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安徽鼎尖教育2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
3.如图所示，某测量人员在高为的山顶处，测得地面同一直线上的、两点的俯角分别为和，则、两点的距离为( )
A. B. C. D.
4.九章算术中将正圆台称为“圆亭”某中学数学社团仿照古制制作了“圆亭”模型，模型上、下底面周长分别为和，高为，则该模型的体积为( )
A. B. C. D.
5.用斜二测画法画出的水平放置的的直观图是边长为的正三角形，则原的面积为( )
A. B. C. D.
6.对于简单凸多面体，满足欧拉公式：顶点数棱数面数已知某正多面体的每个面都是正三角形，每个顶点连接条棱，则该正多面体的棱数为( )
A. B. C. D.
7.在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知非零向量，不共线，给出下列四个结论：
若，则
若，则存在正实数，使得与垂直
“”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件
若，则“”是“与的夹角为”的充要条件．
其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足为虚数单位，且是关于的实系数一元二次方程的一个根，则下列说法正确的有( )
A. 的虚部为 B. 复数的共轭复数为
C. D.
10.如图，已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的球面上，底面边长为，侧棱长为，则下列说法正确的有( )
A. 正三棱柱的外接球的球心一定是上下底面中心连线的中点
B. 若底面边长，则侧棱长
C. 若侧棱长，则该正三棱柱的体积为
D. 该正三棱柱的侧面积的最大值为
11.已知中，，点为边上的动点，满足为实数，则下列说法正确的有( )
A. 的面积的最大值为
B. 当为中点时，
C. 若的面积为面积的，则
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若与共线，则实数 ．
13.已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三个侧面的面积分别为，，，则该三棱锥的体积为 ．
14.在平面斜坐标系中，，平面上任意一点的斜坐标定义为：若，其中、分别为轴、轴正方向上的单位向量，则的斜坐标为已知点的斜坐标为，点的斜坐标为若，则实数的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，是夹角为的两个单位向量，设，．
求证：与垂直；
求向量与的夹角的大小．
16.本小题分
已知复数满足，且的共轭复数满足为纯虚数．
求复数
若复数，求在复平面内对应点的坐标，并判断该点所在的象限．
17.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，求的周长的取值范围．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切．
求该圆柱的表面积
求该直三棱柱的外接球的体积
点是直三棱柱外接球表面上的动点，是圆柱表面上的动点，记，为外接球的半径，求的最大值．
19.本小题分
在中，角的对边分别为，已知．
求的值；
若，解答下列问题：
当的面积为时，求边上的中线长；
若点在边上，且平分，求的取值范围．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由已知，
，
所以．
因为，是夹角为的单位向量，
所以，且，
代入得，
因此，与垂直
设向量与的夹角为，则．
先计算．
再计算，
所以；
，
所以．
于是，
因为，故或

16.解：设，其中，，
由得，
又，
则．
因为为纯虚数，
所以，且．
联立方程解得
当时，当时，．
所以或．
由，而，故．
当时，，
在复平面内对应点的坐标为，且该点位于第二象限
当时，，
在复平面内对应点的坐标为，且该点位于第四象限．
17.解：由正弦定理，得，
代入已知，得．
因为，，得，即．
又为锐角三角形，所以；
由正弦定理得，所以，．
因为，所以，即，
因为是锐角三角形，所以解得．
周长．
．
由于，则，从而
所以周长的取值范围是．

18.解：在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，
所以．
的内切圆半径．
圆柱的高，
所以圆柱的表面积
直三棱柱的外接球球心位于上下底面外心连线的中点．
底面直角三角形外心是斜边的中点，则，
，所以，
外接球半径，
体积；
由球的几何性质，的取值范围为，
代入得，
即的最大值，等价于求圆柱表面上的点到球心的距离的最大值的平方，
设点在底面的投影为，到底面的竖直距离为，
，
当取最大值即在圆柱上底面或下底面的圆周上时，竖直分量最大，
同时水平分量的最大值出现在底面内切圆圆周上，
因此的最大值必在圆柱上下底面的内切圆圆周上取得，
在中，内心到外心的距离为，
，
，
故．
19.解：根据已知，由正弦定理得，
因为，
所以，
由得，故．
由知，则，
由面积得，即，
又由余弦定理，
代入，得，
设的中点为，则，
，
故中线长为．
由角平分线得，
又，得，，
则，
由余弦定理，即，
所以，，
由当且仅当时取等号，得：
所以，
又为三角形边长，则，故
综上所述，的取值范围为．

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