2）知识应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求证：平行四边形ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若，求CE的长．
题型二十一、正方形基础性质辨析（与矩形、菱形对比）
1．（2026春 兴化市期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．对角线相等
C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直
2．（2026春 西城区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．有一个角是直角的矩形是正方形
3．（2026春 海淀区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，则下列说法中错误的是（　　）
A．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形
B．若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形
C．若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形
D．若AB＝BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形
4．（2026春 玄武区校级期中）如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD（AB＞AD）的四条边上，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH．下列关于四边形EFGH的说法正确的是（　　）
①存在无数个四边形EFGH是平行四边形；②存在无数个四边形EFGH是菱形；
③存在无数个四边形EFGH是矩形；④存在无数个四边形EFGH是正方形
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
题型二十二、正方形边长、对角线、面积基础计算
1．（2026春 房山区期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若，则正方形ABCD的周长为（　　）
A． B．4 C． D．8
2．（2026春 普陀区期中）如果正方形的一条对角线长为，那么它的面积是　　 ．
3．（2026春 闵行区期中）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，作EF⊥AB于点F，连接DE，若BC＝11，BF＝5，则DE的长为　　 ．
4．（2026春 海淀区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且C（0，﹣4），D（b，﹣2），则正方形ABCD的面积是　　 ．
5．（2025春 城厢区校级期中）用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝5，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为　　 ．
题型二十三、正方形性质与角度计算综合
1．（2026春 东西湖区期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
2．（2026春 江阴市期中）两个正方形按如图所示位置摆放，若∠2＝65°，则∠1＝　 　 ．
3．（2026春 韩城市期中）如图，在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB＝AE，连接DE，DF，若∠EAB＝30°，求∠DFE的度数．
4．（2026春 吴忠期中）如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；
（2）若BD＝8cm，求线段BE的长．
题型二十四、正方形性质与实际应用、图形拼接
1．（2026春 临安区期中）学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为2.1m的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高2m，宽0.9m，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（　　）
A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门
C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门
2．（2026春 秦淮区期中）将菱形MNPQ、菱形EFGH和正方形ABCD按如图所示的位置摆放，FG与NP间的距离为1cm．已知AB＝EF，则正方形ABCD的面积为（　　）
A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
3．（2025春 鄞州区期末）如图1，由5块图形拼成矩形ABCD（其中①，②是正方形），截去①号正方形后，其余4块图形可拼成如图2的正方形EFGH，则下列说法错误的是（　　）
A．四边形ABCD是正方形
B．矩形ABCD的周长是②号正方形周长的2倍
C．③号图形的较长直角边是较短直角边的倍
D．矩形ABCD的周长是正方形EFGH周长的倍
4．（2025春 阜宁县期中）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形教具边长为10，∠D′＝30°，则四边形A′BCD′的面积为　 　 ．
题型二十五、正方形中线段定值与勾股定理综合
1．（2026春 海淀区校级期中）如图，在正方形ABCD中，点P是CD上任意一点，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为点E，F，若该正方形的面积为50，则PE+PF的值为（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
2．（2026春 昆山市期中）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是BC边上的一点，FG是线段AE的垂直平分线，与正方形的两边CD，AB分别交于点F，G，若，则线段BE的长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2026春 江阴市期中）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且点N恰好是EF的中点．若图中阴影部分面积为3，则AB的长度是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026春 虹口区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD边上一点（与点A、D不重合），联结CE，交BD于点F．当△DEF是等腰三角形时，则AE的长为 　　 ．
题型二十六、正方形性质与全等三角形、多结论判断
1．（2026春 江阴市期中）如图，在正方形ABCD中，点P在DC上，连接PA、PB，作AE⊥PB于点M，交BC于点E，作BF⊥PA于点N，交AD于点F，下列结论正确的个数有（　　）个．
①△ABF≌△DAP；②△ABE≌△BCP；③DP＝CE；④若∠APB＝53°，则∠PFB+∠PEA＝143°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025春 齐齐哈尔校级期中）如图在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③FO＝FG；④四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；⑤2OF2＝EF2；⑥若DF＝3，，则．其中正确的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2025春 北京期末）如图，在矩形ABCD中，点P是对角线AC上任意一点（不与A，C重合），过点P作EF∥AD，MN∥AB，点E，F，M，N分别是边AB，CD，AD，BC上的点．连接BP，DP．设AE＝a，BE＝b，AM＝c，DM＝d．下面四个结论中正确的个数是（　　）
①当AE＝AM时，四边形AEPM是正方形；
②四边形BEPN与四边形DMPF的面积始终相等；
③；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025春 长乐区校级期末）在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝BC，下列四个判断：
①若∠C＝120°，则；
②连接AC，DB，若AC垂直平分DB，则AD＝BC；
③连接AC，作∠DAC＝∠ACB，则四边形ABCD是正方形；
④点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上．
其中正确的序号为 　 　 ．（写出所有正确的序号）
题型二十七、正方形性质与动点最值问题
1．（2026春 江北区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一点，过E作EF⊥AD交BD于点F，取BE的中点G，则GF的最小值为　　 ．
2．（2026春 鼓楼区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝10，E在线段AB上，作射线DE，分别过点A，B，C作DE的垂线，垂足分别为点F，G，H，则AF+BG+CH的最小值为　　 ．
3．（2026春 扬州期中）如图，∠POQ＝45°，A、B是∠POQ的边OP上两定点，OB＝6，OA＝2，E是边OQ上一动点，分别以AB、AE为边作正方形ABCD、正方形AEFG．则线段BG的最小值为 　　 ．
题型二十八、正方形性质与几何证明
1．（2024秋 水城区期末）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，过E点作EF⊥AD于点F，连接AC．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若，求∠DAC的度数．
2．（2025春 西和县期末）问题解决：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
3．（2025春 前郭县期末）如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于点P，CE⊥BP于点E，BP＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）连接AC，延长EC到点F，使CF＝BE，连接PF交BC的延长线于点G，求∠BGP的度数．
题型二十九、正方形判定（条件添加、概念判断）
1．（2026 盘锦校级开学）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（　　）
A．BD＝CD B．DC＝BC C．∠AOB＝60° D．OC＝CD
2．（2026春 金山区校级月考）在四边形ABCD中，对角线交点为O．下列条件能判定四边形是正方形的条件是（　　）
A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AC＝CD，BO＝DO，AB＝BC
3．（2026春 长乐区校级期中）如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥AB．下列四个判断中，不正确的是（　　）
A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果AD＝EF，则四边形AEDF是矩形
C．若AD⊥EF，则四边形AEDF是菱形 D．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是正方形
4．（2026春 长沙月考）请添加一个条件，使得菱形ABCD为正方形，则此条件可以为 　 ．
5．（2026春 徐州月考）在矩形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，对角线AC与BD相交于点O，要使得矩形ABCD是正方形，则还需要增加的一个条件是 （填一个即可）．
6．（2025 尼木县一模）已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件 可使菱形ABCD成为正方形．
7．（2025春 互助县期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC⊥BD，且相交于点O，请你添加一个条件，使其成为正方形： 　 ．
8．（2025春 济源校级期中）如图，四边形ABCD是矩形，则只须补充条件 　 （用字母表示，只添加一个条件），就可以判定四边形ABCD是正方形．
9．（2025春 利通区校级期中）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等，b．一组对边平行且相等，c．一组邻边相等，d．一个角是直角，顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c，则正确的是　 　 ．
题型三十、正方形判定（动点存在性计算）
1．（2025春 康乐县校级月考）如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠DAB＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E、F同时从点O出发在线段AC上以0.5cm/s的速度分别向点A、C运动（点E、F分别到达A、C两点时停止运动），设运动时间为ts．连接DE、DF、BE、BF，当t＝ 　　 时，四边形DEBF为正方形．
2．（2026春 徐州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，过点A作AE平行于BC，且AE＝CD，连接BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形．
（2）当∠ABC＝　　 °时，四边形AEBD是正方形．
3．（2025春 黄石校级期中）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACB的外角∠ACD，过点A作AM⊥CE垂足为M，AN⊥CF垂足为N，连接MN交AC于点O．
（1）求证：AC＝MN；
（2）当线段AC和MN满足什么条件时，四边形AMCN为正方形．
4．（2025春 西宁期末）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接BF，CF．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若BF＝FC，判断四边形ABDF的形状，并说明理由；
（3）当△BFC满足什么条件时，四边形ABDF是正方形？（直接写出条件即可，不要求证明）
题型三十一、正方形判定（几何证明题）
1．（2025春 西安期中）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，将矩形ABCD沿DE折叠，点A的对称点F落在边CD上，连接EF．求证：四边形ADFE是正方形．
2．（2025 湖北模拟）如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，求证：四边形OGCF是正方形．
3．（2025春 镇原县期中）如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．连接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，说明：四边形EGFH是正方形．
题型三十二、正方形与平面直角坐标系综合
1．（2026春 海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，一个正方形的三个顶点坐标分别为（﹣2，1），（1，1），（1，﹣2），则下列坐标表示的点能成为该正方形顶点的是（　　）
A．（1，2） B．（2，﹣1） C．（﹣2，2） D．（﹣2，﹣2）
2．（2025春 丹徒区期中）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接AB，△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D．
（1）∠APB＝ 　 　 °；
（2）①求证：四边形OCPD是正方形；
②若OA＝AC＝3，求点B的坐标．
题型三十三、正方形与三角形内心、角平分线综合
1．（2025春 巴中期末）三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这个点叫作三角形的内心，如图，在Rt△ABC中，点P是△ABC内心，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12．PD⊥BC于点D，则AP的长是（　　）
A． B． C．4 D．2
2．（2025 东莞市三模）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积．
3．（2025春 靖江市校级月考）如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若正方形ABCD的面积为32，BF＝1，求点F到线段AE的距离．
题型三十四、正方形与 45° 角、翻折变换综合
1．（2025春 海陵区校级月考）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．若BD＝a，AD＝b，则CD的长为　　 ．（用含有a，b的代数式表示）
2．（2025秋 高新区校级期中）如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝　　 °时，四边形BECF是正方形；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 　　 ．
3．（2025春 宿城区期中）如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．
小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线AB，AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于点G．
请按照小明的思路，探究并解答下列问题：
（1）求证：四边形AEGF是正方形．
（2）若AD＝6，BD＝2，则DC＝　　 ．
题型三十五、正方形判定与性质综合（定值探究）
1．（2025春 新昌县校级月考）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．
（1）若DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若DG＝6，求△FCG的面积．
2．（2025春 咸阳期中）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若BE＝DG，求证：AD＝AE；
（3）在（2）的条件下，已知BE＝2，求OG的长．
3．（2025春 新乡校级期中）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
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