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福建厦泉五校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的虚部为( )
A. B. C. D.
2.中，角所对的边分别为，若，则( )
A. B. C. D. 或
3.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 四边形的面积为
D. 四边形的周长为
4.如图，是的边的中点，点在上，且，则( )
A. B.
C. D.
5.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知直三棱柱( )
A. B. C. D.
7.如图，已知正六边形的边长为，对称中心为，以为圆心作半径为的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，则 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知都是复数，下列选项中正确的是( )
A. 若，则或 B. 若，则
C. 若，则是实数 D. 若，则
10.的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则是等腰直角三角形
11.下列说法正确的是( )
A. 已知向量，，且，则
B. 向量，，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件
C. 若，、分别表示、的面积，则
D. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，，，则 ．
13.在一个底面圆直径和高都是的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为 ．
14.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心，已知，则当角取到最大值时的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，复数在复平面内对应的点为
若复数是关于的方程的一个根，，求的值：
若复数满足，求复数的共轭复数．
16.本小题分
已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中．
若，且，求；
若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值．
17.本小题分
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：的内角，，的对边分别为，，已知______．
求；
若为的中点，，，求的面积．
18.本小题分
如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向．哨所在凌晨点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求：
刚发现走私船时，走私船与哨所的距离；
刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？
若缉私艇得知走私船以海里时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以海里时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？
19.本小题分
现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱如图所示，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．
若，，求该几何体的体积．
若正四棱锥的侧棱长为，，
求正四棱锥的侧面积．
若，分别是线段，上的动点，求的最小值．
参考答案
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14.
15.解：由题意知，，
因为复数是关于的方程的一个根，
所以，
即，
即，
解得，，所以；
由题意可得，
．
16.解：因为，且，所以设，
所以，
解得，
所以或．
由，得，
所以，
因为，，可得，
因为，所以，
当且仅当，时取等号．
所以．
设与夹角为，则此时．

17.解：若选，
由正弦定理可得，因为，
所以，即，
因为，所以，所以，则．
若选，则，
由正弦定理可得，又，
所以，即，因为，所以．
若选，则，
由正弦定理可得，
即，
所以，
所以，又，
所以，因为，所以．
因为为的中点，所以，因为，
所以，
即，解得或舍去，
所以．

18.解：由在的南偏东，在的东北偏方向，，
，，由正弦定理得，
，
，代入上式得：海里，
答：走私船与观测点的距离为海里
中，海里，海里，，
，
，
解得海里，
易知，故刚发现走私船时，走私船距缉私艇海里，在缉私艇的北偏东方向上．
设小时后缉私艇在处追上走私船，则，，
，
在中，由余弦定理得，
，化简得，
解得．
故缉私艇至少需要小时追上走私船．

19.解：由条件可知，正四棱柱的高，
所以正四棱柱的体积为，
三棱锥的体积为，
所以该几何体的体积为；
，
所以，
正四棱锥侧面的高为，
所以正四棱锥的侧面积为；
如图，将长方形，和展开在一个平面，
，，
设，，，，
，所以，
所以，
，
，
当，，，四点共线时，最短，
所以，
所以的最小值为．
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