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四川成都市北斗大数据领航联盟2025-2026学年下学期4月期中练习
高一数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足，且，则( )
A. B. C. D.
2.在圆内接六边形中，，，则其外接圆的半径为( )
A. B. C. D.
3.四面体满足，，，设的中点分别为，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
4.如图，平行四边形的对角线交于点，线段上有点满足，线段上有点满足，设，已知，则( )
A. B. C. D.
5.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．图给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示线段长度代表速度大小，单位：，则该时刻的真风为( )
级数 名称 风速大小单位：
轻风
微风
和风
劲风
图
A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
6.已知点不在直线和平面上，若存在空间中过的直线和平面，则( )
A. 由直线平面可唯一确定 B. 由直线平面可唯一确定平面
C. 由直线平面可唯一确定 D. 由平面平面可唯一确定平面
7.如图，中，，，在所在的平面内，有一个边长为的正方形绕点按逆时针方向旋转不少于周，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知直四棱柱的各顶点都在球的球面上，若，，三点共线，则( )
A. ，，三点共线 B.
C. 平面 D. 平面
11.如图，已知圆的半径，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是( )
A. 为定值 B. 的取值范围是
C. 当时，为定值 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个四面体的四个面全等，每个面的三条边长均为，则其外接球的半径为 ．
13.已知为边长为的正三角形，为所在平面内动点，满足，则的取值范围为 ．
14.费马点是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知在中，角所对的边分别为为费马点若，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求的值；
若，求的值．
16.本小题分
已知函数．
指出的定义域；
求的最小值与最大值．
17.本小题分
本题若使用空间向量，相关步骤不得分如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点．
连接，证明：平面．
设的中点为，求与平面夹角的正弦值．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且，点为边上一点．
求角的大小
若是的角平分线，，的周长为，求的长度
若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知是直线外一点，点、在直线上点、与点、任一点均不重合我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记，并且记记的内角、、的对边分别为、、已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到．
若，求的值；
射线上的点满足．
求；
求的最小值．
参考答案
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14.
15.【详解】由，得，
所以．
由，得，由，
得，则
，
所以．

16.解：由题可知，解得，即的定义域为．
令，，则，
代入原函数得．
令，由得，
代入得函数化为，
，由得，
因此，即．
是开口向上的二次函数，对称轴为，在区间上单调递增，
因此最小值，
最大值，
因此的最小值为，最大值为．

17.解：证明：如图，连接，由于为的外心，故有．
因为为中点，，所以，，
，平面平面，
同理，．
，平面，
平面．
正四面体棱长，等边中，中线，
为重心等边三角形重心与外心重合，故．
由平面，．
是中点，在中，，，
由中线长公式．
由体积法，，
故，又，
设到平面距离为，则，
设线面夹角为，由线面角定义，代入得．
即直线与平面夹角的正弦值为．

18.解：由，两边平方得：，
展开得：，
化简得，
，，
，
由正弦定理得：，
，
，故，
，
，
，
，得，
，
；
，，故，
由余弦定理：，即，
得：，
是的角平分线，
，
的面积为：，
即，
即，即
；
设，，，
由余弦定理：，，
，
，即，
整理得，，
由余弦定理，
代入得：，
因，故，
则：，
令，则，代入得：
，
时，，
时，，
当且仅当时取等号，
且，
即
时，，
，
即，
综上，且，
所以的取值范围是．
19.解：因为，所以点在线段上，如图所示，
又，所以由，
得，
因为，且，，
所以舍或，
所以为的角平分线，
又，所以，
在中，，
由余弦定理得
，故，
因为，则，
即，故．
记，因为，
所以点在线段的延长线上，如图所示，
即，
因为，所以，
化简得，即，
可得，即，
因为，所以；
因为，则，
即，所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为．

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