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绝密★使用前
高二数学学科练习
注意事项：
1.本卷共 4 页，满分 150分，考试时间 120 分钟．
2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．
3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效．
4.结束后，只需上交答题卡
选择题部分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1、对于直线 x y 3 0下面叙述正确的是 ( )
A. 斜率是1 B.斜率是 1 C . 倾斜角是 D. 倾斜角是
4 4
2 n、已知数列{an} 的通项 an 17n 2 ， Sn 为前 n项的和，则下面叙述正确的是 ( )
A.{an} 是等差数列 B.{an}是等比数列 C . {an}是递增数列 D. Sn有最大值
6 2 6
3、设 (1 2x) a0 a1x a2x a6x ，下列正确的是( )
A. a0 1 B . a6 64 C . a6 64 D . a0 a1 a2 a6 0
4、下列命题错．误．的是 ( )
A. 若向量 a (1, 2, 2),b ( 2,4, 4)，则 a // b
B. 若向量 a (1, 2, 2) ，则 | a | 3
C . 若向量 a (4, 2, 2) ,b (2, 1, 0)，则 a在b上的投影向量是 2b
D. 若向量 a (1, 1 2 2 2, 2) ，则与 a共线的单位向量是 ( , , )
3 3 3
85、已知离散型随机变量 的分布列如右表，且 的均值为 ，
3
则下列结论正确的是 （ ）
A. a 4,b 1 1 B . a 3,b
2 3
C . a 3,b 1 D . a 4,b 1
2 3
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6、在一个装有大小、形状都一样的 3 个白球，2个黑球和 1 个红球的箱子内，无放回地摸球，每次
摸一个，在已知第一次摸到白球的条件下，第二次仍摸到白球的概率是 ( )
A. 1 B . 2 C . 3 D. 1
5 5 5 6
{a },{b } n A ,B An 3n 2 2a 3a7、设等差数列 3 5n n 的前 项和分别为 n n ，且 ，则 （ ）Bn 5n 1 b3 b9 b1 b7 b10
A. 19 B . 19 C . 29 D. 20
54 27 54 29
8、设 f (x), g (x) 表示可导函数 f (x), g(x)的导函数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 f (x) g (x)，则 f (x) g(x) B. 若 f (x) g (x)，则 f (x) g(x)
C . 若 f (x) f (x)，则 ef (1) f (2) D. 若 xf (x) 2 f (x)，则 4 f (1) f (2)
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合
要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9、下列函数求导运算正确的是 （ ）
A. (e x ) e x B. (ln x) 1 1 C . (sin 2 x) cos2 x D . ( tan x)
x cos2 x
10、下列结论正确的是： （ ）
A. 某校共有 400 名女生，600 名男生，最近流感高发，女生患流感的概率为 0.3，男生患流感的概
率为 0.2.随机地在学生中抽查一人，则此人患流感的概率是 0.24．
B . 某班 30 位同学在一次考试中，均值为 92 分，方差为 0，则该班的每一位同学的成绩都是 92 分．
C. 将多项式 (1 2x y)8 展开后所有项的项数共有 45项；
D. 某人有五把钥匙，其中只有一把能把门打开，他依此随机取钥匙试着开门（试过了的不重复试），
则他能在第一次能把门打开的概率与试到第五次才打开门的概率是不相等的；
11 y2、抛物线 4x，O ,F 分别为坐标原点和抛物线的焦点，过F 点的直线交抛物线于 A,B两点，
kAB 表示直线 AB的斜率，则下列结论正确的是 （ ）
A. 当 kAB 1时， AB弦长等于8 B . 2 | AF | | BF |的最小值为6
C. OA OB为定值 D. 当 kAB 存在时， AB的中垂线恒过定点
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非选择题部分
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
x2 y 2
12、已知 y 2x是双曲线 1(a ,b 0)的两条渐近线，则双曲线的离心率是 ．
a2 b2
13、六人排队，要求 A,B两人相邻，C ,D两人不相邻，则所有不同排法有 种．（用数字作答）
2 2 2 2
14、设M 是圆C1 : x (y 4) 4上的动点，N 是圆C2 : (x 4) y 1上的动点，O为坐标原
点，则 |OM | 2 |MN |最小值是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、设函数 f (x) 1 x3 x2 ax 2 a
3
（1）当 a 1时，求 f (x)的图象在点 (0 , f (0))处的切线方程；
（2）若函数在区间 ( 2, 2)上单调递增，求实数 a的取值范围．
3a 2
16、已知数列{a }满足： a 2, a n 1n 1 n 2an 1 1

（1）证明数列
1
是等差数列，并求出{a }的通项公式；
an 1
n

（2）设bn (an 1)(an 1 1)，求数列{bn}的前 n项的和 Sn
17、四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是 BAD 600 的菱
形，M 是 PC的中点，且 PA PD AD 2 PB．
3
（1）证明： PA // 平面MDB
（2）求二面角 B DM C的平面角的余弦值．
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x2 y 2
18、已知椭圆C1 : 1(a b 0)
2
的右焦点 F 与抛物线C2: y 2px ( p 0)的焦点重合．a2 b2
（1）若 F 为 (2,0)，求抛物线方程；
（2）若椭圆与抛物线的公共弦恰好经过焦点 F ，求椭圆的离心率；
x2 y 2
（3）若椭圆方程为 1，过焦点F 作直线 l与椭圆、抛物线交于 A、C和 B、D四个点（如
25 24
图），问：是否存在这样的直线 l，使得 | AB | |CD |，若存在求出直线 l的方程，若不存在，说明
理由．
19、某人清明节去烈士陵园扫墓，需要爬一个有 n级台阶的山坡，此人走这台阶时，每步跨1级台阶，
或跨 2级台阶．
（1）当 n 6时，他只用 4步跨上了第6级台阶，问共有多少种不同的走法；
2 1
（2）已知此人从地面（即第 0级台阶）开始，每步跨1级台阶的概率为 ，跨 2级台阶的概率为 ；
3 3
1 求此人跨上第 4级台阶的概率；
2 求此人跨上第 n级台阶的概率．
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一、、单选单题选：:BBDDCCDDAABBBBCC
二、多多选题选：:ABADBDABCCAACC
三三、填空题：:12、√55；:1313、、11444 14、8
1414题题:：圆圆CC即为1即为以以OO(0(0.,0),.PP((00,3))满足足|M1OMO| 上22|1MMP |
的阿氏圆圆，所,所以 |以OMIO|M 12+|M21NM|N E22|1PPMM|1 +22|1MMNN |
而 |1PPMMI| +|1MMNN2| P| PNN2|P |CP.CI2-| 11= 44,，所所以 |1MMOO|I +22|M1MNN| 28
号
三三、解答题:：
115、（(11）)切点点是基(0 ,(10)，.1又,又f (Fx)( x)x2= x2+x2 x+aa得得k k =fW (00))= aa= 11,，所所以切线维是县y v=xx +11（(6分）
(（得得分细则：:切点 11分，,求导 22分，,斜率 11分，,方程 22分）
(（22)）只只要/f' (xx)) =x2+ 22xx+ a≥a 00在在((- 22,,22))恒成立，,（(9分）
而仁f ((x) =/(-min f ( 1) = -1 +a，,所以 -11 +aa ≥00 a2 1即即aa的的范围为为[1,1 + o))(（113分）
得得分细则：:或是导参变变分分离离a a2 -xx2- 22xx在在((- 2.2,2)2恒)恒成成立,，也也得99分分
2
若若是答案错误，,但能画出出f「 (x()x) =x + 2x2+xa 图a象图,象有，数有形数结形结合合思思想想,，或或是是有有配配方方均给22分分
1 1 1
16 （ 1 ） 因 为 2 为 定 值 ， 所 以 是 等芳差故数列列所，以所 以an 1 an 1 1 an 1
1 1 2n
(n 1) 2 2n 1 a (（66分分)）
an 1 a
= )'2= = =a。
1 1
n 22n 1
1 1 1
得得分细则:：能能作作差差 “给给22分，,其差值计算正确，,从而得
a 1 a 1
是等差数列给22分分,，
n n 1 an 1
再再求求出通项给 22分，,共66分分
1 1 1 1
(（22)）bb。n ( )， （(1111分)）
((2n= 11M)(22n+ 11))222n一2n 11十2n 1
S 1 [(1 1) 1 1 1 1 1 1 n所以 Sn= 5[(÷ -÷ )( + (÷) - ÷ )(+ +( —-)]):] (1 ) (（1155分分)）2 1 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n2n十 1
OCQYCGY高G二高数二数学学学科科答答案 第 1页(共 5页)
得得分细则：:写出bn.表达式式得得22分，,b裂n裂项正确得 3分（(共共55分分)）对对5.S能n 能写写出出和和式给22分分,，结结论论正正
确确旧但未化简的不和扣分
1177、（(11）)连连AACC交 BBDD于 NN,，连结MAN,，因为 ABCD易是等菱形，所,所以以N 是N易ACAC中点点，从,而从面MNAN//1PPA4，
而而MMNNC平 平面面MMBDB,DP，A不PA在不平在平面面MMDBD内B 内,所，所以以PPAA/平// 平面面
DMDB。 （(66分分)）
得分细则则：:作作出出MNMN给给22分分，,有有MMNN///PPA4给 22分（(共 44分）)漏条
件MNNC平 平面面MMBBDD.P，4不PA在不在平平面MDDBB,扣，扣1分1分,，得得55分分
(（22)）取取ADAD中中点点OO,并， 并连连结结OOPP.,OB 。 设 AD= 2,，则则
号
PPBB=3 、3,OP= OOB=BV 3,又3 ，A又PD 、PAADBA, DB都A是D都等是边等三边三角角形形,，所所
以 ADI OOPPA,DAIDO R=OABD I平AD面 平PO面RP。OB所。以所以平面 PPO0BR
平面 A4BCD(（9分9分)）
从而在平平面面POPBOB内作作OZOZ ⊥OOBB，,则有OOZZ1 底底面AABBCCDD,加，如图图
建 立 空 间 坐*标 系器。-中由 干于 PBR =3,OP= OBR= J3所所以以
3
∠ POBB=1 2102°00。。得RP((
3 3
O0,, , ) ,BB(0(0-,J33.,001).,CC(( -22., J33-,00))，,DD(-( 11.,00
3 3
.,00)),.MM((- 11, , )，
2 2 4 4
3 3
M从血而)DMM=( 0(0, , ),,DB= ((1,V3,00) )设 平 面 DMB的的法法向向量量 为mn=1( x(,x ,yy, z=)),，则则
4 4
3
y
3
z 0
nn⊥1 DMD.M从, n⊥1 DBD B得得 4 4 ，令 y - J3,，则则xx=3 .3=,=z 1 ,1所，所以以n=n(1 3 .(3-,J 3.31,1)),，同同

4x十 y5业3y三 (0
DMC n n 5理理得平面 C的的法法向量 n2 =((- 3-, J33.,1)，, 所以 cos 0= | 1 2 | (（115分）
龙| n 11 | 应| n2 | 13
得分细则：:证出出AADD 1OOPP、, AD1 OBO两B个两个垂垂直直各得 1分，,证出 AD⊥ 平面 PPOB,，平平面PPOOBB⊥ 平平
而面4RACBDC各D各得得1分1分。。共共44分分
建建系正确得 2分,，P点P点坐坐标标得得1分1分,法，向法向量量每每个个给给1分1分,二，个二个法法向向量量都都正正确,，而而结结论计算错误给 114
分分。。若是OPP为为=轴z轴,建，系建系错错误误,则，则建建系系后后面面6分6分不不给给分分
1188(（1)1）由由F(F2(.20,0)),得抛 2，得抛物线方程为为y2= 88xx ----------------------------------------(（22分）
OCQYCGY高G二高数二学数学学科科答答案案 第第22页页((共55页页))
（(22)）首首先先pp=2 c2由c椭，由圆椭及圆抛及物抛线物线的的对对称称性,，得得公共弦与 x轴垂直，,由 F (c ,00)) 一而直直线线xx =c，
2
也即xx p b p= 2得与得椭与圆椭圆在在第第一一象象限限交交点PP((cc,, ) ，与与抛抛物物线线在在第第一一象象限交点PP((二, p) ,，所所以以
2 a 2
b2- = p= 22cc÷ bb22 = 22ac÷ a 22 -c22 =2acc ÷ee =V2 -1 ---------(-（66分）
a
得 2得分细则：:得 pp =2c,，11分分,，求求得 P点点坐标，,1分，,得到关关系系b b 2=22acac，,11分，,再求求得得e e=V22 -1
11分分,，共共44分分
( 2（33)）由由椭椭圆圆方方程得FF((.10,0)),故，故抛抛物物线线方方程为vy=4 x,4首x，先首当先1的当斜l的率斜不率存不在存在时时,由，曲由曲线线的的对对称称性性
知话适合题霞意，.甘此时直吉线续l1方程程为为xr =1； (（77分分)）
当/l 斜 率存在在在时时，,由由| A1BA|B |=CCDD|e l|AAC叫| | BD1|,，设设/l为为vy= (xk(-x1 )1),联， 联列列精椭 圆得 ：
5O2 2
(24 25k 2 )x2 50k 2 2
25h=
x 25k 600 0 50k 25k
66O0O0
(2 +25 * x^-50k* x+25k *-60 0=0 xx,A+ xxcC= 24+ , x x
,，联联列列地抛物
24 2255kk22 A C 2244+ 2255k22
2十2
2 2 2k 44
线方程得得k kx^x ^(-2(k22 k^4+)x4 )xk+2 k ^0= 0→x (12Bx +xDp= x, xB 三xD 1 （1 2分）k 2
解 法 一 ：:一 般 弦弦长长公公式 ：式|:A1CA| Cl1= √k 2 +|kxC1 xx-Ax| 1，,则 |

1AACC| Fh1+ kk22 其其中中
224+ 255k 2
24O k2+
A =5 0520k2 k^4- 4(4(2244+ 2255kk22))(2255k 2
240(k 1)
k2 -66000)) =44 ·2422 4225·(k22 5(1)k2，+1所).所以v|1ACl| ， 又224 +255k 2
2 2
1 A+k1x2e-x (2k 4) 4k
4 4十2
| BD | 1 k | x 4(k 1)D .xkT| +kB 1 2k.2J (2k+4)-4k ， 所所 以以 据据k 2 k 2
丨| AACC| F|lBBDD| Pkk22= 24 6 ，所所以以1l方程为 x= 11 yy= 寸 2 (x 1)。 (（1177分分)）
35 及 35
110Ok 2 4(十k 2 1)
解法二：:焦半半径径公式公法式：法| A:C1A| C2=a2a -ee((xAx .+xxC )= 1100- -，,| BD|| =xg +xxp+ pp1 224+ 255k 2 B D k 2 ，
下下面面与与解解法法一一相相同同。。
OQCYCGY高G二高二数数学学学学科答案 第33页(共 5页)
22b2 48
万方法三：:桶椭圆极坐标焦点点弦弦长长公公式式：:| A1ACC|F
aa(( 2 211= e^ecocso^sθ ) 5(1 1 -cCooss2 B)
2255
2p
B| BDDE| 2p 4 24 2 2 2 24,，由由|| ACCE| B| BDD→| sisni^nθ = → k = ttannG
ssiinn22 Q sisinn22Q 59 35
得分细则则：:求求得得x x1=，1,11分分，,转转化化| A1BA| B|日CDC|D I| AlCAC| 日| BBDD|1，,11分，
方方法一、方法二中：: 联列骗椭圆及撒抛物线绳方程，,得出考韦达定理各 22分,，求求得得瞒椭圆圆弦长22分分、，狱抛物物经线强弦
24
长长11分分,，最最后 2后求求得点k -及直百线缓方方程程共共2 2分分，,此处处99分，,本小题共 11分。
3355
sin 2 24 2 24方方法三:：求得椭圆弦长，,3分、抛物线线弦弦长长，,22分，,求得 in~0 = ,，22分分,，最最后后求得 tann2 Q= 及
59 35
百直线方程共 2分。此处 9分，, 共111分分
1199、（(11)）当当nn=6 时6,时他，只他用只用4步4跨步跨上上了了第66级级台阶，、则说说明明此此人有人2有步2跨步2跨级2，级2,步2步跨跨1 级1级，所,
2
以共有CC=4 66种种:； (（4分4分)）
得得分细则：: 能分析出有 2步跨 2级,，2步2步跨跨1级1级给给2分2分。。若穷若举穷举法法排排出出6种6种给给满满分分,，直直接接写写出出答答
案案者者也也给给满满分分
(（22)）
2
①1)此此人人跨跨到到第一级台阶，,只能是从地面面（(第 0级台阶）)跨一级上来，,所以 Pp.1 ，跨跨上上第第二3
级级台台阶阶可能从第00级级跨跨2级2 级上上来来,或，从或第从第一一级级台台阶阶跨跨一一级级上上来来,，所所以以由由全全概概率率公公式式得得
p 1 2 72 p3 0
p1 ,，此此处pp。0 =1(（77分分)）3 9
同同理跨到第 3 级台阶只能从第第11级台阶跨跨22级上来来，,或是鼻从第第22级台阶跨跨11级上来 ,，所所以以
p 1 p 2 20 1 2 6613 1 p2 ，同同理 p4 p2 p3 (（11O0分分)）3 3 27 383 81
得得分细则：: 求得Dp.1给给1分1分,D，、p给2 2给分2共分3共分3。分若。是若能是写能写出出n、p2关关系式,，但但n、p2 算错给 1分；
PpP1止, p确2 正,能确，与能出写天出系关式系式P,Pp.3 ,天p4系关式系,式而，计而算计算错错误误其共给55分分..本本小题共兵6分.
2 设设跨到第nn级级台台阶的概率为 Pp
1 2
.n,，同同上上理理由由全概率公式得 Pp.n p3 n 2
Dpn 1其，其中3
p 2 7P0 I1, p1 , p2 。3 9
2 1 1 1 1
万方法一。：由 pn pn 1 pn 2 pn p3 3 3 n 1
pn 1 pn 2 {pn "二pP3 3 n
。 1}是是常常数列,，从
OQCYCGY高G二高二数数学学学学科答案 第44页(共 5页)
p 1 1 3 1 3 3 1 1而 n p
n
3 n 1
p1 p0 1 pn ( p ) p ( ) ,（17分）3 4 3 n 1 4 n 4 4 3
p 2 p 1 p 1 3得得分细则:：与写出出p。 给2分。n n 1 n 2 给 2分，得到{pn pn 1}是高常数列给 2分 分,，{pn p }等3 3 3 4 n 1
比比给22分分最最后后得止正确各答案给 1分。本小题共兵7分。
p 2 p 1 p 2 2 1 1力方法二_：由 n n 1 n 2 ，构造特征方程 x x x1 1, x2 ，所所以以设3 3 3 3 3
p 1 np。n三 AA十 B ( ) ，代代入 p三0 1, p
2 A 3 1 3 1 11 , B ，从而 pn ( )
n
（17分）
3 3 4 4 4 4 3
2 2 1 1 1
得得分细则:：构构造造特特征征方方程程x“x x x1 1, x2 ，得得22分分,，设设P。pn = AA+B ·B( ( )
n
存得22分分，
3 3 3 3
止正确求得 A.,B得22分,，最最后结论 1分。
OCQYCGY高G二高数二学数学学科科答答案案 第第55页页((共55页页))

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