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福建泉州现代中学等校2025-2026学年第二学期期中考试
高二数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数的导函数为，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
3.曲线在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
4.学校食堂的一个窗口共卖种菜品，甲、乙、丙名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为，，已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为( )
A. B. C. D.
6.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
7.年月日，杭州亚运会历时天圆满结束亚运会结束后，甲乙丙丁戊五名同学排成一排合影留念，其中甲乙均不能站左端，且甲丙必须相邻，则不同的站法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是( ) 若随机变量服从正态分布，则，
A. B.
C. D.
10.已知的展开式共有项，则下列说法中错误的有( )
A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为
C. 二项式系数最大的项为第项或第项 D. 有理项共项
11.某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为记顾客第次抽奖的中奖概率为，则
A. B. 某顾客消费元，则其中奖概率为
C. 的最大值为 D. 当时， 越大， 越小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从二项分布，若，则 ．
13.已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数 ．
14.按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为；已知全集的子集，，满足若恰有两个元素，则这样的集合列有 个；所有满足条件的集合列有 个
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，且当时，有极值．
求的值；
求在上的值域．
16.本小题分
某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的．
求乙恰好答对两个问题的概率；
请问选择哪名同学去参赛更合理，请说明理由
17.本小题分
某大学生参加社会实践活动，对某公司月份至月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示：
月份
销售单价元
销售量件
根据至月份的数据，求出关于的回归直线方程；
若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问中所得到的回归直线方程是否理想？
预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从中的关系，若该种机器配件的成本是元件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？注：利润销售收入成本．
参考公式：回归直线方程，其中，
18.本小题分
已知函数，．
判断的单调性；
若，求的值；
已知，若，证明：．
19.本小题分
育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员维续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需维续闯关，若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分与派出的闯关人数的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响．
已知，，，
若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望；
若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率．
若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

15.解：由，
得，
又当时，有极值，
所以，解得
所以，
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以当时，有极小值．
所以．
由知．
令，得，
的值随的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表可知在上，
最大值为，最小值为，
即在上的值域为．

16.解：由题知，设“乙回答问题的正确个数”为，则，
则乙恰好答对两个问题的概率为：；
令“甲回答问题的正确个数”为，“乙回答问题的正确个数”为，
则所有可能的取值为，
则；；，
所以，
由题意，随机变量，所以，
又，，
所以，，
可见，乙与甲的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，
所以选择学生甲去参赛更合理．

17.解：因为
，
所以，
，
于是关于的回归直线方程为；
当时，，
因为，
所以可以认为所得到的回归直线方程是不理想的；
令销售利润为，
则
，
因为
，
当且仅当，即时，取最大值．
所以该产品的销售单价定为元件时，获得的利润最大．

18.解：由题意得，函数，定义域为，
，
当时，，则，
故在上单调递增；
当，令，解得：，
所以当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上递减；
由可知，当时，在上单调递增，
在上单调递减，
故，
若，则，即，
代入可得：，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，且，
所以，即；
当时，恒成立，即在上单调递增，又，
所以当，，不恒成立，
故不成立．
综上所述；
证明：令，，
，令，
，
所以在上单调递增，
因为，
，
所以在上存在唯一零点，
令，则，
令，所以；令，所以；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以 ，又，
所以，
所以 ，得证．
19.解：由题若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，
则该队比赛结束后所获积分的可能取值为，，，，
则，
，
，
，
；
由题，设“事件该队比赛结束后所获积分”，
则；
若依次派出乙、甲、丙进行闯关，该队比赛结束后所获积分的可能取值为，，，，
则，
，
，
，
，
若依次派出丙、甲、乙进行闯关，该队比赛结束后所获积分的可能取值为，，，，
则，
，
，
，
，
，
，
，，
，
即，
要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，应最先派出丙，最后派出乙．
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