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浙江省A9协作体2025-2026学年第二学期高一期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数所对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在中，若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.已知与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在正方体中，点是的中点，则下列直线中与平面平行的是( )
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则以下说法正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
6.如图，用斜二测画法画出的直观图是，直线垂直于轴，，则在中，点到边的距离是( )
A. B. C. D.
7.已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为，高均为，则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是( )
A. B. C. D.
8.已知在所在平面内，满足，若，，则的面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则是一个单位向量
C. 若，则 D. 若，则与的夹角为钝角
10.在中，角的对边分别为，则下列说法中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则为等边三角形
C. 若，则的面积最大值为
D. 若，则满足条件的有两个
11.在正四棱台中，，其内切球的半径是，则下列说法中正确的是( )
A. 球的表面积是
B. 直线与直线是异面直线
C. 正四棱台的体积是
D. 直线与平面的夹角是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则 ．
13.在平面直角坐标系中，已知点，点，若点在以为直径的圆上，，则 ．
14.在中，角的对边分别为，若，点满足，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设复数，，．
若是实数，是纯虚数，求
若，互为共轭复数，求．
16.本小题分
在锐角中，角的对边分别为．
求；
若，求周长的取值范围．
17.本小题分
如图，在平行四边形中，，，点为的中点，将沿直线翻折成点不在面内，点为的中点在翻折过程中，
证明：直线平面
若，求二面角的大小．
18.本小题分
如图，在梯形中，，点在上，且与相交于点．
求的值；
若，求；
若点在以点为圆心，为半径的圆上，求的取值范围．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点．
证明：直线平面；
若直线与平面的夹角的正切值为，
求四棱锥的体积；
求三棱锥的外接球的半径．
参考答案
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14.
15.解：由是实数知，故，
由是纯虚数知，故，
所以，；
由，互为共轭复数可知，
解得，
故．
16.解：因为
所以，根据正弦定理边化角得
即，
所以，
又因为，所以，即
又因为，所以
解：因为，，
所以，由得
因为，在锐角中，，所以，
所以，所以
所以周长的取值范围为

17.解：证明：取 的中点 ，连接 ，
为线段 的中点， ，
平面， 平面， 平面，
又 ， ， 四边形 为平行四边形，则
平面， 平面，可得 平面，
又 ， ， 平面 ，
可得平面 平面 ， 平面 ，
则 面 ．
由及可得及是等边三角形，
设中点为，则，，
所以即为二面角的平面角，
在中，由余弦定理有，
解得，
又在中，，
在内，．
所以在中，，故，
所以二面角的大小为．

18.解：梯形中，，
所以为等腰梯形，
因为点在上，且，
所以，，
所以．
解：设，则
因为三点共线，所以，解得，
所以，即
解：
由可得
又
如图，由向量数量积的几何意义知，，即
所以
所以．

19.解：证明：设中点为，则由是等边三角形知
由四边形为矩形得，
又平面平面，平面平面，平面
所以平面，
又平面，所以
又，平面
所以平面．
由点是的中点，得，
所以四点共面，
所以直线平面
解：设中点为，
所以，又因为，
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
过点作平面，因为平面平面，
所以点在上
所以是直线与平面所成的角，
因为是等边三角形，，
所以在中，，，
因为直线与平面的夹角的正切值为
所以在中，，所以．
因为四边形为矩形，
所以在中，，即，解得，
所以
因此四棱锥的体积是．
由知直线平面中点为，
所以，点与点关于平面对称，
所以，三棱锥的外接球与三棱锥的外接球关于平面对称，
接下来求三棱锥的外接球半径．
设中点为中点为中点为，
三棱锥的外接球球心为，半径长为．
则平面，
，
即，
解得，因此．
所以三棱锥的外接球的半径为

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