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四川字节精准教育联盟—精准备考2025-2026学年下学期期中教学质量评价数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，向量，则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为( )
A. B. C. D.
5.设向量，，则( )
A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的充分条件
C. “”是“”的必要条件 D. “”是“”的充分条件
6.已知平面上不共线的四点，满足，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.在中，，，则的外接圆半径为( )
A. B. C. D.
8.已知向量，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 平行六面体的各个面都是平行四边形
B. 圆柱的侧面展开图是一个正方形
C. 将棱台的侧棱延长后必交于一点
D. 将直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周形成的旋转体是圆锥
10.在复平面内，复数对应的点为，向量绕原点逆时针旋转至处，若旋转角为，则( )
A. 的坐标为
B. 当时，
C. 当时，以为圆心，为半径的圆中劣弧的长为
D. 的坐标为
11.已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法错误的是( )
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若为锐角三角形，且，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数为虚数单位是纯虚数，则实数 ．
13.底面边长为的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为的正三棱锥，所得棱台的体积为 ．
14.已知向量，，为单位向量，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，是的重心，且．
求的值；
若过点的直线与线段交于点，与线段交于点，且，求的值；
若，点是线段上一点不同于端点，过点分别向作垂线，垂足分别为，求的最小值．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，求；
若，求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，是边长为的等边三角形，为侧棱的中点，为线段上一点．
证明：平面平面；
若平面，求直线与平面所成角的正弦值；
设点为三棱锥的外接球的球心，试判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
18.本小题分
设，，分别为三个内角，，的对边，且．
求角的大小；
已知，，求的面积．
19.本小题分
在四边形中，，，，其中，分别为线段，的中点．
证明：
求与之间的距离
求．
参考答案
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14.
15.解：因为是的重心，所以，得，
两边平方可得，又，
所以，
即，所以．
因为为的重心，所以，
又因为，所以，
由于三点共线，所以，
所以．
由知，又，
所以，解得，
，解得，
，解得，
所以的面积为，
又，
所以．
因为，
同理，，
所以，当且仅当时，取等号，
即的最小值为．

16.解：由正弦定理得，即，，
由余弦定理得，由得．
，即，
由余弦定理得，
由得．
由，，得，
．

17.证明：平面平面，交线为，，平面，
则平面．
平面，则．
又，，，平面，
平面．
平面，
平面平面．
平面，平面平面，
，为线段的中点．
取的中点，连接，则平面．
以为坐标原点，，所在直线为，轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则
令，，．
设与平面所成角为，
则．
由知，平面，
因为平面，所以，为直角三角形，且也为直角三角形，
则三棱锥外接球的球心为线段的中点，
则，且，
即点恒在与平行的直线上，
点到平面的距离为到平面的一半，
则三棱锥的体积为定值，
，
，
．
18.解：因为，
在中，由余弦定理可得：，
所以，
可得，
由正弦定理可得：，
又因为，
可得，而，
可得；
，，，
由余弦定理可得，即，
即，
解得或舍，
所以的面积．
即该三角形的面积为．
19.解：证明：由题意可得
．
，
解得，同理，
由题意易得，
设与间的距离为，由勾股定理得，解得．
由勾股定理得，得．
显然，而，
而，得，
同理，可得与间的夹角为，
于是．
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