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福建宁德市第五中学等校2025-2026学年第二学期适应性练习
高一数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知非零向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.在中，分别是角所对的边，且是方程的两个根，，则( )
A. B. C. D.
4.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，则平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
5.一艘轮船从处出发，沿着正东方向行驶到处，再从处向北偏西方向行驶千米到达处，此时，处在处的东北方向，则两处之间的距离是( )
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
6.已知向量、的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，则( )
A. B. C. D.
8.著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心重心垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半此直线称为欧拉线该定理称为欧拉线定理已知的外心为，重心为，垂心为，以下结论正确的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于复数，下面是真命题的是( )
A. 若，则 B.
C. 若，则 D. 若，则
10.四边形是边长为的正方形，是线段上的动点包括端点，则( )
A.
B. 当时，为中点
C. 的最小值为
D. 的最大值为
11.锐角的内角所对的边分别为的面积为，若，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知三个内角，，的对边分别为，，，若满足条件，的三角形有两解，则边长的取值范围为 ．
13.矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为 ．
14.如图，是以为直径的圆上的动点，已知，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平行四边形中，是上一点，是上一点，且，设．
用基底分别表示向量；
若，用平面向量方法证明三点共线．
16.本小题分
已知为虚数单位，复数是的共轭复数．
若是纯虚数，求；
在复平面内，复数对应的点分别是，若为直角三角形，求的值．
17.本小题分
如图是一个正四棱台的铁料，上下底面的边长分别为和，高．
求四棱台的表面积；
若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比．
18.本小题分
在中，角的对边分别是，满足，且．
求角的大小；
为边上的一点，，且__________，求的面积；
从下面，两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
是角的平分线；
为线段的中点．
若为锐角三角形，求边上高的取值范围．
19.本小题分
设两个非零向量，定义伪叉积：，其中是方向逆时针旋转到方向所成的角规定零向量与任意向量的伪叉积为零已知对任意的，满足．
设，计算和；
设，求证：；
如图所示，四边形的外接圆圆心为，半径为，对角线相互垂直且交点为，直线交于点分别为的中点，求三角形面积的最大值．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由向量的减法可得，
由向量的加法可得，
同理；
由，
则，所以，
又为公共点，即三点共线．

16.解：．
为纯虚数，
，解得，
，．
复数，，是的共轭复数，
所以
则，，．
为直角三角形，显然．
即．
解得．

17.解：如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，
分别取中点，连接，
过点作，交于点．
则，
所以，
所以四棱台的表面积．
若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，
则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高．
则圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，
高，则圆台的体积为．
又正四棱台的体积，
所以削去部分的体积，
所以削去部分与圆台的体积之比为；

18.解：由可得，
，
故，即，
得，由于，故，
．
若选：由平分得：，
又，，
，即．
在中，由余弦定理得，
又，则，
联立，得，解得，
；
若选：为线段的中点，则，
则，
由知，
所以，
在中，由余弦定理得，
又，则，
联立，得，
．
由知，已知，
由正弦定理得，
故，
，
由于为锐角三角形，故，故，
因此，
则
故三角形的面积为，
故边上的高为，．

19.解：由平面向量数量积的坐标运算可得，
由于为锐角，则，
故，
．
不妨设射线分别为角的终边，则，
设，，则，，
则
，
故，故．
以点为坐标原点，直线所在直线分别为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
设，由题意知，
．
由垂径定理知，
，
当且仅当时等号成立，
则，
当且仅当时等号成立，
综上所述三角形的面积的最大值为．

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