资源简介

2025-2026学年深圳外国语学校九年级下
数学学科教学阶段性评估
一、选择题（共 8小题，每题 3分，共 24分）
1

1. 2026 的倒数是（ ）
1 1
A. B. C. 2026 D. 2026
2026 2026
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查倒数的定义，依据“乘积为 1的两个数互为倒数”这一概念计算即可求解．
1
【详解】解：1 1 2026 2026 ．
2026
故选：D．
2. 据国内 AI产品榜统计数据，某款 AI搜索工具在上线仅 20天后，其日活跃用户数（DAU）迅速突破两
千万大关，达 22150000．将数据 22150000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.2215 107 B. 2.215 106 C. 22.15 106 D. 2.215 107
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中1 | a | 10,n为
整数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值．据此求解即可．
【详解】解： 22150000 2.215 107 ．
故选：D．
3. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A. a2 a3 a5 B. a3 a3 2a6
3
C. a2 a5 D. a4 a2 2a2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根
据同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可得．
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【详解】解：A、 a2 a3 a5 ，则此项正确，符合题意；
B、 a3 a3 2a3，则此项错误，不符合题意；
3
C、 a2 a6，则此项错误，不符合题意；
D、 a4 a2 a2，则此项错误，不符合题意；
故选：A．
4. 如图是一架婴儿车的示意图，其中 AB∥CD， 1 110 ， 2 = 70°，则 3的度数是（ ）
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
根据三角形外角的性质求出 A 1 2 40 ，再利用 AB∥CD即可求解．
【详解】解：∵ 1 110 ， 2 = 70°，
∴ A 1 2 40 ，
∵ AB∥CD，
∴ A 3 40 ．
故选：B．
5. 某工厂计划生产 300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多 25%，结果提前 2天
完成任务．设原计划每天生产 x个零件，可列方程为（）
300 300 300 300
A. 2x 1 25% x B.
2
1 25% x x
300 300 2 300 300C. D. 2
x x 25% x 25% x
【答案】A
【解析】
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【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意，原计划每天生产 x个零件，实际每天生产 1 25% x个
零件．总零件数为 300个，原计划天数减去实际天数等于提前的 2天．
【详解】解：设原计划每天生产 x个零件，则实际每天生产 1 25% x个零件．
300 300
∵原计划天数为 ，实际天数为 1 25% x，且提前 2天完成任务，x
300 300
∴ 2x 1 25% x ．
故选：A．
6. 如图，矩形OABC的顶点 O，A，C的坐标分别是 0，0 ， 3，0 ， 0，2 ， OADE与矩形OABC周长
相等， OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点 D的坐标为（ ）
A. 3 3，1 B. 3 2，2 C. 5，1 D. 3 3，3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质和面积公式，平行四边形的性质和面积公式，勾股定理等知识点，掌握这
些是解题的关键．
根据题意可得 D点的纵坐标是 C点纵坐标的一半，AD OC 2，过 D点作DF x轴，交 x轴于 F 点，
用勾股定理求出 AF 长即可．
【详解】解：过 D点作DF x轴，交 x轴于 F 点，如图：
OADE与矩形OABC周长相等，OA OA，
AD OC 2，
OADE的面积是矩形OABC面积的一半，OA OA，
1
DF OC 1，
2
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由勾股定理得： AF AD2 DF 2 22 12 3，
点 D的坐标为 3 3，1 ．
故选：A．
k
7. 如图，点O为坐标原点，点 B在 x轴正半轴上，点 A在双曲线 y k 0 上，且 AO AB，若 AOBC
x
的面积为 12，则 k的值为（ ）
A. 24 B. 12 C. 6 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】作 AM OB轴于 M，根据 AO AB，易得点M 是OB中点，由 AOBC的面积为 12，求出 AOB
k
的面积为6，进而求出 AOM 的面积为3，再根据 3，即可解答．
2
【详解】解：如图，作 AM OB轴于 M，
∵ AO AB，
∴ OAB是等腰三角形，
∵ AM OB，
∴点M 是OB中点，
∵ AOBC的面积为 12，
∴ AOB的面积为6，
∴ AOM 的面积为3，
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k
∵点 A在双曲线 y k 0 上，
x
k
∴ 3，
2
∴ k 6，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的几何意义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的
关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
8. 如图，正方形 AEFG的顶点 G、E分别在正方形 ABCD的边 AD、AB上，BC 6，EF 2，连接 BF
并延长交边 AD于点 H，连接CH ，则CH 的长为（ ）
A. 6 B. 4 2 C. 4 3 D. 3 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，准确利用性质是正确解答此
题的关键．首先利用正方形性质得到相关线段的长度和角度关系，再通过相似三角形的性质求出 AH 的长
度，进而得到DH 的长度，最后在Rt△CDH 中，根据勾股定理求出CH 的长度．
【详解】解：∵正方形 AEFG的顶点 G、E分别在正方形 ABCD的边 AD、 AB上， BC 6， EF 2，
∴ AB AD CD 6， A D 90 ， AE = EF = AG = 2， EF∥ AG，
∴ BE 4，
∴∠FEB ∠A，
∵ EBF = ABH ，
∴△BEF∽△BAH ，
EF BE 2 4
∴ = ，即 ，
AH AB AH 6
∴ AH 3，
∴DH 3，
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在Rt△CDH 中，由勾股定理得：CH CD2 DH 2 32 62 3 5，
故选：D．
二、填空题（共 5小题，每题 3分，共 15分）
9. 已知 xa yb和5x3y是同类项，则 a b的值是___________．
【答案】 2
【解析】
【分析】本题考查同类项的定义．根据同类项的定义确定 a、b的取值，再代入代数式计算求值．
【详解】解：∵ xa yb和5x3y是同类项，
∴ a 3，b 1，
∴ a b 3 1 2．
故答案为： 2
10. 已知不等式 6x+1＞5x﹣2的最小整数解是方程 2x﹣kx＝4﹣2k的解，则 k＝_____．
【答案】2
【解析】
【分析】首先解出一元一次不等式的解集，再确定出 x的值，再把 x的值代入方程即可得到关于 k的方程，
再解方程即可算出 k的值．
【详解】解：6x+1＞5x﹣2，
解得：x＞﹣3，
∵x是不等式 5x﹣2＜6x+1的最小整数解，
∴x＝﹣2，
把 x＝﹣2代入方程 2x﹣kx＝4﹣2k中得：2×（﹣2）﹣（﹣2）×k＝4﹣2k，
解得：k＝2，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的解集，整数解，以及方程的解，关键是正确确定出 x的值．
11. 如图，在Rt△ABC中， C 90 ， B 20 ，依据尺规作图的痕迹，计算 ______．
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【答案】55 ##55度
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理及角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质求解．
【详解】解： C 90 ， B 20 ，
CAB 180 B C 70 ，
由作图得： AD是 CAB的角平分线，DE是 AB的垂直平分线，
1
∴ DAB CAB 35 , DEA 90 ，
2
a ADE 90 35 55 ．
12. 如图，以正六边形 ABCDEF的顶点 A为圆心， AC的长为半径画弧，得到CE．连接 AC， AE．若
2 3
正六边形的边长为 ，则CE的长为______．
3
2
【答案】 π
3
【解析】
2 3
【分析】根据正六边形的性质得出 AB BC , ABC BAF 120 ，进而求出
3
BAC 30 , CAE 60 ，过 B作 BH AC于H ，由等腰三角形的性质和含30 直角三角形的性质得
3
到 AH CH ,BH ，在 Rt ABH 中，由勾股定理求得 AH 1，得到 AC 2，再根据弧长公式列方
3
程求解即可．
2 3
【详解】解：∵正六边形 ABCDEF的边长为 ，
3
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AB BC 2 3
6 2 180
, ABC BAF 120 ，
3 6
ABC BAC BCA 180 ，
BAC 1 1 180 ABC 180 120 30 ，
2 2
过 B作BH AC于 H ，
AH CH ,BH 1 AB 3 ，
2 3
在 Rt ABH 中， AH AB2 BH 2 1，
AC 2，
同理可证， EAF 30 ，
CAE BAF BAC EAF 120 30 30 60 ，
60 2 2
∴CE的长为 ．180 3
13. 如图，四边形 ABCD内接于圆， ABC 90 ， tan ACB 1 AD 3， AB，连接 AC，BD交于点
2 2
AE
E，则 _______．
CE
3 11
【答案】
22
【解析】
【分析】根据题意，设 AB 2a，进而解三角形可得 AD 3a,CD 11a，再证△ADE∽△BCE 、
AE AD 3
ABE DCE BE AB 2 11∽ ，进而得到 ， ，再相乘即可求解．
BE BC 4 CE CD 11
【详解】解： ABC 90 ，
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AC为圆的直径，
ADC 90 ，
tan ACB AB 1 ，
BC 2
BC 2AB，
3
又 AD AB，
2
3
AD AB 3
2 ，
BC 2AB 4
不妨设 AB 2a，则 BC 4a, AD 3a，
AC AB2 BC 2 2 5a，CD AC 2 AD2 11a，
AED BEC（对顶角相等）， ADE BCE（同弧所对圆周角相等），
ADE∽ BCE，
AE AD 3a 3
，
BE BC 4a 4
AEB DEC（对顶角相等）， ABE DCE（同弧所对圆周角相等），
△ABE∽△DCE，
BE AB 2a 2 11
，
CE CD 11a 11
AE AE BE 3 2 11 3 11
．
CE BE CE 4 11 22
三、解答题（共 7小题，共 61分）
2cos60 (π 2026)0 1
2
14. 计算： 3 2
2
【答案】 6 3
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质结合绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化
简得出答案．
1
【详解】解：原式 2 1 4 3 2
2
1 1 4 3 2
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6 3．
a a2 4
15. 先化简，再求值： 1 2 ，其中 a 3． a 2 a 4a 4
2
【答案】 ，2
a 2
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值．先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法，通过因式分
解进行约分，得到最简形式后，代入 a 3求值．
1 a a
2 4
【详解】解：
a 2 a2 4a 4
a 2 a a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 2
2 a 2 2

a 2 a 2 a 2
2
，
a 2
2
当 a 3时， 2．
3 2
16. 随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，AI聊天机器人的智能化水平显著提高，
有关人员开展了对甲、乙两款AI聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取 20份数据，进行
整理、描述和分析（满分 100分，分为四个等级：A．80 x 85；B．85 x 90；C．90 x 95；
D．95 x 100．）下面给出了部分信息．
甲款 AI聊天机器人的评分扇形统计图
甲、乙款 AI聊天机器人的评分统计表
平均 中位 众
数 数 数
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甲
89.95 90.5 85
款
乙
91.4 c 86
款
乙款 AI聊天机器人的评分频数分布统计表
分
A B C D
组
频
3 b 7 4
数
乙款 AI聊天机器人的评分C组的数据从低到高排列如下：
91，91，92，93，94，95，95．
（1）填空：a ______，b ______，c ______．
（2）你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请判断并说明理由．（写出一条理由即可）
（3）在此次调查中，分别有 500人、400人对甲、乙款 AI聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次调
查中对两种 AI聊天机器人评分在 90分以上的总人数．
【答案】（1）15，6，91
（2）乙款 AI聊天机器人更受用户喜爱，理由见解析
（3）估计此次调查中对两种 AI聊天机器人评分在 90分以上的总人数为 445人．
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、
众数的计算方法是解决问题的前提．
（1）用“1”分别减去其它三组所占百分比可得 a的值；用 20分别减去其它三组的频数可 b的值；根据中
位数的定义可得 c的值；
（2）根据平均数、中位数和众数的意义解答即可（答案不唯一）；
（3）利用样本估计总体即可．
【小问 1详解】
a% 1 30% 30% 90 解：由题意可知， 15%，即a 15；
360
b 20 3 7 4 6；
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把乙款 AI聊天机器人抽取 20份评分从小到大排列，排在中间的两个数分别是 91，91，故中位数
c 91 91 91，
2
故答案为：15，6，91；
【小问 2详解】
解：乙款 AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为乙款 AI聊天机器人评分的平均数比甲款高，所以乙款 AI聊天机器人更受用户喜爱；（答案不唯一）；
【小问 3详解】
解：500 30% 15% 400 4 7 445（人），
20
答：估计此次调查中对两种 AI聊天机器人评分在 90分以上的总人数为 445人．
17. 为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备购进 A，B两种品牌的排球．已知购进 60
个 A品牌排球和 20个 B品牌排球，一共花费 4600元；购进 50个 A品牌排球和 30个 B品牌排球，一共花
费 4900元．
（1）求 A，B两种品牌的排球的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购进一批排球，正好赶上商场对排球的价格进行调整，每个 A品牌排球的售价比第一次
购买时提高了 10元，每个 B品牌排球按第一次购买时售价的 9折出售．如果该校计划出资 1200元全部用
于购进 A，B两种品牌的排球（两种排球均购买），则学校共有几种购进方案？并列出所有可行的方案．
【答案】（1）A品牌排球的单价是 50元，B品牌排球的单价是 80元
（2）学校共有三种购进方案：方案一：购进 A品牌排球 14个，B品牌排球 5个；方案二：购进 A品牌排
球 8个，B品牌排球 10个；方案三：购进 A品牌排球 2个，B品牌排球 15个
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系，建立方程
（组）求解．
（1）设 A品牌排球的单价是 x元，B品牌排球的单价是 y元，根据“购进 60个 A品牌排球和 20个 B品牌
排球，一共花费 4600元；购进 50个 A品牌排球和 30个 B品牌排球，一共花费 4900元”建立方程组求解；
（2）设购进 A品牌排球 m个，B品牌排球 n个．根据题意，得 50 10 m 0.9 80n 1200，整理得
m 20 6 n，再求其正整数解即可．
5
【小问 1详解】
解：设 A品牌排球的单价是 x元，B品牌排球的单价是 y元．
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60x 20y 4600
根据题意，得
50x 30y 4900
x 50
解得
y 80
答：A品牌排球的单价是 50元，B品牌排球的单价是 80元．
【小问 2详解】
解：设购进 A品牌排球 m个，B品牌排球 n个．
根据题意，得 50 10 m 0.9 80n 1200，
6
m 20 n．
5
由题意得 m，n均为正整数，
m 14 m 8 m 2
或 或 ．
n 5

n 10

n 15
学校共有三种购进方案：
方案一：购进 A品牌排球 14个，B品牌排球 5个；
方案二：购进 A品牌排球 8个，B品牌排球 10个；
方案三：购进 A品牌排球 2个，B品牌排球 15个．
18. 如图，点C在 O的直径 AB的延长线上，点 P是 O上任意一点，且 BPC A．
（1）求证：PC是 O的切线；
1
（2）若 O的半径为 5, tan BPC ，求CP的长．
2
【答案】（1）见解析 （2 4 5）
3
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的切线的判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，关键是证明
OPC 90 和证明三角形相似．
（1）连接OP，由直径所对的圆周角为直角得 APB 90 ，进而证明
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A OPB OPA OPB 90 ，便可解决问题；
BP 1
（2）由三角函数求得 ，再证明 PAP∽ CPB，得出 BC、CP、CA的数量关系，进而便可求得结
AP 2
果．
【小问 1详解】
证明：连接 PO，
∵ AB为直径，
∴ APB 2 3 90 ．
又∵OA OP，
∴ A 3．
∵ 1 A，
∴ 1 2 90 ．
∴ PC OP．
又∵OP是 O的半径，
∴CP为 O的切线．
【小问 2详解】
1
解：∵ 1 A， tan 1 ，
2
1
∴在Rt ABP中， AB 2 5， tanA ．2
PB 1
即 ．
PA 2
设 PB a，则 AP 2a，
∵ AB2 PB2 AP2 ，
∴ 22 5 a2 2a 2 ．
解得 a 2．
∴ PB 2， AP 4．
又∵ C C ， 1 A，
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∴ CPB∽ CAP．
PB BC PC 1
∴ ．
PA PC AC 2
设 BC x，则 PC 2x， AC 4x，
又∵ AC AB BC，
∴ 4x 2 5 x．
x 2 5∴ ．
3
∴ PC 2x 4 5 ．
3
19. 【定义】
在平面直角坐标系 xOy中：
【1】对于两点 P x1, y1 和Q x2 , y2 ，若 x1 x2 y1 y2 ，则称点 Q是点 P的“等距点”．
【2】对于一点M x, y ，则称点 N 2k x, y 为点 M的“k对称点”，例如，点 N 2 x, y 为点
M x, y 的“1对称点”．
【运用】
（1）在平面直角坐标系 xOy中，已知点P1(2,1)， P2(3,1)．
在点Q1( 1,4)，Q2 (2,0)，Q3(2, 1)，Q4 (1, 1)．
①点______是点 P1的“等距点”．
②点______是点 P1的“2对称点”．
③点______既是点 P2的“等距点”又是点 P2的“2对称点”．
（2）已知点 P是直线 y 2x 1上的点，记点 P的“1对称点”为点 Q．若点 Q恰好是点 P的“等距点”，
求此时点 P的坐标．
（3）已知点 A是射线 y 2x 1(x 0)上的点，点 B的横坐标与点 A的纵坐标相等且点 B在直线 y x 2
上，点 B是点 A的“等距点”．点 A的“k对称点”为点 C．求线段 BC的最小值．
【答案】（1）①Q1；②Q3；③Q4
（2） P( 2, 3)或(0,1)
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（3）8
【解析】
【分析】（1）①根据“等距点”的定义解答即可；②根据“2对称点”的定义解答即可 ； ③根据“等距
点”和“2对称点”的定义解答即可．
（2）设 P x, 2x 1 ，则 P的“1对称点”为Q 2 x, 2x 1 ，由Q是 P的等距点得 x 1 2x 1 ，
分两种情况分别求解即可．
（3）设 A a, 2a 1 a 0 ，由题意得 B 2a 1,2a 3 ，根据 B是 A的等距点，得 a 1 2，解得 a 1，
则点 A 1,3 ，B 3,5 ，故点 A的“ k对称点”为C 2k 1, 3 ，得出点C的轨迹是直线 y 3，根据点
到直线垂线段最短求出点 B 3,5 到直线 y 3的垂线段长度即为 BC的最小值．
【小问 1详解】
解：∵ P1 2,1 ,P2 3,1 ，Q1 1,4 ,Q2 2,0 ,Q3 2, 1 ,Q4 1, 1 ，
①Q1满足 2 1 1 4 3，符合等距点定义；
Q2中 2 2 0 0 1 1，不符合等距点定义；
Q3中 2 2 0 1 1 2，不符合等距点定义；
Q4中 2 1 1 1 1 2，不符合等距点定义；
故点Q1是点 P1的“等距点”；
②∵ P1 2,1 ，则 P1的 2对称点坐标为 2 2 2, 1 ，即 2, 1 ，对应Q3 ；
③ P2 的 2对称点坐标为 2 2 3, 1 ，即 1, 1 ，对应Q4 ，验证得∣3 ∣1 ∣1 1∣ 2，符合等距
点定义，即点Q4 既是点 P2的“等距点”又是点 P2的“2对称点”．
【小问 2详解】
解：设 P x, 2x 1 ，则 P的“1对称点”为Q 2 x, 2x 1 ，
由Q是 P的等距点得： x 2 x 2x 1 2x 1 ，
∴ 2x 2 4x 2 ，
∴ x 1 2x 1，
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分两种情况：当 x 1 2x 1时，解得： x 2，则 P 2, 3 ；
当 x 1 2x 1 时，解得： x 0，则 P 0,1 ．
【小问 3详解】
解：设 A a, 2a 1 a 0 ，
由题意： B的横坐标等于 A的纵坐标，即 xB 2a 1，
又 B在 y x 2上，则B 2a 1,2a 3 ，
∵ B是 A的等距点，
∴ a 2a 1 2a 1 2a 3 ，
∴ 2a 1 2 2，即 a 1 2，
∵ a 0，
∴ a 1 2，解得 a 1，
∴点 A 1,3 ， B 3,5 ，
∴点 A的“ k对称点”为C 2k 1, 3 ，
∴点C的轨迹是直线 y 3，
点 B 3,5 到直线 y 3的最短距离为垂线段长度： 5 3 8，
即 BC的最小值为8．
20. 综合探究
（1）理解应用
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如图 1，在正方形 ABCD中， AD 4，DE 1， BE 与 AC交于点 F，求 BF 的长度．
（2）问题探究
1
如图 2，在矩形 ABCD中，过 B作 AC的垂线交 AC于点 F，交 AD于点 E，DE AD．试猜想 AB与
4
AD的数量关系，并说明理由．
（3）拓展延伸
如图 3，在 ABCD中，点 A 3,4 ，点 B(1, 4)，点D 5,4 ， AB与 y轴交于点 M，点 P从 B点出发
沿 BA、AD运动，过点 P作 BC的垂线，过点 M作 BC的平行线，两线相交于点 N，将△PNM 沿 PM 翻
折得到△PTM ，若点 T落在 x轴上，求 P点的坐标．
20
【答案】（1）
7
2 AB 3（ ） ，见解析
AD 2
5
（3） ,3
6 6
2
或 5,4 或 5, 45 5
【解析】
3 EF
【分析】（1）根据正方形的性质及相似三角形的判定得出△AEF∽△CBF ，确定 ，BE 5，即
4 BF
可求解；
（2）根据各角之间的关系得出 AEF BAF ，再由相似三角形的判定和性质即可得出结果；
（3）根据题意，先确定直线 AB所在直线的函数解析式为 y 2x 2，得出MO 2,OF 1，然后分三
种情况分析：当点 P在线段 AB上时，当点 P经过点 A到线段 AD上时，当点 P在线段 AD上，经过 y轴
到第一象限时，分别作出图形，然后利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【小问 1详解】
解：∵正方形 ABCD，
∴ AD∥BC, AD BC AB 4，
∴△AEF∽△CBF ，
AE EF
∴ ，
BC BF
∵DE 1，
∴ AE 3，
∴ BE 5，
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3 EF
∴ ，
4 BF
BF 4 20∴ BE ；
7 7
【小问 2详解】
∵矩形 ABCD，
∴ DAB ABC 90 ，
∴ ABF AEF 90 ，
∵ BE AC，
∴ BFA 90 ，
∴ ABF BAF 90 ，
∴ AEF BAF ，
∵ DAB ABC，
∴△AEB∽△BAC，
AE AB
∴ ，
BA BC
∵DE 1 AD，
4
3 3
∴ AE AD BC，
4 4
3 BC
∴ 4 AB ，
BA BC
AB AB 3
∴ ；
BC AD 2
【小问 3详解】
∵点 A 3,4 ，点 B(1, 4)，
∴设直线 AB所在直线的函数解析式为： y kx b，
4 3k b
代入得： ，
4 k b
k 2
解得： ，
b 2
∴ y 2x 2，
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设直线 AB交 x轴于点 F，
当 x 0时， y 2，当 y 0时， x 1，
∴M 0, 2 ,F 1,0 ，
∴MO 2,OF 1，
当点 P在线段 AB上时，如图所示：
设QF a，则OQ a 1，
过点 A作 AH CB于点 H，
∵点 A 3,4 ，点 B(1, 4)，
∴ AH 8,BH 4，
∴ tan ABH 2，
根据题意得： BC∥ x轴，四边形OQNM 为矩形，
∴ ABH PFQ，OQ NM a 1,QN OM 2，
∴ PQ 2a,PN 2a 2，
∵折叠，
∴MT MN a 1,PT PN 2a 2， PTM PNQ 90 ，
∴ PTQ OTM 90 ，
∵ PQT 90 ，
∴ PTQ TPQ 90 ，
∴ OTM TPQ，
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∴ OTM∽ QPT ，
OT MT OM OT a 1
∴ ，即 ，
PQ PT QT 2a 2a 2
解得：OT a，
∴TQ QF OF OT 2a 1，
MT OM
a 1 2∴ 即 ，
PT QT 2a 2 2a 1
3
解得： a ，
2
∴OQ a 1 5 >1， PQ 2a 3，
2
∴点 P在第二象限，
P 5∴ ,3

；
2
当点 P经过点 A到线段 AD上时，如图所示：
∴ PQ 4,PN 4 2 6，
设MN x，
∵折叠，
∴MT MN x,PT PN 6，
∴QT PT 2 PQ2 2 5，
同理得： OTM∽ QPT ，
OT MT OM 2 x
∴ ，即 ，
PQ PT QT 2 5 6
解得： x 6 5，
5
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6
∵ 5 3，
5
∴点 P在第二象限，
P 6∴ 5,4

；
5
当点 P在线段 AD上，经过 y轴到第一象限时，如图所示：
∴ PQ 4,PN 4 2 6，
设MN x，
∵折叠，
∴MT MN x,PT PN 6，
∴QT PT 2 PQ2 2 5，
同理得： OTM∽ QPT ，
OT MT OM 2 x
∴ ，即 ，
PQ PT QT 2 5 6
6
解得： x 5，
5
∴点 P在第一象限，
∴ P
6
5,4

；
5
5 6 6
综上可得：P点的坐标为 ,3 或 5,42 5
或 5,4 ．
5
第 22页/共 22页2025-2026学年深圳外国语学校九年级下
数学学科教学阶段性评估
一、选择题（共 8小题，每题 3分，共 24分）
1

1. 2026 的倒数是（ ）
1 1
A. B. C. 2026 D. 2026
2026 2026
2. 据国内 AI产品榜统计数据，某款 AI搜索工具在上线仅 20天后，其日活跃用户数（DAU）迅速突破两
千万大关，达 22150000．将数据 22150000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.2215 107 B. 2.215 106 C. 22.15 106 D. 2.215 107
3. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A. a2 a3 a5 B. a3 a3 2a6
2 3C. a a5 D. a4 a2 2a2
4. 如图是一架婴儿车的示意图，其中 AB∥CD， 1 110 ， 2 = 70°，则 3的度数是（ ）
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60
5. 某工厂计划生产 300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多 25%，结果提前 2天
完成任务．设原计划每天生产 x个零件，可列方程为（）
300 300
A. 2
300 300
2
x 1 25% x B. 1 25% x x
300 300 300 300
C. 2 D. 2
x x 25% x 25% x
6. 如图，矩形OABC的顶点 O，A，C的坐标分别是 0，0 ， 3，0 ， 0，2 ， OADE与矩形OABC周长
相等， OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点 D的坐标为（ ）
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A. 3 3，1 B. 3 2，2 C. 5，1 D. 3 3，3
k
7. 如图，点O为坐标原点，点 B在 x轴正半轴上，点 A在双曲线 y k 0 上，且 AO AB，若 AOBC
x
的面积为 12，则 k的值为（ ）
A. 24 B. 12 C. 6 D. 3
8. 如图，正方形 AEFG的顶点 G、E分别在正方形 ABCD的边 AD、AB上，BC 6，EF 2，连接 BF
并延长交边 AD于点 H，连接CH ，则CH 的长为（ ）
A. 6 B. 4 2 C. 4 3 D. 3 5
二、填空题（共 5小题，每题 3分，共 15分）
9. 已知 xa yb和5x3y是同类项，则 a b的值是___________．
10. 已知不等式 6x+1＞5x﹣2的最小整数解是方程 2x﹣kx＝4﹣2k的解，则 k＝_____．
11. 如图，在Rt△ABC中， C 90 ， B 20 ，依据尺规作图的痕迹，计算 ______．
12. 如图，以正六边形 ABCDEF的顶点 A为圆心， AC的长为半径画弧，得到CE．连接 AC， AE．若
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2 3
正六边形的边长为 ，则CE的长为______．
3
1 3
13. 如图，四边形 ABCD内接于圆， ABC 90 ， tan ACB ， AD AB，连接 AC， 交于点
2 2
BD
AE
E，则 _______．
CE
三、解答题（共 7小题，共 61分）
2
14. 计算： 2cos60 (π 2026)0 1 3 2
2
2
15. 先化简，再求值： 1
a a 4 2 ，其中 a 3． a 2 a 4a 4
16. 随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，AI聊天机器人的智能化水平显著提高，
有关人员开展了对甲、乙两款AI聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取 20份数据，进行
整理、描述和分析（满分 100分，分为四个等级：A．80 x 85；B．85 x 90；C．90 x 95；
D．95 x 100．）下面给出了部分信息．
甲款 AI聊天机器人的评分扇形统计图
甲、乙款 AI聊天机器人的评分统计表
平均 中位 众
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数 数 数
甲
89.95 90.5 85
款
乙
91.4 c 86
款
乙款 AI聊天机器人的评分频数分布统计表
分
A B C D
组
频
3 b 7 4
数
乙款 AI聊天机器人的评分C组的数据从低到高排列如下：
91，91，92，93，94，95，95．
（1）填空：a ______，b ______，c ______．
（2）你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请判断并说明理由．（写出一条理由即可）
（3）在此次调查中，分别有 500人、400人对甲、乙款 AI聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次调
查中对两种 AI聊天机器人评分在 90分以上的总人数．
17. 为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备购进 A，B两种品牌的排球．已知购进 60
个 A品牌排球和 20个 B品牌排球，一共花费 4600元；购进 50个 A品牌排球和 30个 B品牌排球，一共花
费 4900元．
（1）求 A，B两种品牌的排球的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购进一批排球，正好赶上商场对排球的价格进行调整，每个 A品牌排球的售价比第一次
购买时提高了 10元，每个 B品牌排球按第一次购买时售价的 9折出售．如果该校计划出资 1200元全部用
于购进 A，B两种品牌的排球（两种排球均购买），则学校共有几种购进方案？并列出所有可行的方案．
18. 如图，点C在 O的直径 AB的延长线上，点 P是 O上任意一点，且 BPC A．
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（1）求证：PC是 O的切线；
1
（2）若 O的半径为 5, tan BPC ，求CP的长．
2
19. 【定义】
在平面直角坐标系 xOy中：
【1】对于两点 P x1, y1 和Q x2 , y2 ，若 x1 x2 y1 y2 ，则称点 Q是点 P的“等距点”．
【2】对于一点M x, y ，则称点 N 2k x, y 为点 M的“k对称点”，例如，点 N 2 x, y 为点
M x, y 的“1对称点”．
【运用】
（1）在平面直角坐标系 xOy中，已知点P1(2,1)， P2(3,1)．
在点Q1( 1,4)，Q2 (2,0)，Q3(2, 1)，Q4 (1, 1)．
①点______是点 P1的“等距点”．
②点______是点 P1的“2对称点”．
③点______既是点 P2的“等距点”又是点 P2的“2对称点”．
（2）已知点 P是直线 y 2x 1上的点，记点 P的“1对称点”为点 Q．若点 Q恰好是点 P的“等距点”，
求此时点 P的坐标．
（3）已知点 A是射线 y 2x 1(x 0)上的点，点 B的横坐标与点 A的纵坐标相等且点 B在直线 y x 2
上，点 B是点 A的“等距点”．点 A的“k对称点”为点 C．求线段 BC的最小值．
20. 综合探究
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（1）理解应用
如图 1，在正方形 ABCD中， AD 4，DE 1， BE 与 AC交于点 F，求 BF 的长度．
（2）问题探究
1
如图 2，在矩形 ABCD中，过 B作 AC的垂线交 AC于点 F，交 AD于点 E，DE AD．试猜想 AB与
4
AD的数量关系，并说明理由．
（3）拓展延伸
如图 3，在 ABCD中，点 A 3,4 ，点 B(1, 4)，点D 5,4 ， AB与 y轴交于点 M，点 P从 B点出发
沿 BA、AD运动，过点 P作 BC的垂线，过点 M作 BC的平行线，两线相交于点 N，将△PNM 沿 PM 翻
折得到△PTM ，若点 T落在 x轴上，求 P点的坐标．
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