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浙江省杭州S9联盟2025-2026学年高二第二学期期中联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，，则 ．
A. B. C. D.
3.已知数列的前项和为，满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
5.若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知，则 ．
A. B. C. D.
7.年月日至月日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京召开．会议圆满结束后，某市为了宣传好二十大会议精神，市宣传部决定组织去甲、乙、丙、丁个村开展二十大宣讲工作，每村至少人，其中不去甲村，且不去同一个村，则宣讲的分配方案种数为( )
A. B. C. D.
8.函数在内存在个极值点，则实数的取值范围是 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A. 若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有种
B. 若甲、乙不相邻，则不同的排法有种
C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有种
D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有种
10.已知，，则 ．
A. B.
C. D.
11.已知等比数列的前项和为，下列关于首项和公比的条件中，一定取到最小值的有 ．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，满足，则 ．
13.将函数的图像向左平移个单位长度后得到奇函数的图像，则 ．
14.已知函数，，，恒成立，则实数的取值范围 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
二项式展开式前三项的二项式系数和为．
求的值及展开式中所有项的系数和；
求展开式中的常数项．
16.本小题分
如图，三棱柱中，侧面底面，且，．
求证：平面．
若，，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，抛物线的焦点在双曲线上，过点的直线与双曲线交于，两点．
求双曲线的标准方程；
证明：直线与直线的斜率之积为定值．
18.本小题分
设数列的前项和为，，当时，．
求，并证明：是等差数列；
设，求．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数在处的切线方程；
讨论函数的单调性；
当时，求证：．
参考答案
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14.
15.解：由题意：，
或舍，
令得展开式的所有项的系数和．
的通项公式，，，，
令，得，常数项为．

16.解：取中点，连接，，
因为，，所以，，
由于平面，且，
因此平面，
因为平面，所以，
又因为，所以，
因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，
因为，所以平面；
由及题意可得两两垂直，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
所以平面的法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

17.解：抛物线的焦点为，
由题意得
所以双曲线的标准方程为；
过点，由题意可知的斜率不为，
故可设直线的方程为，，，
则
．
故直线与的斜率之积为定值．

18.解：时，，
时，
，
显然时也符合，则，
所以，
又常数，且，
所以是以为首项，以为公差的等差数列．
结合有，
则，
则，
所以，
，
得，
，
所以．

19.解：当时，，则，，
所以，切点，
所以切线方程为，即．
，
若，则，在内单调递增，
若，当时，，在内单调递减，
当时，，在内单调递增．
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：当时，由，得，
设，则，
设，，则在内单调递增，
因为，，
所以存在，使得，即，
当时，，在内单调递减，
当时，，在内单调递增，
所以，
当且仅当，即时，而已证，故，所以等号取不到，
所以时，．

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