资源简介

备战2026年湖北省中考数学创新题
专题1 传统文化试题
一、结合近三年考情：传统文化试题的核心特征
1. 命题载体集中，地域文化凸显
经典典籍为主：高频考查《九章算术》《孙子算经》《算法统宗》等古代数学著作，如 2023 年襄阳中考的 “绳索量竿”、2024 年湖北卷的 “牛羊值金” 问题，均直接源自典籍原文。
生活文化渗透：融入非遗技艺（如抖空竹）、传统习俗（如分银子、和尚分馒头）、古代工程（如门高广测算）等场景，2025 年模拟题中 “大唐团扇”“老碗面” 等地方文化元素增多，体现 “数学源于生活” 的命题理念。
2. 题型分布明确，考查重点聚焦
题型占比：以选择题、填空题为主（占比约 80%），偶尔在解答题中渗透，分值通常为 3-8 分，属于基础或中档难度题。
核心考点：集中在方程与不等式（二元一次方程组、分式方程）、几何计算（平行线性质、勾股定理、弧长 / 面积计算）、应用题建模三大模块，2023-2025 年真题中方程类占比超 60%，几何类占比约 30%。
3. 命题形式创新，情境化特征明显
采用 “文化背景 + 数学问题” 的模式，通过文字描述、算筹图、实物示意图等呈现题干，阅读量逐年增加，侧重考查信息转化能力。
跨学科趋势初现，如 2025 年模拟题中 “风电塔杆测量” 结合物理光学（平面镜成像）与几何知识，体现学科融合导向。
二、解题方法总结：四步拆解传统文化试题
1. 审题翻译：剥离文化外壳，提取数学本质
关键步骤：①通读题干，圈画 “横放”“竖放”“分”“余”“少” 等关键词，理解实际情境；②将古代表述转化为现代数学语言（如 “邪之适出” 译为 “对角线相等”，“半斤” 按明代规制译为 8 两）；③忽略文化背景无关信息，聚焦数量关系或图形特征。
示例：《九章算术》“户不知高广” 问题，核心是 “竿长 = 门宽 + 4 = 门高 + 2 = 门对角线”，转化为勾股定理应用模型。
2. 建模转化：对接核心考点，建立数学模型
方程类模型：适用于 “分配问题”“测量问题”，根据关键词列等式（如 “多”“少”“相等”），设未知数时优先选择直接相关量（如 2024 年 “牛羊值金” 设每头牛羊值金 x、y 两，直接列二元一次方程组）。
几何类模型：适用于 “图形构造”“长度 / 角度计算”，通过画图还原情境（如 “抖空竹” 抽象为平行线间折线模型，利用平行线性质求内错角、同旁内角），或结合勾股定理、相似三角形、弧长公式计算。
算筹 / 图表模型：解读古代算筹符号、扇形图等，转化为现代数学表达式（如图 2 算筹图还原为方程组，需注意算筹代表的系数与常数项）。
3. 计算验证：规范解题步骤，确保结果合理
方程类题目需检验解的实际意义（如人数、长度为正整数），几何类题目注意单位统一（如 “尺”“米” 换算），避免因文化背景中的特殊单位出错。
复杂题型分步解答，如 “莱洛三角形” 问题，先根据 “等宽曲线” 特征确定等边三角形边长，再计算弧长求和，每步标注依据（如扇形弧长公式）。
4. 积累储备：熟记高频文化载体，提升反应速度
整理核心典籍中的经典问题（如《九章算术》的 “方程”“勾股” 章、《算法统宗》的 “分配” 问题），熟悉古代数学术语（如 “直金”“引绳度之”“屈绳”）。
关注湖北地方文化元素（如武当山建筑几何、楚绣图案对称），这类素材可能成为 2026 年命题新载体。
三、2026 年命题趋势预测：三大方向值得关注
1. 载体多元化：从典籍到地方文化，情境更贴近生活
经典典籍仍是基础，但会增加湖北本土文化素材（如黄鹤楼建筑中的几何图形、恩施吊脚楼的结构计算、长江航运中的行程问题），体现 “立德树人” 与地域特色结合的命题导向。
非物质文化遗产（如剪纸中的对称、竹编中的比例）、古代科技成就（如祖冲之圆周率应用、郭守敬历法中的周期问题）可能成为新热点。
2. 考点综合化：跨模块融合，侧重核心素养
单一考点题目减少，大概率出现 “方程 + 几何”“代数 + 实际应用” 的综合题（如结合勾股定理的二元一次方程组应用、利用相似三角形的行程问题）。
核心素养聚焦 “模型观念”“推理能力”“创新意识”，可能出现开放性题目（如 “设计符合古代规制的矩形庭院，满足周长与面积条件”），答案不唯一但需符合文化背景与数学逻辑。
3. 形式创新化：阅读量增加，跨学科渗透加深
题干文字长度可能进一步增加，加入图表、示意图等多元呈现形式，考查数学阅读与信息筛选能力。
跨学科融合更明显，可能结合物理（力学平衡）、历史（古代度量衡演变）、美术（传统图案对称与旋转）等学科知识，但核心考点仍围绕方程、几何、应用题展开，不会超出课标范围。
一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是( )
A. B. C. D.
2.剪纸是我国传统的民间艺术.下列剪纸作品中属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受.下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美.下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本，则抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的概率是( )
A. B. C. D.
6.习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂.东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇.如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条竹条宽度忽略不计的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为
A. B. C. D.
7.《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一.“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
8.为将中华优秀传统文化融入学校教育教学，积极引导青少年从小学习中华优秀传统文化知识，培养审美鉴赏和创造能力，筑牢中华优秀传统文化根基．某学校计划开展中小学生中华优秀传统文化知识竞赛．并对八年级班的50名学生竞赛成绩进行了调查，统计结果如下表所示．
分数分 90 92 94 96 98 100
人数人 4 10 11 13 9 3
在本次调查中，八年级班这50名学生竞赛成绩的中位数是 分．
9.如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M， .
10.中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 .
11.《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，那么门的高为 尺．丈尺，1尺寸
12.如图，古琴，又称“琴”“瑶琴”“玉琴”“绿绮”或“丝桐”是中国传统拨弦乐器，有三千年以上的历史，琴上的一根弦长，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C、D之间的距离
13.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈丈尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．
14.如图，是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧.随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意.图是月亮门的示意图，弦AB长2m，拱高CD长3m，则该拱门的半径是
15.传统服饰日益受到关注，如图甲，为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似的看作扇环如图乙，其中长度为米，裙长AB为米，圆心角，则长度为 米．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题8分“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体如图，在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处.借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是，他与彩亭中轴的距离米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角，点E、F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴米，甲同学的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度结果精确到米，参考数据，
本小题8分对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的，某人要装裱一副对联，对联的长为100 cm，宽为若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．
18.本小题8分端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．
求猪肉粽每盒、豆沙粽每盒的进价；
设猪肉粽每盒售价x元，y表示该商家销售猪肉粽的利润单位：元，求y关于x的函数表达式并求出y的最大值．
19.本小题8分中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力.某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件.
某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件？
中国的天问一号探测器、奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐.该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘转盘被分为5个大小相同的扇形凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少？
20.本小题8分
为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动.
已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率：
小明到南通博物苑参加社会实践活动；
小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动.
21.本小题8分为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈.大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高碑顶到水平地面的距离，于是师生组成综合实践小组进行测量.他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为，在B点处测得碑顶D的仰角为，已知，测角仪的高度是、B、C在同一直线上，根据以上数据求烈士纪念碑的通高结果保留一位小数
22.本小题8分拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品.某数学兴趣小组决定测量东塔CD的高度.他们首先在A处安置测角仪，测得塔顶C的仰角，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角，已知测角仪AF高米，请你根据以上数据计算出东塔CD的高度参考数据：，，，
23.本小题8分
在襄阳市诸感亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像.某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度.如图，在点C处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32m，从热气球C看铜像顶部A的俯角为，看铜像底部B的俯角为已知底座BD的高度为4m，求铜像AB的高度结果保留整数.参考数据：，，，
24.本小题8分两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆型器物，据《尔雅释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，谓之环.”如图1，“肉”指边阴影部分，“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现来看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系.
若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为______；
利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题保留作图痕迹，不写作法：
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔.
25.本小题8分综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究.第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流.下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题.
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观.榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示.板凳的结构设计体现了数学的对称美.
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量.设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x mm，凳面的宽度为y mm，记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度
凳面的宽度 132 165
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点.
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由.
当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是简单几何体三视图有关知识，根据从前往后看得到的识视图为主视图解答.
【解答】
解：该几何体主视图为：.
2.【答案】A
【解析】【分析】
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【解答】
解：B、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.
故选：
3.【答案】D
【解析】解：A，B，C选项文字均无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形；
D选项的文字能找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，为轴对称图形；
故选：
根据轴对称图形的定义判断即可．
本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
4.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：
根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5.【答案】B
【解析】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《孟子》即和《大学》即的可能结果有2种可能，
抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的可能结果，
故选：
用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．
本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由题知，
，
，
所以山水画所在纸面的面积为：
故选：
将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．
本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由题意得：，
故选：
根据两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，列出二元一次方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】95
【解析】本题主要考查了求中位数，一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可．
【详解】解：把这些数从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，第25、26个数分别为，
则中位数是：分
故答案为：
9.【答案】
【解析】解：如图，设正八边形的中心为O，
八边形ABCDEFGH是正八边形，
，
故答案为：
根据正八边形的性质，圆周角定理以及三角形外角的性质进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质，圆周角定理以及三角形外角的性质是正确解答的关键．
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】设长方形门的宽x尺，则高是尺，根据勾股定理即可列方程求解．
【详解】解：设长方形门的宽x尺，则高是尺，
根据题意得，
解得：或舍去
则宽是尺
答：门的高是尺；
故答案为：
12.【答案】
【解析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
【详解】解：支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，，
，，
，
、D之间的距离为，
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，根据勾股定理得：，
解得：；
故答案为：
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接
设该拱门的半径
，
，
，
，
在中利用勾股定理，得，
，
，
该拱门的半径是
故答案为：
连接设该拱门的半径，根据垂径定理求出AC，将OC用含r的代数式表示出来，在中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可．
本题考查垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握并灵活运用垂径定理和勾股定理是解题的关键．
15.【答案】
【解析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得米，得到米，然后根据弧长公式计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得米，
裙长AB为米，
米，
米，
故答案为：
16.【答案】解：过点M作，垂足为
由题意知，四边形CMNB是矩形．
米，
米，
米
在中，
，
米
在中，
，
米
，
米
答：中轴上DF的长度为米．
【解析】过点M作，先利用直角三角形的边角间关系求出DN、AF的长，再利用线段的和差关系求出
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的性质与判定、线段的和差关系及特殊角的函数值等知识点是解决本题的关键．
17.【答案】解：设天头长为6x，地头长为4x，则左、右边的宽为x，
根据题意得，，解得，
答：边的宽为4 cm，天头长为

【解析】略
18.【答案】解：设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元，
则=，
解得：，
经检验是方程的解，
此时，
猪肉粽每盒进价50元，豆沙粽每盒进价30元；
由题意得，当时，每天可售出180盒，
当猪肉粽每盒售价x元时，每天可售盒，
，
，，
当时，y取最大值，最大值为1000元，
即y关于x的函数解析式为，且y的最大值为1000元．
【解析】设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用5000元购进的猪肉粽和用3000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；
由题意得，当时，每天可售出180盒，当猪肉粽每盒售价x元时，每天可售盒，列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值．
19.【答案】解：设扎染工艺品销售扎染x件，刺绣工艺品销售y件，
根据题意得：，
整理得：，
，y均为正整数，
，
答：扎染工艺品销售扎染3件，刺绣工艺品销售2件；
转动一次转盘所有等可能结果共5种，指针指向有纪念品的扇形的结果有3种，
该顾客获得纪念品的概率是
【解析】设扎染工艺品销售扎染x件，刺绣工艺品销售y件，根据某天这两种工艺品的销售额为1175元，列出二元一次方程，求出正整数解即可；
直接由概率公式求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及概率公式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20.【答案】；

【解析】图中社会实践活动分别用①，②，③，④，表示，
则小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率为；
列表如下：列表如下：
小丽
小华 ① ② ③ ④
① ①① ①② ①③ ①④
② ②① ②② ②③ ②④
③ ③① ③② ③③ ③④
④ ④① ④② ④③ ④④
共有16种等可能的结果数，其中小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果数有1种，
所以小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为
直接利用概率公式即可得出小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率；
利用列表展示16种等可能的结果数，从中找到小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果数，根据概率公式计算可得．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：由题意得：，，，，，
是的外角，
，
，
，
在中，，
答：烈士纪念碑的通高CD约为
【解析】根据题意可得，，，，，先利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，即可得的答案．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：设米，
在中，，米，
米，
在中，，米，
米，
由得，
，
，
米，
米，
答：灯塔CD的高为39米．
【解析】设米，在中表示出EF，在中表示出EG，根据列出方程，进一步得出结果．
本题考查了解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
23.【答案】解：矩形BDEF中有，，
，
，
，即，
，
，
，
答：铜像AB的高度为
【解析】本题主要考查了解直角三角形的应用，关键是找准三角函数．
根据题意，找准直角三角形及三角函数解答即可．
24.【答案】解：：27；
①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分线，线段AB，AC的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可，由作图可知满足比例关系为1：2：1的关系，符合“肉好若一”；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，交点分别为C、D、E，且，连接BE，然后分别过点C、D作BE的平行线，交AB于点 F、G，进而以FG为直径画圆，则问题得解；如图所示：

【解析】解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为，
它们的面积之比为：：27；
故答案为32：27；
见答案.
根据圆环面积可进行求解；
①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；
②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．
本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的有关知识，属于中考常考题型．
25.【答案】解：它们在同一条直线上，
设，
则：，
解得：，
所以这条直线所对应的函数解析式为；
当时，，
解得：，
所以当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是
【解析】根据待定系数法求解；
把y的值代入列方程．
本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键．备战2026年湖北省中考数学创新题
专题2 跨学科综合试题
一、结合近三年考情：跨学科试题的核心特征
1. 学科融合聚焦，主次关系明确
高频融合领域：物理、工程技术为核心搭档，地理、化学为次要补充。2023 年襄阳卷结合物理杠杆原理考查几何计算，2024 年湖北卷以地铁规划为载体融合一次函数与几何最值，2025 年武汉卷第 4 题通过光线折射考函数建模、第 22 题以桥梁工程考抛物线应用，形成 “数学为工具，学科为情境” 的稳定结构。
湖北地域特色：依托本地资源设计情境，如武汉地铁线路规划、长江桥梁设计等，将几何图形、函数模型与实际工程结合，体现 “用数学解决地方实际问题” 的导向。
2. 题型分布集中，考查重点突出
题型与分值：以选择题（3 分）、填空题（3 分）和中档解答题（8 分）为主，占全卷分值的 10%-15%。2025 年湖北专用卷 17 道题中，13 道含图文元素，跨学科题均依托图表呈现，强化信息提取能力考查。
核心考点锚定：聚焦三大模块 —— 函数建模（如电路与一次函数、运动轨迹与二次函数）、几何应用（如光学折射与相似三角形、建筑结构与勾股定理）、数据分析（如化学实验数据与统计量、地理测量与误差分析），其中函数与几何融合类占比超 70%。
3. 命题形式创新，素养导向鲜明
情境真实化：摆脱抽象设问，以科技前沿（无人机轨迹）、生活实践（电子体重秤）、工程建设（桥梁抛物线）为背景，2025 年真题中 “机器狗速度”“渔船过桥” 等情境，要求将实际问题转化为数学模型。
能力层级递进：基础层考查学科概念转化（如欧姆定律转函数关系式），进阶层考查模型构建（如并联电阻公式的几何验证），高阶层考查决策分析（如测量方案优缺点对比），全面覆盖 “模型观念”“推理能力” 核心素养。
二、解题方法总结：五步拆解跨学科综合题
1. 定位融合点：明确 “数学工具” 与 “学科背景” 的边界
关键动作：①通读题干标注学科特征词（如物理中的 “电压”“折射角”，地理中的 “海拔”“比例尺”）；②锁定数学考点信号（如 “关系式”“最值” 指向函数，“长度”“角度” 指向几何）。
示例：2025 年第 4 题 “光线折射”，学科背景是物理折射定律，数学工具是相似三角形判定与性质，需忽略光学原理推导，直接利用 “折射角相等” 转化为几何等量关系。
2. 转化学科知识：将跨学科概念译为数学语言
物理跨学科：力学中 “平衡” 转等式，光学中 “折射角 = 入射角” 转角度相等，电学中 “串联电压和” 转方程（如 U=U +U ），运动学中 “路程 = 速度 × 时间” 转函数关系式。
地理 / 化学跨学科：比例尺 = 图上距离 / 实际距离（地理）转比例式，实验数据（化学）转统计表格，再计算平均数、方差等统计量。
工程跨学科：桥梁抛物线转二次函数表达式（设顶点式 y=a (x-h) +k），建筑结构中的三角形转全等或相似模型。
3. 构建数学模型：对接核心考点建立解题框架
函数模型：适用于 “变量关系” 类问题，步骤为：设自变量（如质量 m）→ 找因变量（如电阻 R）→ 用学科公式建立关系式（如 R=km+b）→ 代入数据求参数→ 解决实际问题（如求最大质量）。
几何模型：适用于 “图形计算” 类问题，步骤为：画示意图（如光线折射路径图）→ 标注已知量（角度、长度）→ 关联几何定理（相似、勾股）→ 列等式求解。
统计模型：适用于 “数据分析” 类问题，步骤为：整理数据（表格 / 图表）→ 计算核心统计量（平均数、中位数）→ 结合学科意义解读结果（如实验误差大小）。
4. 规范求解验证：兼顾数学逻辑与学科实际
计算规范：函数题需标注定义域（如质量 m≥0），几何题注意单位换算（如厘米转米），统计题保留合适精度（如小数点后一位）。
实际验证：结果需符合学科常识，如电子体重秤最大质量不能为负数，桥梁承重计算结果需大于设计标准。
5. 积累高频情境：建立跨学科知识联结库
必储学科公式：物理（欧姆定律 U=IR、力学平衡 F =F ）、地理（比例尺公式、坡度 = 高度 / 水平距离）、工程（抛物线顶点坐标公式）。
典型案例储备：电路→一次函数、光线→相似三角形、桥梁→二次函数、测量→三角函数，形成 “情境 - 模型” 对应表，提升解题反应速度。
三、2026 年命题趋势预测：三大方向值得重点关注
1. 融合深度升级：从 “单一学科” 到 “多学科交叉”
命题新形态：可能出现 “数学 + 物理 + 工程”“数学 + 地理 + 环保” 的复合情境，如以 “长江流域生态监测” 为背景，融合地理坡度测量（几何）、水质检测数据（统计）、污水处理成本（函数），考查多模型综合应用。
学科关联强化：弱化 “背景点缀”，突出 “学科知识为解题必要条件”，如结合物理 “浮力公式” 列方程，需准确转化物理量关系才能建立数学模型。
2. 情境创新聚焦：科技前沿与本土热点双驱动
科技类情境：无人机航线规划（一次函数与几何最值）、人工智能数据处理（统计与概率）、AR 技术立体图形（三维几何展开）可能成为新载体。
本土类情境：围绕 “湖北高质量发展” 热点，如光谷科创园区的建筑规划（几何图形计算）、恩施茶园的产量预测（函数建模）、汉江流域的水资源调配（不等式应用）。
3. 题型设计优化：开放性与实践性双重提升
开放题占比增加：可能出现 “方案设计类” 题目，如 “为武汉地铁站点设计最短换乘路径，用几何图形说明并计算距离”，答案不唯一但需符合数学逻辑与实际需求。
实践探究深化：延续 2025 年 “方案评价” 考法，要求对比不同跨学科解决方案的优劣（如两种测量建筑物高度的方法：影子法 vs 仰角法），需结合数学误差与学科实操性分析。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.《中国诗词大会》通过“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”来弘扬中华优秀传统文化．根据CSM数据显示，《2023中国诗词大会》电视端观众规模达亿人，收视率位列同时段专题节目第一．其中数据亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
2.纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小.中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管一一直径纳米纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为( )
A. B. C. D.
3.小西在学习了物理中的自由落体运动后，设计了一个实验，测试一种皮球的反弹高度与其下落高度之间的关系.通过实验得知当皮球的下落高度为40cm时，反弹高度为20cm；当皮球的下落高度为80cm时，反弹高度为下面的哪个式子能表示这种关系( )
A. B. C. D.
4.根据物理学知识，作用于物体上的压力所产生的压强与物体受力面积三者之间满足若压力为100N时，压强要大于1000Pa，则此时关于S的说法正确的是( )
A. S小于 B. S大于 C. S小于 D. S大于
5.小明在物理课上学习完《判断重力的方向》后，将课本上的实物图图抽象成为几何图形图，对同桌说：如图，若，，且，则的度数为
A. B. C. D.
6.在物理并联电路里，支路电阻、与总电阻R之间的关系式为，若，用R、表示正确的是
A. B. C. D.
7.在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象不计绳重和摩擦，请你根据图象判断以下结论不正确的是( )
A. 物体的拉力随着重力的增加而增大
B. 当拉力时，物体的重力
C. 当物体的重力时，拉力
D. 当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为
8.由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是( )
A. B. C. D.
9.生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是( )
A. 酒精浓度越大，心率越高 B. 酒精对这种鱼类的心率没有影响
C. 当酒精浓度是时，心率是168次/分 D. 心率与酒精浓度是反比例函数关系
10.如图，这是物理学中的小孔成像，AB是物体，遮挡板MN上的小孔抽象成点O，AB透过小孔在光屏PQ上成的像是倒立放大的实像CD，和成位似图形，位似中心为点O，遮挡板MN和光屏PQ的水平距离为8，，此时，像CD的长为12，为了使像CD的长度变成AB的3倍，在物体AB和屏幕PQ位置不变的情况下，可以将遮挡板( )
A. 水平向右移动1cm B. 水平向左移动1cm
C. 水平向右移动 D. 水平向左移动
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却少了20个字．问：两种诗各多少首？设七言绝句共有x首，根据题意，可列方程为___________________.
12.杜甫，河南巩义人，唐代著名现实主义诗人，对中国文学产生了深远的影响.如图是杜甫的古诗《绝句》，建立如图所示的平面直角坐标系每小格边长为一个单位长度，那么在经过“千”字且与x轴平行的直线上，距离“千”字2个单位长度的字为 .
13.待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平.以黄铜矿为主要原料的火法炼铜的化学反应方程式为，其中x，y为常数，则的值为 .
14.无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力F为根据物理知识，F可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 单位：参考数据：，
15.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，通常根据碳原子的个数被命名为甲烷，乙烷，丙烷…当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷，十二烷…甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十三烷的化学式为 .
16.化学课上，小红学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊.以下为常考的四个实验：高锰酸钾制取氧气，电解水，木炭还原氧化铜，一氧化碳还原氧化铜，已知这四个实验中，C，D两个实验均能产生二氧化碳，若小华从四个实验中任意选做两个，则两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率为 .
17.生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解某品种大豆的光合作用速率，科研人员从中选取10株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率单位：，结果统计如表，则光合作用速率的中位数是 .
光合作用速率 32 30 25 20 18
株数 1 3 3 2 1
18.在物理实验课上，教师指导学生进行一次光的折射实验，如图所示.光线在水面点O处，经折射后到盆底点B处，法线与盆底交于点光线的入射角为，折射角为若规定“”为折射率n，则光在水中的折射率n约为当时，测得，则OB的长为
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题8分笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长单位：会随着电磁波的频率单位：的变化而变化．已知波长与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
频率 10 15 50
波长 30 20 6
求波长关于频率f的函数解析式．
当时，求此电磁波的波长
20.本小题8分如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280ml温度为的水不计热损失，求该学生分别接温水和开水的时间．
物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积开水降低的温度=温水的体积温水升高的温度．
21.本小题8分实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处，已知试管，，试管倾斜角为
求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度；精确到
实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且，点C，D，H，N，F在一条直线上，经测得：，，求线段FH的长度精确到参考数据：，，
22.本小题8分综合与实践：生物生长规律的模型研究.
如图1，砗磲ēú是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄单位：岁与平均日生长速率单位：天的数据如下表：
x 0 5 10 15 20 25
y
【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图1点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为
选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄.
【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为
为减少偏差，取，求反比例函数解析式.
【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低.
为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算.
23.本小题8分清朝康熙年间编校的《全唐诗》包含四万多首诗歌，逾三百万字，是后人研究唐诗的重要资源.小云利用统计知识分析《全唐诗》中李白和杜甫作品的风格差异.下面给出了部分信息：
《全唐诗》中，李白和杜甫分别有896首和1158首作品；
二人作品中与“风”相关的词语频数统计如下表.
词语频数人数 春风 东风 清风 悲风 秋风 北风
李白 72 24 28 6 26 8
杜甫 19 4 6 10 30 14
注：在文学作品中，东风即春风，常含有生机勃勃之意和喜春之情，如：等闲识得东风面，万紫千红总是春；北风通常寄寓诗人凄苦的情怀，抒写伤别之情，如：千里黄云白日曛，北风吹雁雪纷纷.
根据所给信息，回答下列问题：
补全条形图；
在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语是______，大约每______首诗歌中就会出现一次该词语结果取整数，而杜甫最常使用的词语是______；
学校诗词大比拼筛选出1名男生，3名女生；准备从这4人中任选2人参加达州诗词大会.请用列表或画树状图的方法，求被选中的2人恰好是1男1女的概率.
24.本小题8分【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡灯丝的阻值亮度的实验如图，已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为通过实验得出如下数据：
… 1 a 3 4 6 …
… 4 3 2 b …
______，______；
【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质.
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______.
【拓展】结合中函数图象分析，当时，的解集为______.
25.本小题8分数学中的相对运动
相对运动
物体的运动和静止是相对的，如果一个物体的位置相对于这个参照物发生了变化；就说它是运动的；如果没有变化，就说它是静止的.
“相对运动”不仅适用于物理，“相对运动”也是解决数学问题的有效策略.
【理解运用】
如图，平面直角坐标系中A、D、P三点的坐标分别为，，若线段AD以2个单位/秒的速度沿x轴方向向右运动t秒.
①若将线段AD看成静止的，则点P以______单位/秒的速度沿x轴方向向______运动；
②设平移后线段AD的对应线段为BC，当的值最小时，求t值；
提示：的最小值涉及两个动点有点难，但依据相对运动，将AD看成静止的，则点P为动点，就转化成求的最小值问题.请根据提示写出求解过程
【深入思考】
如图，在的条件下，以AD为边作 ABCD，其中点B为，点Q是边AD上的一动点，线段BC绕点Q按逆时针方向旋转得线段当是直角三角形时，求DQ的长.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.【答案】D
【解析】解：将用科学记数法表示为
故选：
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】D
【解析】解：若y与x之间的函数关系式为：
当时，，
不能表示这种关系，
不符合题意；
若y与x之间的函数关系式为：
当时，，
不能表示这种关系，
不符合题意；
若y与x之间的函数关系式为：
当，，
不能表示这种关系，
不符合题意；
若y与x之间的函数关系式为：
当时，，
当时，，
能表示这种关系，
符合题意．
故选：
将x的值分别代入各个函数关系式进行验证即可．
本题考查函数关系式，掌握代入自变量的值求对应函数值的方法是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：，，
，
产生的压强P要大于1000Pa，
，
，
故选：
根据已知条件利用压强公式推导即可得到答案．
本题考查了反比例的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
5.【答案】B
【解析】延长OA交DC于点G，交DE于点F，如图．由题意得，，，，故选
6.【答案】B
【解析】，
得
故选
7.【答案】B
【解析】解：由图象可知，拉力F随着重力的增加而增大，故A说法正确，选项不符合题意；
拉力F是重力G的一次函数，
设拉力F与重力G的函数解析式为，
则，
解得，
拉力F与重力G的函数解析式为，
当时，拉力，故B说法错误，选项符合题意；
当时，拉力，故C说法正确，选项不符合题意；
时，拉力，故D说法正确，选项不符合题意；
故选：
由函数图象直接可以判断①③④，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，把代入函数解析式求值即可判断②．
本题考查一次函数的应用，关键是数形结合思想的运用．
8.【答案】B
【解析】【分析】
根据化学知识和函数图象的知识，逐项分析即可．
本题属于数学与化学知识相结合的题型，难度不大，认真分析图象即可．
【解答】
解：根据题意：将给定的NaOH溶液加水稀释，那么开始，随着慢慢加水，溶液碱性越来越弱，PH值逐渐减小，趋近于
故选：
9.【答案】C
【解析】解：由图象可知，酒精浓度越大，心率越低，故A错误；
酒精浓度越大，心率越低，酒精对这种鱼类的心率有影响，故B错误；
由图象可知，当酒精浓度是时，心率是168次/分，故C正确；
任意取两个点坐标，，因为，所以心率与酒精浓度不是反比例函数关系，故D错误．
故选：
观察图象即可判断A、B、C的正误，根据反比例函数的定义，即可判断D的正误．
本题考查了观察图象，读取、分析、处理信息的能力，反比例函数定义，根据反比例函数定义判断是否为反比例函数是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：过点O作于点E，延长EO交CD于点Q，
和成位似图形，位似中心为点O，
，
，
、OF分别为和对应边AB、CD上的高，
，
和成位似图形，，，
，即，
，
，
像CD的长度变成AB的3倍，在物体AB和屏幕PQ位置不变的情况下，设，则，，
又，即，
，
此时，
，
可以将遮挡板MN水平向左移动
故选：
过点O作于点E，延长EO交CD于点Q，根据位似图形的性质推出，分别求出遮挡板MN水平移动前后OE的长，再进行比较即可．
本题考查位似图形的应用，掌握位似图形的性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】设七言绝句有x首，根据五言绝句比七言绝句多13首，总字数却少了20个字，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设七言绝句有x首，一首五言绝句共有20个字，七言绝句有28个字，根据题意，
故答案为：
12.【答案】“西”和“雪”
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系每小格边长为一个单位长度，
在经过“千”字且与x轴平行的直线上，距离“千”字2个单位长度的字为“西”和“雪”，
故答案为：“西”和“雪”．
根据图象可解答．
该题考查了平面直角坐标系在生活中的应用，正确进行计算是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：根据题意列方程组得，，
解得，
，
所以的值为，
故答案为：
根据元素Fe和O的数量不变，列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解，最后代入即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14.【答案】128
【解析】略
15.【答案】
【解析】解：由题知，
甲烷的化学式为：，
乙烷的化学式为：，
丙烷的化学式为：，
…，
所以n烷的化学式可表示为为大于10的整数
当时，
十三烷的化学式为
故答案为：
根据题意，依次求出有机化合物的化学式，发现规律即可解决问题．
本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现n烷的化学式可表示为为大于10的整数是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有2种，即CD、DC，
两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率为，
故答案为：
画树状图，共有12种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有2种，即CD、DC，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】25
【解析】【分析】本题考查了求中位数，根据中位数的定义进行求解即可．
【详解】解：数据的个数是10个，
根据统计图可知第5个和第6个数据为25和25，
光合作用速率的中位数是
故答案为：
18.【答案】80
【解析】解：折射率，
，
，，
，
在中， ，，
，
，
故答案为：
19.【答案】解：设波长关于频率f的函数解析式为，
把点代入上式中得：，
解得：，
；
当时，，
答：当时，此电磁波的波长入为
【解析】设解析式为，用待定系数法求解即可；
把值代入所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长
本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
20.【答案】解：设该学生接温水的时间为x s，
根据题意可得：，
解得，
，
，
，
该学生接温水的时间为8s，接开水的时间为

【解析】了
21.【答案】；

【解析】过E作，垂足为点G，
，
，
，
在中，，
，
，，，
，
四边形CDEG是矩形，
，
答：CD的长度约为
过B作，交DE于P，
，，
，，
，
，，，
，
四边形BHDP是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
答：线段FH的长约为
过E作，根据三角函数求出EG，再根据矩形的性质即可得解；
过B作，交DE于P，根据三角函数求出EP，再根据矩形的性质和等腰三角形的性质即可得解．
本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
22.【答案】，该碎碟样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁；
；
选择模型该碎碟样本35岁时的平均日生长速率为天．
【解析】由题意，将，代入，
该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁．
由题意，当，，
由模型1可知，当时，y随x的增大而增大，不符合砗磲的生长规律；又由模型2可知，当时，y随x的增大而减小，符合碎碟的生长规律，
选择模型当时，
答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为天．
依据题意，利用待定系数法求二次函数解析式即可；
依据题意，求出平均数，然后根据待定系数法求出反比例函数解析式；
依据题意，根据函数的性质解答即可．
本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
23.【答案】见解析；
春风；12；秋风；

【解析】解：补全条形图如图．
由题可知，在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语，也是出现次数最多的词语，即春风；
首；
杜甫最常使用的词语即秋风；
故答案为：春风；12；秋风；
列表，
男 女 女 女
男 男女 男女 男女
女 男女 女女 女女
女 男女 女女
女 男女 女女 女女 女女
总共有12种等可能情况，满足一男一女的有6种情况，；
概率为
根据二人作品中与“风”相关的词语频数统计表即可补全条形统计图；
在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语，也是出现次数最多的词语，即春风；用春风出现的频数，即可得到答案；杜甫最常使用的词语就是出现次数最多的词语；
根据题意列表得到总的情况数，再得到是1男1女的情况数，利用概率公式求解即可．
本题考查的是条形统计图，频数率分布图和用样本估计总体，熟练掌握各种统计图及统计分析数据的计算方法是解题的关键．
24.【答案】2，；
①见解答；
②不断减小；
或
【解析】解：根据题意，，
，；
故答案为：2，；
①根据表格数据描点：，，，，，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如下：
②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
如图：
由函数图象知，当或时，，
即当时，的解集为或，
故答案为：或
由已知列出方程，即可解得a，b的值；
①描点画出图象即可；②观察图象可得答案；
同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题．
25.【答案】①2，左；
②；
DQ的长为或或
【解析】①若将线段AD看成静止的，则点P以2单位/秒的速度沿x轴方向向左运动；
故答案为：2，左；
②如图1，当的值最小时，的值最小，
过点P作x轴的平行线l，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于，此时的值最小，
，
，
设的解析式为：，
，
解得：，
的解析式为：，
当时，，
，
，
；
分两种情况：
①如图2，，此时点E在射线AD上，连接BQ，
，
，，点B为，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
；
②如图3，，过点Q作，交OD于点，连接FQ，EQ，CQ，BQ，，，
，
设，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，，，
由平移得：，，，
，
由旋转得：，，，
≌，
，
，
，
≌，
，，
，
≌，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
或；
综上，DQ的长为或或
①根据相对运动即可得结论；
②如图1，过点P作x轴的平行线l，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于，此时的值最小，先求直线的解析式，令可得x的值，计算的长，可计算t的值；
如图3，，过点Q作，交OD于点，连接FQ，EQ，CQ，BQ，，，设，证明，是等腰直角三角形，再证明≌，≌，最后由勾股定理即可解答．
本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，平移的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，轴对称的最短路径问题，一次函数的性质等知识，并与一元二次方程相结合，运用分类讨论的思想是解本题的关键．备战2026年湖北省中考数学创新题
专题3 新定义试题
一、结合近三年考情：新定义试题的核心特征
1. 定义载体聚焦，模块归属清晰
高频定义类型：分为代数类与几何类两大阵营。代数类以 “新运算”“特殊数 / 点” 为核心，如 2024 年外地关联题中 “{a,b} 平移运算”“三倍点” 定义，均围绕方程与函数构建；几何类侧重 “特殊点 / 线 / 关系”，如 “延长 2 分点” 定义，关联位似变换与圆的位置关系。2025 年湖北卷虽未直接标注 “新定义”，但函数综合题中 “特征矩形” 概念本质仍属此类，体现 “隐性定义” 趋势。
湖北地域特色：依托本土情境设计定义背景，如结合 “长江大桥构造” 定义 “对称支撑点”、以 “光谷科创数据” 定义 “增长特征数”，将抽象概念与地方实际结合，强化 “数学工具性” 认知。
2. 题型分布集中，考查重点突出
题型与分值：以选择题（3 分）、填空题（3 分）和中档解答题（8 分）为主，占全卷分值的 8%-12%。2024-2025 年真题中，选择填空类侧重 “定义直接应用”，解答题侧重 “定义拓展探究”，形成 “基础应用 + 能力迁移” 的梯度布局。
核心考点锚定：代数类聚焦 “方程求解”“函数性质分析”，如 “三倍点” 问题转化为二次函数与直线交点问题，通过判别式求参数范围；几何类聚焦 “几何变换”“位置关系判断”，如 “延长 2 分点” 问题需结合位似比构建坐标关系。两类题型均强化 “信息转化” 与 “模型构建” 能力考查。
3. 命题逻辑稳定，素养导向鲜明
“定义 - 应用 - 拓展” 三段式结构：题干先明确定义内涵（含符号、示例），再设置基础应用问（直接套定义计算），最后延伸探究问（结合函数、几何综合分析）。如 2024 年 “方减数” 定义题，先求最小 “方减数”（基础应用），再结合四位数余数条件求特定值（拓展探究）。
核心素养聚焦：通过 “陌生概念快速理解 - 已知知识迁移应用” 的过程，考查 “抽象概括”“逻辑推理” 与 “模型观念”。2025 年湖北卷函数题中，需先理解 “特征矩形” 的边长与函数顶点的关系，再迁移二次函数性质求解，与新定义题型的素养要求高度一致。
二、解题方法总结：四步拆解新定义综合题
1. 精读定义：拆解要素，明确 “是什么”
关键动作：①圈画定义中的 “核心条件”，如 “方减数” 需满足 “m -n”“m 与 n 十位相同”“个位和为 8” 三个条件；②标注 “特殊示例”，通过示例反向验证对定义的理解，如 “{3,5}+{m,n}={-1,2}” 可快速明确加法法则；③剥离 “无关信息”，聚焦定义本质（如 “三倍点” 本质是 “y=3x 上的点”）。
避坑提醒：注意定义中的 “限制范围”，如 “正整数”“横坐标取值范围” 等，此类条件常是后续解题的隐含约束。
2. 转译定义：对接已知，明确 “用什么”
代数类转译：将新定义转化为 “方程 / 函数关系式”。若定义新运算（如 a※b=ab -b），直接代入变量构建等式，转化为一元二次方程问题；若定义特殊数 / 点（如 “三倍点”），先建立对应函数表达式（如 y=3x），再与已知函数联立。
几何类转译：将新定义转化为 “几何图形特征 / 坐标关系”。若定义特殊点（如 “延长 2 分点”），先根据定义画出示意图，标注线段比例或位置关系，再转化为坐标运算或几何定理应用（如位似性质、勾股定理）。
3. 应用定义：构建模型，明确 “怎么做”
基础应用模型（选择填空）：直接套用转译后的关系式 / 图形特征求解。如 “{a,b} 平移运算”，直接按加法法则列方程 3+m=-1、5+n=2，快速得解；此类题目需保证 “定义要素无遗漏”，如 “方减数” 计算需同时满足三个条件，缺一不可。
拓展探究模型（解答题）：分 “分步验证 - 分类讨论 - 综合推理” 三步。第一步验证特殊情况（如端点、极值点是否满足定义）；第二步按 “变量取值范围”“图形位置关系” 分类讨论，如 “直线上存在‘延长 2 分点’” 需分线段两端点的延长线情况分析；第三步结合函数性质、几何定理综合推导，如结合二次函数图象对称性求 “三倍点” 对应参数范围。
4. 验证结果：回归定义，确保 “对不对”
代数验证：将结果代入原定义条件，检查是否满足所有约束。如求 “方减数” 后，需验证 m 与 n 的十位是否相同、个位和是否为 8；函数类结果需检验定义域是否符合要求，如 “三倍点” 横坐标需在 - 3＜x＜1 范围内。
几何验证：通过图形直观性检验结果合理性。如 “延长 2 分点” 坐标需满足 “与原点连线经过线段端点”，可通过画图快速判断位置是否正确；涉及圆的问题需验证半径、距离关系是否符合定义。
三、2026 年命题趋势预测：三大方向值得重点关注
1. 定义形式创新：从 “单一概念” 到 “复合定义”
命题新形态：可能出现 “多概念叠加” 定义，如 “若一个点既是‘三倍点’又是‘对称点’（关于直线 x=1 对称），则称其为‘双重特征点’”，需同时满足两个定义条件，考查 “多条件整合能力”。
跨模块融合加深：打破代数与几何的界限，如定义 “函数图象的几何特征”（如 “二次函数的‘切线分点’”），需结合函数导数思想（初中阶段简化为 “唯一交点”）与几何切线性质，体现 “数形结合深化” 导向。
2. 情境载体升级：科技前沿与本土热点双驱动
科技类情境：围绕 “人工智能”“航天工程” 设计定义，如以 “无人机巡检路径” 定义 “最短覆盖点”、用 “卫星轨道数据” 定义 “周期特征值”，将新定义与函数、几何最值结合。
本土类情境：聚焦 “湖北高质量发展” 热点，如以 “鄂州花湖机场航班调度” 定义 “时间匹配数”、结合 “武当山古建筑群” 定义 “对称构造点”，强化地域文化与数学知识的联结。
3. 设问方式优化：开放性与探究性双重提升
开放题占比增加：可能出现 “定义补充型” 题目，如 “请补充一个条件，使‘新运算 a△b’满足交换律”，或 “列举两个满足‘延长 3 分点’定义的点”，答案不唯一但需符合数学逻辑。
探究层级深化：延续 “基础应用 - 拓展迁移 - 创新设计” 的设问链，新增 “定义评价” 环节，如 “对比‘方减数’与‘完全平方数’的异同”，需从定义本质、取值范围、数学性质多维度分析，考查 “抽象概括与反思能力”。
一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.定义新运算：，例如，则方程的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 只有一个实数根
2.对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：则方程的解是
A. B. C. D.
3.对x、y定义一种新运算T，规定：其中a、b均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算.例如：，若，，则下列结论错误的是( )
A. ，
B. 若无论k取何值时，的值均不变，则
C. 若，则m、n有且仅有2组整数解
D. 若对任意有理数x、y都成立，则
4.定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数的图象上存在“近轴点”，则m的值可以为
A. B. C. D. 1
5.在平面直角坐标系中，过点作垂直于x轴的直线a，过点作垂直于y轴的直线对于点P作如下定义：将点P关于直线a对称得到点，称点为点P的“第一次对应点”，再将点关于直线b对称得到点，称点为点P的“第二次对应点”．如图，顶点坐标为，，若点和点的“第二次对应点”分别为点和点，且线段与的边有公共点，则满足条件的n的整数值有
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
6.在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点，他们把这个点定义为点A的“简朴”点．他们发现：二次函数所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“简朴曲线”．例如，二次函数的“简朴曲线”就是，请按照定义完成：已知抛物线图象上的点的“简朴点”是，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为，当时，n的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图像如图所示，并写出下列结论：
①图像与坐标轴的交点为，和；
②图像具有对称性，对称轴是直线；
③当或时，函数值y随x的增大而增大；
④当或时，函数的最小值是0；
⑤当时，函数的最大值是4；
⑥若点在该图像上，则当时，可以找到4个不同的点
其中正确结论的个数是
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
8.定义新运算：a※，则※的运算结果是 .
9.定义新运算：，其中a，b，c，d为实数.例如：如果，那么______.
10.定义新运算“☆”：a☆、b为非负整数，如：3☆则☆ .
11.我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角.如图，在中，，互为半余角，且，则 .
12.定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程.如方程的两根为，，所以是邻根方程.若关于x的方程是邻根方程，则 .
13.对于x、y定义了一种新运算G，规定若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 .
14.定义：若点，点都在同一函数图象上，则称点A和点为该函数的一组“奇对称点对”，记为规定：与为同一组“奇对称点对”.例如：点和点都在一次函数的图象上，则点B和点为一次函数的一组“奇对称点对”，记为
下列说法正确的序号为 .
①点，点，则点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；
②反比例函数有无数组“奇对称点对”；
③点，点，若为函数的一组“奇对称点对”，则，；
④由函数在范围内的图象与函数在范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题8分定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”.例如三位数231，因为，所以它是“极差数”.
【理解定义】
三位数265是否为“极差数”？______.
【建模推理】
设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为______；
任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
16.本小题8分
【定义新运算】
对正实数a，b，定义运算“ ”，满足
例如：当时，
当时，请计算：______；
【探究运算律】
对正实数a，b，运算“ ”是否满足交换律？
，
，
运算“ ”满足交换律
对正实数a，b，c，运算“ ”是否满足结合律？请说明理由；
【应用新运算】
如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成，，，且若正方形ABCD与正方形EFGH的面积分别为26和16，则的值为______.
17.本小题8分垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”.
如图所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，，，则______；______；
如图2，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且，猜想AF与CD的关系，并说明理由；
①如图3所示，在中，，，交AC于点E，请画出以BC为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上温馨提示：不限作图工具；
②若关于直线AC对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点P，连接PE，请直接写出PE的值.
18.本小题8分
综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，此时，四边形ABCD是“双等四边形”，是“伴随三角形”．
【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，，，求：
①AD与BC的位置关系为： ：
② 填“>”，“<”或“=”
【方法应用】①如图4，在中，，将绕点A逆时针旋转至，点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形．
②如图5，在等腰三角形ABC中，，，，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由．
19.本小题8分
定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．
如图，点P是线段MN的中外比点，，，求PN的长．
如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比．保留作图痕迹，不写作法
如图，动点B在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D，E，与对角线OB相交于点当是等腰直角三角形时，探究点D，E，F是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明．
20.本小题8分
定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数.
【初步理解】
现有以下两个函数：①；②，其中，______为函数的轴点函数填序号
【尝试应用】
函数为常数，的图象与x轴交于点A，其轴点函数与x轴的另一交点为点若，求b的值.
【拓展延伸】
如图，函数为常数，的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形若函数为常数，的轴点函数的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值.
21.本小题8分
【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线.
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上.
【理解与运用】
若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则________，________.
【思考与探究】
设函数的图象为抛物线
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围.
22.本小题8分在平面直角坐标系xOy中，的半径为对于的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点在上或其内部，且，则称点C是弦AB的“可及点”.
如图，点，
①在点，，中，点______是弦 AB的“可及点”，其中______；
②若点D是弦AB的“可及点”，则点D的横坐标的最大值为______；
已知P是直线上一点，且存在的弦MN，使得点P是弦MN的“可及点”.记点P的横坐标为t，直接写出t的取值范围.
23.本小题8分在平面直角坐标系xOy中，的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到的弦分别是的对应点，则称线段BC是的以点A为中心的“关联线段”．
如图，点的横 纵坐标都是整数．在线段中，的以点A为中心的“关联线段”是______________；
是边长为1的等边三角形，点，其中若BC是的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
在中，若BC是的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．
24.本小题8分在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”.例如：如图1，已知点，，在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”.
如图2，已知点，，P是线段AB上一点，直线EF过，两点，当点P是直线EF的“伴随点”时，求点P的坐标；
如图3，x轴上方有一等边三角形ABC，轴，顶点A在y轴上且在BC上方，，点P是上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的边长；
如图4，以，，为顶点的正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：的“伴随点”，请直接写出b的取值范围.
25.本小题8分
数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆
【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上为该平面图形的覆盖圆.其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆即直径最小称为该平面图形的最小覆盖圆.
【探究一】线段的最小覆盖圆
线段AB的覆盖圆有无数个，其中，以AB为直径的圆是其最小覆盖圆.
理由如下：易知线段AB的最小覆盖圆一定经过点A、点如图①，以AB为直径作，再过A、B两点作与O不重合，连结，
在中，有
，
，即的直径大于的直径.
是线段AB的最小覆盖圆.
“▲”处应填写的推理依据为 ______.
【探究二】直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题.这样就可以先确定直角三角形最长边斜边的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆.
如图②，在中，是以AB为直径的圆.
请你判断点C与的位置关系，并说明理由.
又由【探究一】可知，是最长边AB的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆.
【拓展应用】矩形的最小覆盖圆
如图③，在矩形ABCD中，，
用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形ABCD的最小覆盖圆；
不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑
该矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为 ______cm；
若用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，则这样的两个等圆的最小直径为 ______
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】先根据定义得到关于x的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解．
【详解】方程化为，
一元二次方程化为一般式为，
，
方程没有实数根．
故选：
【点睛】本题考查新定义下的方程应用，熟练掌握所给定义的应用、一元二次方程根的判别式的计算及应用是解题关键．
2.【答案】C
【解析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【详解】解：根据题中的新定义化简得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故选：
3.【答案】B
【解析】解：由题意，得，
解得：，故选项A正确；
B.，
若始终不变，则有2种情况：
①，则，
②，B少一种情况，故选项B错误；
C.，
，
，
当m为整数时，，，，
当时，
解得：，
，符合题意；
当时，
解得：，
，符合题意；
当时，
解得：，不符合题意；
当时，
解得：，不符合题意；
当时，
解得：，不符合题意；
当时，
解得：，不符合题意，
综上所述，m，n有且仅有2组整数解，故选项C正确；
D.当时，则，
，
，
即，
对任意有理数x，y都成立，
，故选项D正确．
故选：
根据新定义，运用二元一次方程组和有理数的运算计算即可．
本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法，有理数的混合运算法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】本题考查了新定义-“近轴点”，正确理解新定义，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键．
的图象恒过点，当直线过时，；得到；当直线过时，，得到
【详解】解：中，当时，，
图象恒过点，
当直线过时，，
，
，
当直线过时，，
，
，
的取值范围为或
故m的值可以为，
故选：
5.【答案】C
【解析】本题考查轴对称变化，坐标与图形．根据轴对称变化求出点，，分别求出点在AB上时，点在点C时，n的值，即可解答．
【详解】解：点关于直线对称得到“第一对应点”，关于直线对称得到“第二对应点”，
点关于直线对称得到“第一对应点”，关于直线对称得到“第二对应点”
当点在AB上时，，解得，
当点在点C时，，解得，
线段与的边有公共点，
，
整数n的值为1，2，
故选：C
6.【答案】D
【解析】解：根据题意可知，点是点的“简朴”点，
，
解得：，即，
将点代入抛物线解析式得：，则，
抛物线的“简朴曲线”为：，
即，
由条件可知，
将n看作c的函数，
，
时，n有最大值为1，
当时，，n有最小值为，
当时，n的取值范围是
故选：
7.【答案】B
【解析】【分析】由 ， 和 坐标都满足函数 ，①正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线 ，②正确的；根据函数的图象和性质，发现当 或 时，函数值 y 随 x 值的增大而增大，因此③正确的；函数图象的最低点就是与 x 轴的两个交点，根据 ，求出相应的 x 的值为 或 ，因此④正确的；从图象上看，当 或 ，函数值要大于当 时的 ，因此⑤不正确；根据函数解析式求得当 时的自变量的值，从而可对⑥作出判断，可得出答案．
【详解】解：① ， 和 坐标都满足函数 ，故①正确；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线 ，故②正确；
③根据函数的图象和性质，发现当 或 时，函数值 y 随 x 值的增大而增大，故③正确；
④函数图象的最低点就是与 x 轴的两个交点，根据 ，求出相应的 x 的值为 或 ，故④正确；
⑤从图象上看，当 或 ，函数值要大于 4 ，因此⑤不正确；
⑥如图，由图象可知，函数图像与直线 有四个交点，即当 时，可以找到4个不同的点 P ．故⑥正确．
故选：
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是理解“鹊桥”函数 的意义，掌握“鹊桥”函数与 与二次函数 之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数 与 x 轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．
8.【答案】
【解析】解：※，
※
故答案为：
根据新定义运算法则：※，再根据同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则计算即可．
本题考查了整式的混合运算以及有理数的混合运算，掌握新定义运算的法则是解题的关键．
9.【答案】1
【解析】解：，
，
解得：
故答案为：
直接利用运算公式将原式变形，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确将原式变形是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：☆
，
故答案为：
根据题意列出算式☆，再化简二次根式、计算乘法、减法即可．
本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握二次根式的性质与运算法则．
11.【答案】
【解析】解：过点B作，交AC的延长线于点D，
，
设，
，互为半余角，
，
，
，
，
故答案为：
设，由三角形外角的定义及性质得出，再解直角三角形求出，，再求出，由勾股定理得出，即可得解．
本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形外角的定义及性质，过点B作，交AC的延长线于点
12.【答案】3或1
【解析】解：解方程得：，
，，
关于x的方程是“邻根方程”，
则或，
解得或
故答案为：3或
先解方程求得其根，再根据新定义列出关于m方程，注意有两种情况．
本题考查一元二次方程-因式分解法与根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义．
13.【答案】
【解析】解：由题意，，
关于a的不等式组，即为，
解不等式①得：，解不等式②得：
不等式组有3个整数解，
整数解为，0，1，
故答案为：
依据题意，先根据新定义化简关于a的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出进而解不等式组，即可求解．
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．
14.【答案】①②④．
【解析】解：①将代入，得到；
将代入，得到；
可知点，点都在二次函数上，
那么点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；故①正确；
②当代入，得到，
当代入，可得，
，都在反比例函数上，
，为反比例函数的一组奇对称点对”，
可以取无数个不为0的数，
反比例函数有无数组“奇对称点对”；故②正确；
③点，点，为函数的一组“奇对称点对”，
点，点都在函数上，
，
③错误；
④不妨设C和C是函数的一组“奇对称点对”，即C和在w函数上，
假设在上，那么在上，
将代入，得到，
，
，该函数有两组“奇对称点对”，
有两个不同的实数根，，
，，
符合题意，
，
④正确；
故答案为：①②④．
根据点，点都在二次函数上，可判断①；
由，都在反比例函数上，结合a的取值，可判断②；
根据定义，将点代入，可判断③；
不妨设C和C是w函数的一组“奇对称点对”，即C和在w函数上，假设在上，那么在上，将代入，得到，然后结合一元二次方程的判别式求得答案．
本题考查了“奇对称点对”的定义，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
15.【答案】
能被11整除；
设一个“极差数”为、b、c为正整数，
所以，，
所以
，
因为a、b、c为正整数，
所以为正整数，
所以能被11整除，
【解析】，，所以这个三位数不是“极差数”．
故答案为：不是．
设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为：
故答案为：
设一个“极差数”为、b、c为正整数，
所以，，
所以
，
因为a、b、c为正整数，
所以为正整数，
所以能被11整除，
即任意一个“极差数”都能被11整除．
若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”，因为，，所以这个三位数不是“极差数”．
设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，更具“极差数”的定义，可得
设一个“极差数”为、b、c为正整数，，，，因为能被11整除，即任意一个“极差数”都能被11整除．
本题考查了整式的加减，解决本题的关键是根据“极差数”的定义列式解答．
16.【答案】a
【解析】由新定义得，，
故答案为：a；
对正实数a，b，c，运算“ ”满足结合律，
理由如下：左边：，
右边：，
左边=右边，
对正实数a，b，c，运算“ ”满足结合律；
由题意得，，
，
，，且，正方形ABCD的面积为26，
，
四个直角三角形全等，
，
，
正方形EFGH的面积为16，
，
，
，
，
舍负，
，
故答案为：
直接按照新定义计算即可；
按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可；
由勾股定理得到由全等三角形的性质得到，则然后展开求出ab，再由完全平方公式变形得到求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可．
本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
17.【答案】1，； ； ①作图详见解析；②或
【解析】解：由题可知，，
，
∽，
，
，
，
，
，
；
故答案为：1，
，理由如下，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
∽，
，
设，则，
，，
，
，
，
；
①作法一：如图所示，作平行四边形ABCH则为所求，
作法提示：过A作，过C作，两条直线交于点也可不用尺规作图，其他工具亦可
作法二：如图所示，平行四边形CBQH即为所求，
作法提示：过C作，延长BE交CH于点H，过H作交BA延长线于Q，因为题中并没有要求作图工具，所以尺规作图也行，其他工具也可以，只要符合题意．
作法三：如图所示，平行四边形BCDF即为所求，
作法提示：作，交BE的延长线于点D，连接CD，作BC的垂直平分线，在DA延长线上取点F，使，连接BF，
②Ⅰ当垂中平行四边形是作法一时，
方法一：如图所示，作，
关于直线AC对称得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
方法二：如图建立坐标系，以为x轴，以AC为y轴，
，，，
由得，，，
直线AH解析式为：，
直线解析式为：，
联立解析式求解得
Ⅱ当垂中平行四边形是作法二时，
方法一：如图连接PA，延长CA交HQ延长线于点G，
同理可得，，
垂直平分AC，
，，
∽，
，
方法二：建立坐标系法，同情况一建立坐标系可得
Ⅲ若按照作法三作图，则没有交点，不存在不符合题意
理解题意，由∽得，，再用勾股定理求AB即可；
这一问是对上一问思路的顺延，利用∽将线段之间的关系转化即可得证；
①根据题意作符合题意得平行四边形即可，但是不能漏情况；②画出图形之后在求解，这一问难度不大，主要在于建立在第一小问的基础上，之后用相似或者锐角三角函数把边长求出即可．
本题主要考查相似三角形的性质和判定、勾股定理、折叠与对称问题等知识，熟练掌握以上基础知识、添加合适的辅助线以及正确理解题意是解题关键．
18.【答案】【小题1】
互相平行
=
【小题2】
解①为旋转得到，
，
令，则，，
，
由旋转得，，
又，
，
，
，
，
四边形ABDE为双等四边形；
②作于点H，
，，
，，
设，则：，
在中，，即，
解得：，
，，
若，时，，
若，时，
，
作于点M，
，
，
，
若，时，如图，
，
，
，
，
综上所述：满足条件时，或或

【解析】
解：①，
，
，
；
②，，
，
，
，
，
；
故答案为：①平行；②=；
①根据等腰三角形的性质得出，从而可得；
②证明得出，即，由可得结论；
本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．

①根据双等四边形的定义进行证明；②分，或，或，三种情况讨论求解即可．
19.【答案】【小题1】
解：设，则，
根据题意，得：，即，
整理，得：，解得：，，
，
舍去，
【小题2】
解：如图所示，点C为所求．
【小题3】
解：当是等腰三角形时，点D、E、F分别为AB，BC，OB的中外比点，理由如下：
第一种情况：当 ，则，
，
四边形OABC是矩形，
，
，
，
在和中，
≌，
设点，
，，则，
点D、E在反比例函数的图象上，
，
由①得：，将其代入②，得：，
整理，得：，
解得：，
，舍去，
，，，
，，，
，，，
，，
，，
，，
点E、D为BC、AB的中外比点．
点E在反比例函数的图象上，，
，
反比例函数为，
，
设直线OB的函数解析式为，
将点，代入，得：，
直线OB的函数解析式为，
联立方程组，解得：，
，
，
点F为OB的中外比点．
第二种情况：当，则，
，
四边形OABC是矩形，
，
，
，
在和中，
≌，
设点，
，，则，
点D、E在反比例函数的图象上，
，
由①得：，将其代入②，得：，
整理，得：，
解得：，
，舍去，
，，，
，，，
，，，
，，
点E、D为BC、AB的中外比点．
点E在反比例函数的图象上，，
，
反比例函数为，
，
设直线OB的函数解析式为，
将点，代入，得：，
直线OB的函数解析式为，
联立方程组，解得：，
，
，
点F为OB的中外比点．
第三种情况：当，则点E、D分别位于y轴、x轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在．
综上所述，当是等腰直角三角形时，点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点．

【解析】
设，根据题意，得，解分式方程，即可求解；

解：如图所示，点C为所求．
设，
根据题意，得：，，
，
，，
，，
，
点C为线段AB的中外比点．
①作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点D；②过点B作，且；③连接AF；④以点F为圆心，BF为半径，画弧，交AF于点G；⑤以点A为圆心，AG为半径，画弧，交AB于点C，点C即为线段AB的中外比点．
设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点C为线段AB的中外比点；

当是等腰三角形时，点D、E、F分别为AB，BC，OB的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得≌，设点，则，根据点D、E在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得BE、CE、BC、BD、AD、AB的值，即可求证．设直线OB的函数解析式为，利用待定系数法求得直线OB的函数解析式为，联立方程组，求得点F的坐标，即可求证；②当，同理可证点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点；③当，则点E、D分别位于y轴、x轴上，与反比例函数不符．
20.【答案】①；
令，得，
解得：，
，
令，得，
函数为常数，的图象与y轴交于点，
其轴点函数经过点，
，且，
，即，
，
设，
则，
，
，
，，
，
，
，
或；
由题意得：，，，
四边形MNDE是矩形，，
，，
当时，轴点函数的顶点P与点M重合，即，如图，
，
，且，
；
当时，轴点函数的顶点P在DE边上，即，如图，
，
消去m、t，得，
解得：，，
函数的对称轴在y轴左侧，
与m同号，即，
；
综上所述，n的值为1或
【解析】解：函数与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，
函数与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，
函数与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，
函数为函数的轴点函数，函数不是函数的轴点函数，
故答案为：①；
令，得，
解得：，
，
令，得，
函数为常数，的图象与y轴交于点，
其轴点函数经过点，
，且，
，即，
，
设，
则，
，
，
，，
，
，
，
或；
由题意得：，，，
四边形MNDE是矩形，，
，，
当时，轴点函数的顶点P与点M重合，即，如图，
，
，且，
；
当时，轴点函数的顶点P在DE边上，即，如图，
，
消去m、t，得，
解得：，，
函数的对称轴在y轴左侧，
与m同号，即，
；
综上所述，n的值为1或
根据“轴点函数”的定义即可求得答案；
由题意得，，即，得出，设，则，得出，再由，可得，即，即可求得b的值；
由题意得：，，，，，分两种情况：当时，轴点函数的顶点P与点M重合，即，可得，整理得，可得；当时，轴点函数的顶点P在DE边上，即，可得，消去m、t，得，可得
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，矩形的性质，新定义等，理解新定义，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
21.【答案】解：二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
点在的伴随抛物线上，
代入得：，，
解得：，，
故答案为：2；；
①，
顶点坐标为：，
函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
，
整理得：，
，；
②与x轴有两个不同的交点，，
由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
顶点坐标在图象上滑动，
顶点为，
当时，
解得：或，
抛物线与x轴交两个点，
当顶点在下方时，抛物线有两个交点，，
若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
在 上，
当顶点在下方时，；
综上可得：或
【解析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键．
根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可；
①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解；
②根据题意得出顶点坐标在图象上滑动，然后分情况分析即可得出结果．
22.【答案】 45
【解析】解：①反过来思考，由相对运动理解，作出关于AB的对称圆，
若点C关于直线AB的对称点在上或其内部，且，则称点C是弦AB的“可及点”，
点C应在的圆内或圆上，
点，，
，
，
，
由对称得：，
为等腰直角三角形，
，
设半径为R，
则，故在外，不符合题意；
，故在上，符合题意；
，故在外，不符合题意，
点是弦AB的“可及点”，
可知B，，三点共线，
，
，
故答案为：，45；
②取AB中点为H，连接DH，
，
，
点D在以H为圆心，HA为半径的AB上方半圆上运动不包括端点A、，
当轴时，点D横坐标最大，
，，
，
，
点，，
，
，
点D的横坐标的最大值为，
故答案为：；
反过来思考，由相对运动理解，作出关于AB的对称圆，
若点C关于直线AB的对称点在上或其内部，且，则称点C是弦AB的“可及点”，
点C应在的圆内或圆上，
点P需要在的圆内或圆上，
作出的外接圆，连接，，
点P在以为圆心，为半径的上运动不包括端点M、，
，
，
由对称得点O，在MN的垂直平分线上，
的外接圆为，
点也在MN的垂直平分线上，记与NM交于点Q，
““，
“，
随着MN的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时MN最大，“，
连接，OP，
，
当MN最大，时，此时为等边三角形，
由上述过程知“，
““，
当，OP的最大值为2，
设，则，
解得：，
记直线与交于T，S，与y轴交于点K，过点S作轴，
当，，当时，，
解得，
与x轴交于点，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
的取值范围是
①根据点与圆心的距离和半径进行比较，确定“可及点”，再计算角度；②当轴时，点D横坐标最大，进行计算即可；
分类讨论临界的情况，即可得出取值范围．
本题考查了新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点问题，已知两点求距离等知识点，正确添加辅助线，找到临界状态情况是解题的关键．
23.【答案】解：
是边长为1的等边三角形，
根据旋转的性质可知也是边长为1的等边三角形，
，
轴，且，
为边上的高的2倍，且此高的长为，
或
的最小值为1，此时BC的长为，OA的最大值为2，此时BC的长为，
由旋转的性质和“关联线段”的定义，
可知，，如图1，
利用四边形的不稳定性可知，
当A，O，在同一直线上时，OA最小，最小值为1，如图2，
此时，
，
当A，，O在同一直线上时，OA最大，如图3，
此时，过点A作于E，过点作于
，，
，
，
，
，
，
，
综上OA的最小值为1，此时BC的长为，OA的最大值为2，此时BC的长为
【解析】由旋转的性质可知：，，，
由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为，
，
点不可能在圆上，
不是的以A为中心的“关联线段”，
，，
，，
是的以A为中心的“关联线段”，
，，
当在圆上时，或，
由图可知此时不在圆上，
不是的以A为中心的“关联线段”．
故答案为：
利用旋转的性质，“关联线段”的定义以及等边三角形的性质，求出的位置，从而求出t的值．
利用旋转的性质以及“关联线段”的定义，可知四边形的各边长，利用四边形的不稳定性，画出OA最小和最大时的图形，利用等腰三角形的性质以及勾股定理求出答案．
此题属于圆综合题，考查了旋转有关的新定义题，利用旋转的性质，等腰三角形，等边三角形，勾股定理等知识点，本题的关键画出OA最小和最大时的图形，属于中考压轴题．
24.【答案】解：线段上任意两点距离的最大值为，即P到EF的距离为2，
过P作于点C，由题意知，，，
则，
，
，
设等边三角形的边长为，则，
上任意两点距离的最大值即为2a，
当P在线段BC上时，P到x轴的距离最小，距离为，由题意知，
，
解得，或舍去，
所以此时等边三角形ABC的边长为
由题意知，正方形ABCD的边长为1，
所以正方形ABCD上任意两点距离的最大值为，
即正方形ABCD上始终存在点P，P到EF的距离为
则EF向上或者向下平移2个单位长度得到直线，与EF平行，且两直线间的距离为，
所以P既在上，又在正方形ABCD的边上，即与正方形ABCD有交点．
当时，为，
当过A时，，
当过C时，，
即；
当时，为，
当过A时，，
当过C时，，
即；
综上所述，当或时，正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：的“伴随点”．
【解析】由已知点的坐标可求出且P到EF的距离为2，从而利于三角比可求出线段GP的长，进而可得点P的坐标；
设等边三角形的边长为，当P在线段BC上时，P到x轴的距离最小，从而可得，求出a即可求出三角形的边长；
由已知点的坐标，求出正方形的边长为1，即可求出P到EF的距离为，从而可得P既在正方形的边上，也在到EF距离为的直线上，当时，EF向上平移2个单位长度得，分别求出过A，C时b的值；当时，EF向下平移2个单位长度得，分别求出过A，C时b的值，即可求出b的取值范围．
本题属于新定义问题，主要考查了一次函数的相关知识以及三角比的应用．本题的解题关键是读懂定义，找到每个情况下P到直线EF的实际距离．
25.【答案】见解析；
；

【解析】探究一：理由如下：由题意得线段AB的最小覆盖圆一定经过点A、点如图①，以AB为直径作，再过A、B两点作与O不重合，连结，在中，有三角形的任意两边之和大于第三边
，
，
即的直径大于的直径．
是线段AB的最小覆盖圆．
“▲”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边．
故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边；
探究二：，O为AB的中点，
，
在上；
拓展应用：如图，即为矩形ABCD的最小覆盖圆；

矩形ABCD，，，
，
，
故答案为：；
作AD的垂直平分线LJ，交AD于L，交BC于J，
四边形ABJL，DCJL是两个全等的矩形，
，
用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，
两圆一定过L，J，

连接AJ，BL，CJ，DJ，交点分别为Q，K，
同理可得：这样的两个等圆的最小直径为AJ或BL或CL或DJ，
最小直径为如图，
作AB的垂直平分线交AB，CD于V，W，

同法作，，
此时不是直径最小的等圆；
综上：用两个等圆完全覆盖矩形则这样的两个等圆的最小直径为，
故答案为：
探究一：根据三角形的三边关系可得答案；
探究二：利用直角三角形斜边上的中线的性质证明即可得到答案；
拓展应用：连接AC，BD，交于点O，以O为圆心，OA为半径作圆即可；结合矩形性质与勾股定理计算即可；作AD的垂直平分线LJ，交AD于L，交BC于J，可得四边形ABJL，DCJL是两个全等的矩形，，用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，可得两圆一定过L，J，再进一步解答即可．
本题是圆的综合题，考查的是三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，点与圆的位置关系，多边形的外接圆的含义，矩形的判定与性质，熟练的作图是解本题的关键．备战2026年湖北省中考数学创新题
专题4 情境化试题
一、结合考情：情境化试题的核心特征
1. 命题导向：从知识考查到能力落地
近年湖北中考数学（以武汉为代表）已形成 “基础为根，能力为核，创新为翼” 的导向，情境化试题占比显著提升。2025 年真题中，17 道题里 13 道含图形 / 表格，第 6 题（邮票概率）、13 题（机器狗速度）、22 题（石拱桥设计）等均以真实场景为载体，打破了 “纯公式计算” 的传统模式。
2. 情境载体：三大类型高频出现
生活实践类：聚焦武汉城市建设（桥梁、地铁规划）、日常消费（阶梯水电、超市折扣）等，如 2025 年第 22 题以石拱桥抛物线为背景考查函数应用；
跨学科融合类：与物理（光线折射、运动轨迹）、化学（实验数据统计）、地理（地形几何分析）深度结合，例如 2025 年第 4 题借物理光线折射考函数与几何；
科技与时政类：融入人工智能（大模型图标、机器人运动）、热点事件（票房数据、学雷锋活动），2025 年第 2 题以 AI 大模型图标考轴对称，第 6 题结合学雷锋活动考概率。
3. 考点融合：打破知识板块壁垒
情境化试题普遍采用 “单一情境 + 多知识点” 模式：几何题常结合函数、三角函数（如圆与一次函数融合），代数题渗透实际应用（如二次函数与利润最大化结合），2025 年第 23 题旋转几何题更是融合了矩形性质、相似三角形与勾股定理。
二、解题方法：四步突破情境化难题
第一步：情境 “去包装”—— 提取核心条件
情境化试题往往含大量冗余信息，需用 “关键词定位法” 筛选关键数据：
圈画题干中的 “数值”“图形条件”“问题目标”（如 “求 BE 的长”“利润最大值”）；
忽略修饰性描述（如科技背景中的原理介绍），聚焦数学关系（如 “无人机飞行轨迹为抛物线 y=ax +bx+c”）；
对图文结合题，优先解读表格 / 图形（如动态函数图象中的拐点、统计图中的数据分组）。
示例：2025 年第 14 题（智能机器人高度计算），可直接提取 “支架长、角度、底座高” 等数据，忽略 “智能技术发展” 等背景描述，快速关联三角函数模型。
第二步：模型 “精准建”—— 匹配知识框架
根据情境特征对应三大核心模型，形成 “情境→模型” 条件反射：
情境类型 对应数学模型 例题参考
动态变化（速度、利润） 一次 / 二次函数、分段函数 机器狗运动轨迹、销售利润
几何测量（桥梁、建筑） 直角三角形、相似三角形、圆 石拱桥高度、塔高测量
数据决策（调查、实验） 统计图表、概率、抽样分析 学雷锋活动概率、实验数据
关键技巧：遇到跨学科情境，先转化为数学语言 —— 如物理 “光线折射” 可转化为 “相似三角形对应边成比例”，化学 “实验误差” 可转化为 “统计数据的方差分析”。
第三步：计算 “稳落地”—— 规范过程表达
建模阶段：明确设参（如 “设售价为 x 元，利润为 y 元”），标注变量范围（结合实际情境，如 “x>0”）；
求解阶段：优先用基础方法（如勾股定理、方程求解），复杂题采用 “分步拆解”（如动态几何题先算静止状态，再分析运动变化）；
验证阶段：代入实际情境检验结果合理性（如 “利润为负数” 需排查计算错误）。
第四步：开放题 “抓核心”—— 立足逻辑闭环
对开放性情境题（如 “设计公平抽奖规则”），需把握 “知识点 + 合理性论证” 双核心：
若为方案设计题，先明确数学依据（如概率相等），再阐述操作步骤；
若为评价题（如 “比较两种测量方案优劣”），从 “误差大小、操作难度” 等角度结合数学原理分析，不追求唯一答案但需逻辑自洽。
三、趋势预测：2026 年命题三大方向
1. 情境载体：更聚焦 “本土性” 与 “前沿性”
本土热点深化：可能以武汉长江大桥维护、光谷科技园区规划、楚文化遗产（如榫卯结构）为背景，考查几何计算或数据统计；
前沿科技加码：人工智能数据处理、无人机路径优化、新能源（如光伏板角度设计）等情境将增多，需关注 “数学 + 编程” 的简易逻辑（如通过算法步骤分析函数变化）。
2. 考法创新：跨学科与开放性再升级
跨学科融合更深：可能出现 “数学 + 生物”（种群数量统计）、“数学 + 美育”（剪纸对称性探究）等新组合，需拓展跨学科常识；
开放题比例提升：压轴题或设 “多方案设计”（如 “优化社区充电桩布局”），要求用函数、几何知识论证方案合理性，强化 “建模 + 说理” 能力考查。
3. 能力侧重：三大核心能力成拉分关键
信息整合能力：题干将更复杂（如含多组表格、跨页图形），需强化 “图文转化” 训练（如把工程图纸转化为几何模型）；
动态建模能力：动态几何（旋转、平移）与函数轨迹的结合题将成压轴重点，需掌握 “变量定位→关系式建立→范围验证” 三步法；
分类讨论能力：动点问题、多解情境（如 “点 E 在 AB 延长线或线段上”）将更频繁，需养成 “先定范围，再分情况” 的思维习惯。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.北京冬奥会和冬残奥会组委会收到来自全球的会徽设计方案共4506件，其中很多设计方案体现了对称之美．以下4幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.鲁班锁孔明锁如图是中国古代榫卯结构的巅峰之作，相传由鲁班发明．其组件通过木条的穿插咬合形成稳固结构，体现了“天衣无缝”的匠心．某组件由六根等长木条组成，其中一根长木条形状如图2，则其俯视图是( )
A. B.
C. D.
3.《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是
A. B. C. D.
4.习近平总书记在庆祝改革开放40周年大会上指出：40年来，我国贫困人口累计减少亿人，其中亿用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
5.“华龙一号”是中国核电发展的重大成就，已连续两年入选央企十大“国之重器”，每台“华龙一号”机组装机容量为万千瓦，年发电能力近100亿千瓦时，相当于每年减少标准煤消耗312万吨、减少二氧化碳排放816万吨，对助力实现“碳达峰、碳中和”目标具有重要意义，数据816万吨用科学记数法可表示为( )
A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨
6.风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用.如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系如图2所示，已知开始时其中一个叶片的外端点A的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2025秒时，点A的对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批A型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放B型单车，B型单车的投放数量与A型单车的投放数量相同，投资总费用减少，购买B型单车的单价比购买A型单车的单价少50元，则A型单车每辆车的价格是多少元？设A型单车每辆车的价格为x元，根据题意，列方程正确的是
A. B.
C. D.
8.党的二十大报告指出：从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国年我国GDP约为121万亿元，如果每年按相同的增长率增长，2024年我国GDP约为135万亿元，若设每年增长率为x，则方程可列为( )
A. B.
C. D.
9.巴黎2024年奥运会官方发行彩色银币套装，以巴黎奥运会吉祥物运动元素为主题，银币正面为统一设计，背面为奥运会吉祥物进行代表性运动项目的场景.如图所示为该套装内运动项目为橄榄球、滑板、街舞、网球的银币，将其正面朝上洗匀放好，从中随机一次性拿出两枚银币，则这两枚银币上的运动项目都是球类项目的概率为( )
A. B. C. D.
10.如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度与水平距离满足关系式已知球网与点O的水平距离为9m，高度为，球场的边界距点O的水平距离为下列判断正确的是
A. 球运行的最大高度是 B. 球不会过球网
C. 球会过球网且不会出界 D. 球会过球网且会出界
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场.一汽贸公司经销某品牌新能源汽车.去年销售总额为5000万元，今年月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为x万元.根据题意，列方程为______.
12.为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数单位：人分别是：38，39，35，42，则这组数据的中位数是______人.
13.如图，一名滑雪运动员沿若倾斜角为的斜坡从A滑行至已知米，则这名滑雪运动员下降的垂直高度为________米参考数据；，，
14.如图，这是某风力发电机示意图，其相同的三个叶片均匀分布，每个叶片长30m，即水平地面上的点M在旋转中心O的正下方70m，即当风力发电机叶片外端点A离地面的高度最大时，若垂直于地面的木棒EF与影长FG的比为，则此刻风力发电机的影长为
15.赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱的半径R约为 结果取整数
16.5G网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2030年中国5G直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示．
根据如图提供的信息，下列推断合理的是______.
①2030年5G间接经济产出比5G直接经济产出多万亿元；
②2020年到2030年，5G直接经济产出和5G间接经济产出都是逐年增长；
③2030年5G直接经济产出约为2020年5G直接经济产出的13倍；
④2022年到2023年与2023年到2024年5G间接经济产出的增长率相同．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发展了十几个世纪.中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，其中刘徽所著《九章算术》中“盈不足术”有一题，原文如下：“今有羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元，求人数和羊价各是多少？
18.本小题8分第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行．本届亚冬会的吉祥物是两只可爱的小东北虎“滨滨”和“妮妮”，回到家乡哈尔滨过年的小云想买一些如图所示的纪念品送给在北京的小伙伴们，她发现毛绒玩偶的单价比冰箱贴的单价贵50元，买5个毛绒玩偶和3个冰箱贴需要554元，试判断：小云有600元能否购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶？
19.本小题8分健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，已知每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和单位铁质．
依据题意，填写表格．
项目 甲原料克 乙原料克
其中所含蛋白质/单位 ____________ ____________
其中所含铁质/单位 ____________ ____________
如果一个运动员每餐需要32单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐含甲、乙两种原料各多少克恰好能满足运动员的需要？
20.本小题8分某太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示，已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且；支架BC与水平线AD垂直，，，，另一支架AB与水平线夹角，求OB的长度结果精确到1cm；温馨提示：，，
21.本小题8分为庆祝改革开放40周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平安金融中心”AB的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角登上大厦DE的顶部E处后，测得“平安中心”AB的顶部A处的仰角为，如图已知C、D、B三点在同一水平直线上，且米，米．
求大厦DE的高度；
求平安金融中心AB的高度；
参考数据：，，，，
22.本小题8分人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动.人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上.
随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；
从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率.
本小题8分随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组.设每组手办降价x元.
用x的代数式表示：
①每一组手办的利润是______.
②每天可销售的手办组数是______.
当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？
当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？
24.本小题8分某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为，过点A作，垂足为O，，以点O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，设乒乓球与出球口A的水平距离为，到桌面的高度为，在桌面上的落点为D，经测试，抛物线L的解析式为，且当时，
求出y与x之间的函数关系式；
桌面正中间位置安装的球网GH的高度为，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端 H的距离约为多少？
乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线的路线运动，小明拿球拍EF与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线EF长为，下沿E在x轴上，假设拋物线L，与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上含端点，点 E在点 C右侧，直接写出：
①点为D的坐标为 ；
②球拍到桌边的距离CE的最大值是 ，CE的最小值是 .
25.本小题8分篮球跃动身心，健康点亮生活.小星在距离篮筐7米处投篮，准确命中籃筐，篮球出手时离地的高度为米.已知篮筐中心离地面3米，篮球飞行的轨迹是一条抛物线，且在距离出手点水平方向4米处达到最高点4米.小星同学学习了二次函数之后，建立了如图1所示的直角坐标系，其中出手点A的坐标为，篮筐点B的坐标为，并求出球的高度关于水平方向运动的距离的二次函数表达式为
的值为______，c的值为______；
若在小星将球投出手的同时，防守球员小明立即跑位到小星的正前方进行回防，已知小明起跳时手心离地的最大高度为米.请问小明能否成功将正在空中飞行的球拦截？若能，请说明理由，并求出拦截成功时小明距离小星出手点时的水平距离；
如图2，小星同学进一步研究所得到的二次函数的图象性质，他对原二次函数进行优化，使得自变量x的取值范围为，并将原二次函数的图象向下平移个单位，得到一个新的二次函数：，新函数图象与x轴交于点点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，点F在其对称轴上，且到x轴的距离为1，并且点F位于第一象限，请问是否存在以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】B
【解析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】
解：该组件的俯视图是：
故选：
3.【答案】C
【解析】根据题意得：故选
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【解答】
解：亿，
用科学记数法表示为：
故选
5.【答案】C
【解析】解：816万
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6.【答案】C
【解析】解：由题知，
因为叶片绕原点O顺时针每秒转动，
所以旋转3秒时，点A的对应点的坐标为；
旋转6秒时，点A的对应点的坐标为；
旋转9秒时，点A的对应点的坐标为；
旋转12秒时，点A的对应点的坐标为；
…，
所以当旋转6n秒时，点A的对应点的坐标为；
当旋转秒时，点A的对应点的坐标为；
又因为，
所以第2025秒时，点A的对应点的坐标为
故选：
根据叶片转动方式发现，当旋转3秒时点A的对应点坐标为，当旋转6秒时点A的对应点坐标即为点A坐标，据此可解决问题．
本题考查坐标变化的规律，能根据叶片的旋转方式发现点及点的坐标特征是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】
设A型单车每辆车的价格为x元，则B型单车每辆车的价格为元，依据“B型单车的投放数量与A型单车的投放数量相同”列出关于x的方程即可．
【详解】
设A型单车每辆车的价格为x元，则B型单车每辆车的价格为元，
根据题意，得
故选
【点睛】
考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意得：
故选：
利用2024年我国年我国每年增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：从橄榄球、滑板、街舞、网球四枚银币中随机一次性拿出两枚银币，作出树状图如下：
由树状图可知，随机一次性拿出两枚银币，共有12种等可能的结果，
其中两枚银币上的运动项目都是球类项目的结果有2种，
所以，两枚银币上的运动项目都是球类项目的概率为
故选：
根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案．
本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，正确作出树状图是解题关键．
10.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为，由此即可判断A；求出当时，y的值，再与进行比较即可判断B；求出当时，y的值，再与0比较即可判断C、
【详解】解：抛物线解析式为，
球运行的最大高度为，故A说法错误，不符合题意.
在中，当时，，
球会过球网，故B说法错误，不符合题意.
在中，当时，则，
球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意.
故选
11.【答案】
【解析】解：今年月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元，且今年月份每辆车的销售价格为x万元，
去年每辆车的销售价格为万元．
根据题意得：
故答案为：
根据去年及今年月份每辆车的销售价格间的关系，可得出去年每辆车的销售价格为万元，利用数量=总价单价，结合今年月份销售数量与去年一整年的相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
12.【答案】39
【解析】解：把这些数从小大排列为35，38，39，41，42，
所以中位数是39，
故答案为：
将这组数据重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
本题考查了中位数的定义．用到的知识点：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
【解答】
解：如图在中，
，
这名滑雪运动员的高度下降了
故答案为
14.【答案】200
【解析】略
15.【答案】28
【解析】略
16.【答案】①②③
【解析】解：根据折线统计图，可知
①2030年5G间接经济产出比5G直接经济产出多万亿元，故①正确；
②2020年到2030年，5G直接经济产出和5G间接经济产出都是逐年增长，故②正确；
③2030年5G直接经济产出约为2020年5G直接经济产出万亿元万亿元倍，故③正确；
④2022年到2023年间接经济产出的增长率：，2023年到2024年5G间接经济产出的增长率，故④推断不合理．
故答案为：①②③．
观察折线统计图并得到有用信息，并通过计算经济产出和直接经济产出得结论．
本题考查了折线统计图，熟练读懂折线统计图，利用数形结合的方法解答是解题思的关键．
17.【答案】解：设x人共同出资买羊，
根据题意得：，
解得：，
元
答：21人共同出资买羊，羊价是150元．
【解析】设x人共同出资买羊，根据“每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出共同出资买羊的人数，再将其代入中，即可求出羊的价格．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
18.【答案】解：设每个毛绒玩偶x元，则每个冰箱贴元，
根据题意得，
解得，
元，
小云要买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶的费用为：元，
，
小云有600元能购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶．

【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握理解题意、列出方程是解题的关键；
设每个毛绒玩偶x元，则每个冰箱贴元，根据：买5个毛绒玩偶和3个冰箱贴需要554元，即可列出方程，求出x后再进一步计算判断即可．
19.【答案】解：由题意填表如下：
项目 甲原料克 乙原料克
其中所含蛋白质/单位 y
其中所含铁质/单位
故答案为：，y，，；
设每餐含甲原料x克，乙原料y克恰好能满足运动员的需要．
根据题意，得，
解得：，
答：每餐含甲原料30克，乙原料20克时恰好能满足运动员的需要．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
根据每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和单位铁质．分别列出代数式即可；
设每餐含甲原料x克，乙原料y克恰好能满足运动员的需要，根据一个运动员每餐需要32单位蛋自质和40单位铁质，列出二元一次方程组，解方程组即可．
20.【答案】解：设，
，
，
，
，
，
，
解得：，
故OB的长度约为
【解析】设，在直角中，根据含30度角的直角三角形的性质得出，那么然后在直角中，利用正切函数的定义列出关于x的方程，求出x即可得到答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系．
21.【答案】解：在中，，，米，
米
故大厦DE的高度约为248米；
如图，作于
由题意，得米，米，
在中，，
米，
米
故平安金融中心AB的高度约为594米．
【解析】在中，根据正切函数的定义即可求出大厦DE的高度；
作于由题意，得米，，在中，根据正切函数的定义得出，那么
此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
22.【答案】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的结果有：AD，DA，共2种，
抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率为
【解析】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到决策类人工智能的卡片的结果有1种，
抽到决策类人工智能的卡片的概率为
故答案为：
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的结果有：AD，DA，共2种，
抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率为
由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到决策类人工智能的卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案．
画树状图得出所有等可能的结果数以及抽出两支笔刚好是一红一黑的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23.【答案】①② 降价5元或15元 降价10元时，最大利润为3600元．
【解析】①由题意，由每组手办的利润为售价减去成本，且原售价100元，
降价x元后售价为元．
又成本为60元，
利润为：元．
②由题意，原销量为80组，每降价1元销量增加4组，
降价x元后销量为组．
故答案为：元；
由题意得：，
，
答：每组手办降价5元或15元时利润可以为3500元．
由题意得，每天的利润为
又，
可得当时，有利润y的最大值为3600元．
①依据题意，由每组手办的利润为售价减去成本，且原售价100元，从而降价x元后售价为元，又成本为60元，故利润为：元，进而可以得解；
②依据题意，由原销量为80组，每降价1元销量增加4组，可得降价x元后销量为组，进而可以得解；
依据题意得：，可得，从而，，进而可以判断得解；
依据题意，可得每天的利润为，进而可以判断得解．
本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式是关键．
24.【答案】【小题1】
解：把，代入，解得：；
；
【小题2】
解：由题意得，，
，
当时，
乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约为
答：乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为
【小题3】


【解析】
本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，求二次函数关系式，掌握二次函数的图象上点的坐标特征以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
把，代入，然后即可求解y与x之间的函数关系式；

先求得，然后当时，，然后即可求解；

①根据y与x的函数关系式可求出点D的坐标；
②根据乒乓球反弹后抛物线的关系式以及解直角三角形可求出CE的最大值和最小值即可．
解：①当时，即，
解得：，，
由题意可得；
②由得：，
乒乓球反弹后沿抛物线的路线运动，而，
，
解得：
乒乓球反弹后沿抛物线的关系式为：，
当乒乓球反弹后沿抛物线过点E时即此时抛物线与x轴的右交点为点，
当时，，
，
当乒乓球反弹后沿抛物线过点F时，过点F作轴于M，如图：

在中，，，
，，
当时，即，
解得：在BC上舍去，，
即，
，
，
球拍到桌边的距离CE的最大值是，CE的最小值是
25.【答案】，；
小明能成功将正在空中飞行的球拦截，小明距离小星出手点的水平距离为米或米；
存在以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，点N坐标为或或
【解析】将点代入二次函数表达式为可得：，
二次函数为的顶点是，
，
解得：，
故答案为：，；
能，理由如下：
由得二次函数表达式为，
令令，代入二次函数表达式可得：，
解得：或，
或均在的范围内，
小明能成功将正在空中飞行的球拦截，小明距离小星出手点的水平距离为米或米；
存在，理由如下：
由题意得，平移后的函数表达式为，
当时，，
解得：或，
，
抛物线的对称轴仍为直线，
，
设，，
以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
分三种情况讨论：
①当FP，MN为对角线时，
则有，
解得：或，
，
，
②当FM，PN为对角线时，
则，
解得：或舍，
，
，
③当FN，PM为对角线时，
则，
解得：或，
，
，
综上所述：点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，点N坐标为或或
由二次函数图象与y轴交点可求出c，根据顶点坐标与对称轴公式可求出b；
令，代入二次函数表达式，求出方程的根，再判断是否在的范围内即可；
先求出平移后二次函数的表达式为，再求出点，由题意可得：，设，，则若以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，要分三种情况讨论：①FP，MN为对角线，②FM，PN为对角线，③FN，PM为对角线，根据平行四边形的性质，结合中点坐标公式求解．
本题考查了二次函数的实际应用，涉及了待定系数法求函数解析式，抛物线的平移，平行四边形的性质，难度较大，熟练掌握相关知识是解题的关键．备战2026年湖北省中考数学创新题
专题5 回顾教材试题
一、结合考情：教材是命题的 “源头活水”
1. 命题基调：基础为王，教材为本
2026 年湖北中考数学明确释放 “难度降低、基础占比提升” 的信号，命题研讨会已确定基础题占比将达 75%，且严控超纲题、偏题、难题。这与 “双减” 政策深化及课程改革要求高度契合 —— 学业水平考试始终以教材为蓝本，核心考点覆盖 “数与代数”“图形与几何” 等四大领域，基础题和中档题占比稳定在 80% 左右。2025 年多地真题已显现这一特征，如人教版八上教材第 56 页的全等三角形母题，经变式后成为多地中考解答题素材，考查角度从基础计算延伸到钝角情境下的结论迁移。
2. 考查形式：教材母题的 “变式延伸”
中考题并非简单照搬教材，而是对教材例题、习题进行 “情境包装、条件重组、结论拓展”：
基础题直接溯源：相反数、绝对值、分式运算等选择填空题，多来自教材课后基础练习，仅微调数值或表述；
中档题变式改造：如教材中 “直角三角形全等证明” 母题，通过改变图形位置（从内部到外部）、调整角度类型（从直角到钝角）形成新题，核心方法仍基于教材定理；
综合题融合串联：将教材中 “二次函数图像”“相似三角形判定”“统计图表分析” 等分散知识点，融入生活情境（如购物优惠、生态数据统计），考查知识联动能力。
3. 核心痛点：教材细节的 “忽视与遗漏”
考生常见失分点多与教材理解不深相关：如混淆 “点到直线的距离” 与 “线段长度”（源于教材几何概念表述）、科学记数法忽略单位换算（教材例题未强调但习题隐含）、整式运算符号错误（教材法则应用不熟练）。这些 “陷阱” 本质是对教材定义、性质、易错点的掌握不扎实，而非难题攻坚能力不足。
二、复习方法：四步吃透教材，筑牢得分根基
第一步：“地毯式” 梳理 —— 锚定教材核心要素
以教材章节为单位，完成 “概念→定理→例题→习题” 的全链条梳理，重点做好三项工作：
精读概念挖细节：标注定义中的关键词（如 “一元二次方程” 需强调 “整式方程”“二次项系数不为 0”），对比易混淆概念（如 “全等” 与 “相似”、“函数图象” 与 “函数性质”），结合教材旁注理解本质；
推导定理强逻辑：不依赖死记硬背，重新推导核心定理（如勾股定理的面积法证明、二次函数顶点公式的配方法推导），明确定理适用条件（如 “平行线分线段成比例” 需强调 “被截线平行”）；
标注习题明层级：将课后习题按 “基础巩固（直接应用公式）、能力提升（需转化条件）、综合拓展（跨知识点融合）” 分类，重点标记教材 “想一想”“探究” 栏目中的拓展性问题（常为中考变式题源头）。
第二步：“溯源式” 攻坚 —— 破解教材母题变式
针对中考 “母题变式” 特征，采用 “母题拆解→变式归类→方法提炼” 三步法：
锁定经典母题：聚焦教材中带 “*” 号的例题、章末复习题中的综合题（如人教版九上 “二次函数与利润问题” 例题、八下 “平行四边形判定” 综合题），明确其核心考点与解题框架；
归类变式类型：结合真题总结常见变式方向（如下表），建立 “母题→变式” 对应关系：
| 母题类型 | 中考变式方向 | 教材原型举例 |
|----------------|-----------------------------|-------------------------------|
| 几何证明题 | 改变图形位置、增减条件、拓展结论 | 全等三角形证明→钝角三角形情境延伸 |
| 函数应用题 | 更换生活情境、增加干扰数据、设问升级 | 一次函数行程题→共享单车调配问题 |
| 统计题 | 融合多图表、增设决策类设问 | 单条形图分析→折线图与扇形图综合解读 |
提炼通用方法：从母题及变式中总结可迁移的方法，如几何证明中的 “一线三垂直” 模型（源于教材全等三角形母题）、函数应用中的 “设参→列关系式→求范围” 步骤。
第三步：“网络化” 串联 —— 构建教材知识体系
借鉴 “串珠” 复习法，打破教材章节壁垒，形成三大知识网络：
同板块串联：如将 “函数” 板块串联为 “定义→图像→性质→应用” 主线，对比一次函数、二次函数、反比例函数的系数影响、增减性、几何意义；
跨板块关联：梳理 “代数与几何” 融合点，如 “二次三项式→一元二次方程→二次函数图像与 x 轴交点” 的关联、“勾股定理→锐角三角函数→解直角三角形应用” 的递进；
用思维导图落地：以核心知识点为节点（如 “三角形”），延伸出 “分类→性质→判定→应用→易错点” 分支，标注各知识点对应的教材页码与例题编号，实现 “知识调用→教材溯源” 快速链接。
第四步：“靶向式” 补漏 —— 强化教材易错防控
针对教材衍生的易错点，建立 “易错清单→溯源归因→强化训练” 防控体系：
建立个性化易错清单：结合教材习题错题，标注易错类型（概念混淆型如 “相反数与倒数”、计算失误型如 “去括号符号错误”、条件遗漏型如 “分式分母不为 0”）；
溯源教材找根源：如 “科学记数法单位换算错误”，回归教材例题中 “1 亿 = 10 ” 的标注，强化 “先统一单位再转化” 的步骤；
针对性限时训练：选取教材中同类易错习题（如整式运算、分式方程求解），进行 “短时间、高频次” 训练，重点关注步骤规范性（如分式方程需检验、几何证明需标注依据）。
三、趋势预测：2026 年教材导向命题三大方向
1. 基础题：更聚焦教材细节与计算功底
考查特征：基础题占比提升至 75%，但运算量增加，侧重教材定义、公式的精准应用与计算准确性；
命题示例：直接考查教材中 “平方根的定义”“多边形内角和公式”，或改编教材习题中的计算问题（如分式化简求值、一元二次方程求解），陷阱多源于教材未强调但隐含的细节（如单位换算、取值范围）。
2. 中档题：教材母题与生活情境深度融合
情境升级：结合湖北本土特色（如长江生态保护、光谷科技发展）、前沿场景（如无人机路径规划、新能源利用）包装教材母题，考查 “情境解读→教材模型迁移” 能力；
跨学科渗透：融入传统文化（如《九章算术》中的数学问题）、理科常识（如光的反射原理中的几何关系），但核心解题方法仍源于教材（如勾股定理、相似三角形判定）。
3. 压轴题：教材知识的 “网络化” 综合应用
命题逻辑：压轴题将打破单一知识点局限，以教材核心方法为骨架，串联多板块知识（如 “二次函数 + 几何图形旋转 + 最值问题”），强调知识体系的灵活调用；
开放导向：增设探究性、决策性设问（如 “设计最优购物方案”“评价统计结论合理性”），但解题依据需回归教材中的函数性质、统计原理，突出 “教材方法→实际应用” 的转化能力。
一、解答题：本题共25小题，共200分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题8分
阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角.
杨辉三角
如果将为非负整数的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1；
，它有三项，系数分别为1，2，1；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
将上述每个式子的各项系数排成该表.
观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和.按照这个规律可以将这个表继续往下写.
该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡——是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年.
应用规律：
①直接写出的展开式，______；
②的展开式中共有______项，所有项的系数和为______；
代数推理：
已知m为整数，求证：能被18整除.
2.本小题8分【教材呈现】方框内的题目是人教版八年级上册数学教材第159页的部分内容.
某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产400台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？
【分析解法】
解法一 列等量关系：生产600台机器所需时间=原计划生产400台机器所需时间
解法二 列等量关系：现在平均每天生产的数量-原计划每天生产的数量
【问题解决】
解法一所列方程中的x表示的是______，解法二所列方程中的 x表示的是______；
A.现在平均每天生产机器的数量
B.原计划平均每天生产机器的数量
C.现在生产600台机器所需时间或原计划生产400台机器所需时间
请选择一种解法，求现在平均每天生产机器的数量.
3.本小题8分综合与实践
【教材重现】北师大版九年级下册教科书第9页例2：如图1，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差结果精确到图2是该情境建模后的图形本题不用解答
实际上，当秋千向两边摆动时，由于受摩擦力等其他因素的影响，两边摆动的角度一定不相同.某兴趣小组去到公园进行实地探究，测量了若干数据.请解答下列问题：
如图3，秋千没摆动时，秋千的踏板离地面是，将它往左拉，此时踏板离地面，求秋千链子OA的长度；
如图4，在的条件下，释放踏板，测得秋千摆动到右侧时与竖直方向的夹角为，求秋千踏板在B、D处的高度差参考数据：，，结果精确到
4.本小题8分张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第8页练习进行变式探究：如图，用长为60m的护栏围成一块靠墙，中间用护栏EF隔开的矩形花圃ABCD，其中，且墙长为
设，矩形花圃ABCD的面积为则y关于x的函数关系式为______， x的取值范围为______；
求矩形花圃ABCD面积的最大值；
在的情况下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种鲜切花.甲种鲜切花的年收入单位：元与种植面积的函数关系式为；乙种鲜切花的年收入单位：元与种植面积的函数关系式为，若两种鲜切花的年收入之和达到28800元，求CF的长.
5.本小题8分
实践与探究
杨老师在教学过程中特别重视教材的运用，下面是他以教材课后习题为载体，引导学生进行数学实践操作与拓展探究.
【教材再现】人教版九年级上册数学课本第70页“综合运用”第6题：
已知，能否通过平移、轴对称或旋转，得到C另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以AC，AB为邻边的平行四边形？
【实践操作】
如图1，航天小组同学将绕BC中点______填“平移”或“轴对称”或“旋转”得，就可拼成一个以AC，AB为邻边的平行四边形.
【特例探究】
航天小组同学继续探索，若是直角三角形，，，，在的基础上，将绕点C顺时针旋转得到，探索中发现：
①当D，B，三点共线时，连接如图，四边形是个特殊的四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论.
②当旋转角度是时，设AB与交于点如图，求的面积.
③当B，，三点构成直角三角形时，请直接写出线段的长度.
6.本小题8分【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材64页的部分内容．
如图，在中，D是边AB的四等分点，，，，求四边形DECF的周长．
【问题解决】请结合图1给出解题过程．
【问题探究】
如图2，在中，D是边BC上的一点，过点D作，交AC于点F，过点D作，交AB于点E，延长CA至H，使，连接DH交AB于若，的面积为2，则的面积为______.
如图3，在中，D是边BC上的一点，且，连接AD，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，若F为AD的中点，的面积为m，则的面积为______用含m的代数式表示
7.本小题8分教材呈现：如图是数学教材的部分内容.如图，在中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：
请根据教材提示，结合图①，填写出完整的证明过程.
证明：如图①，连结
在中，D，E分别是边BC，AB的中点，
，______ AC，
______∽______，
______，，
结论应用：在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点
如图②，若 ABCD为正方形，且，则OF的长为______.
如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则 ABCD的面积为______.
8.本小题8分【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容.
例4：如图1，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点求证：
证明：已知，
，两直线平行，内错角相等
请你将上面的证明过程补充完整.
【深入探究】如图2，在上面例题的图中，过点D作于点若，，，则线段AE的长为______.
【拓展提升】已知一个顶角为、腰长为20cm的等腰三角形纸板，把它剪开成两个部分，再重新拼接成一个新的三角形纸板不重叠，则这个新的三角形纸板周长的最大值为______
9.本小题8分【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容.
例2如图，在中，，CD是斜边AB上的中线.求证：
证明：延长CD至点E，使，连结AE、
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程.
【应用】如图②，直角三角形ABC纸片中，，点D是AB边上的中点，连结CD，将沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有若，那么______.
【拓展】如图③，在等腰直角三角形ABC中，，，D是边AB中点，E，F分别是边AC，BC上的动点，且，当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径长是多少？
10.本小题8分【阅读思考】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版八年级下册数学教材第64页的数学活动1，其内容如下：
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法如图；
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时，得到了线段
请根据上述过程完成下列问题：
①连接AN，如图2，请判断的形状，并说明理由；
②请直接写出：______
【实践操作】如图3，四边形ABCD为正方形：请用无刻度的直尺和圆规作图不写作法，保留作图痕迹：
①请在CD边上找一点E，使，
②过点E作，交BC于点F，连接
【拓展应用】在的条件下，若正方形ABCD的边长为，请结合上面的尺规作图，求的面积．
11.本小题8分综合与实践
教材重现：取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡如图，这是重心的物理性质.
莹莹提前准备了一个等腰三角形纸片ABC，如图，，为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕AE，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕DF，再展开后连接CD，交折痕AE于点O，则点O就是的重心.
初步观察：连接AF，判断AF与BF的数量关系并说明理由；
猜想验证：莹莹通过测量发现OA与OE，OC与OD有同样的数量关系，写出它们的关系并说明理由；
尝试运用：利用的结论计算的面积；
拓展探究：莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点A重合，直接写出拼成四边形时的长.
12.本小题8分【教材再现】苏科版九下教材第56页有这样一道例题：如图1，在中，，点D、E分别在BC、AB上，且与相似吗？为什么？
【总结提炼】在完成该例题的解答后，小明从图1中分离出图2，他认为是由过的一顶点的一条直线，从上截得的一个小三角形，该三角形与原三角形相似，关联很紧密，于是，小明把这两个三角形称为“母子相似”.请应用小明的发现，继续解决问题.
【应用内化】如图3，在中，用无刻度的直尺和圆规在BC上作一点E，使得AB是BE和BC的比例中项不写作法，保留清晰的作图痕迹；
如图4，在中，，，，点P在内，且，求的最小值；
【拓展应用】如图5，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB、AD边上，且，BF与CE相交于点G，点D关于CE的对称点为点H，连接CH，HG，HG交BC于点试判断CM是否存在最小值？存在，直接写出最小值；不存在，请说明理由.
13.本小题8分下面是平顶山某初中数学小组对某教材P198一道习题的探究，请仔细阅读，并完成任务.“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题.今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的.在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且，你能证明吗？
小明：经过分析，得出结论：点G是线段EF的中点，且；
小丽：你的结论正确，若把条件“G是CF上一点，并且，”去掉，并把你的结论当成已知条件，也能完成三等分角的证明，有异曲同工之妙.
任务一：请你根据小丽的思路，将下面的“已知”和“求证”补充完整，并写出“证明”过程.
已知：ABCD是矩形，F是DA延长线上一点，点G是EF的中点，且；
求证：；
任务二：如图1，在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与的平分线交于点F，若，，求BF的长.
任务三：如图2所示，在中，，，点P在线段BC上，点D在线段AC上，，，求的面积.
14.本小题8分【教材呈现】华师版教材九年级上册页16题.已知：如图①，在中，，点D、E、F分别为AB、BC、AC的中点.求证：四边形ADEF是菱形.
【拓展延伸】
如图②，在中，AD是的角平分线，交AD延长线于点E，点F为BC的中点，连结若，，则______；
如图③，在和中，，，连结CE，点P、G、H分别为CE、DE、BC的中点.若，，，则的最小值为______.
15.本小题8分如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．
把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形是正方形．
由可知，图①中的为等腰三角形，现将图①中的点沿DC向右平移至点Q处点Q在点C的左侧，如图②，折痕为PF，点F在DC上，点P在AB上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由．
在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则______.
16.本小题8分
课本再现：
以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容.
如图1，四边形ABCD中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.
性质探究：
求证：
知识应用：
如图2，在中，BD平分，
①求证：四边形ABCD是筝形.
②对角线AC，BD交于点若，，且，求AB的长.
17.本小题8分
华师大版教材八年级下册121页有一道习题：
如图，在正方形ABCD中，
求证：
解决下列问题：
该习题不添加辅线，只需证明≌______，即可得到结论.
如图1，正方形ABCD中，点E、G分别在边AB、AD上.
①过点G作交BC于点要求尺规作图，不写作法，仅保留作图痕迹
②求证：
如图2，黄金矩形中，点E、G、H分别在边AB、AD、BC上，且，若请直接写出线段GH的长用含m的式子表示
18.本小题8分
【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第─页的部分内容：
如图，画，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看CD与AB有什么关系，相信你与你的同伴一定会发现：CD恰好是AB的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想.
已知：如图，在中，，CD是斜边AB上的中线.
求证：
请用演绎推理写出证明过程.
【结论应用】如图①，在四边形ABCD中，，，，E是AC的中点，连结BE，则的度数为______.
如图②，将直角三角形ABC绕其直角顶点C顺时针旋转至，若旋转角小于且点A、、C共线时，，，点M，分别是AB，的中点，则线段的长为______.
19.本小题8分在人教版八年级下册教材“实验与探究——丰富多彩的正方形”中，我们研究正方形的性质时用到了图①、图②两个图形，图②为大小不等的两个正方形如图排列，整个图形被切割为5部分，受这两个图形的启发，三个数学兴趣小组分别提出了以下问题，请你回答：
【问题一】“启智”小组提出问题：如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，交AB于点E，交BC于点F，则AE与BF的数量关系为 ；
【问题二】受图①启发，“善思”小组继续探究，画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与、交于点G、，且，若正方形ABCD边长为10，求四边形OEAG的面积；
【问题三】受图②启发，“智慧”小组继续探究，画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且，在直线BE上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出BP的长度；若不存在，说明理由．
20.本小题8分【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容.
如图，、都是等腰直角三角形，，画出以点A为旋转中心、逆时针旋转90后的三角形.
数学课上，同学们连结BD便解决了此问题，随后数学老师追问：BD与EC具有怎样的数量关系？两组同学给出两种不同方法：
甲组：由于是由绕着点A逆时针旋转后得到的，所以BD与EC为对应线段，所以
乙组：根据题意，我们可以证明≌，因此
请结合图①写出乙组证明方法的完整过程.
【类比探究】若将【教材呈现】中的等腰直角三角形换成等边三角形，上述结论是否仍然成立？
如图②，、都是等边三角形，连结EC、BD、
①则BD与EC的数量关系是______；
②若，，，则EC长为______.
【拓展应用】、都是等边三角形，，，若将绕着点A旋转一周，在运动过程中，点B到直线ED的距离设为d，则d的取值范围是______.
21.本小题8分同学们还记得吗？图①是我们研究过的湘教版八年级上册教材P99第16题“已知，如图在等腰三角形ABC中，，D是AB的中点，点E、F分别在AC、AB上求证：”的图形；图②是我们研究过的湘教版九年级上册教材P90第2题“如图，，，C是BD的中点.已知，，求AB的长.”的图形，受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
【问题一】受图①启发，兴趣小组画出了图③，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，交AB于点E，交BC于点F，则AE与BF的数量关系为______；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图④：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；
【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图⑤：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且，在直线BE上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由.
22.本小题8分
【教材呈现】
现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
如图，在锐角中，探究，之间的关系提示：分别作AB和BC边上的高
【得出结论】
【基础应用】
在中，，，，利用以上结论求AB的长.
【推广证明】
进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足为外接圆的半径
请利用图1证明
【拓展应用】
如图2，四边形ABCD中，，，，求过A，B，D三点的圆的半径.
23.本小题8分【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容.
先观察图，直线，点A，B在直线上，点，，，在直线上，，，这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由.
【基础巩固】如图1，正方形ABCD内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值；
【尝试应用】如图2，在半径为5的中，，，，用含x的代数式表示；
【拓展提高】如图3，AB是的直径，点P是OB上一点，过点P作弦于点P，点F是上的点，且满足，连接BF交CD于点E，若，，求的半径.
24.本小题8分【问题原型】小明在学习华师版教材九年级下册第二十七章时遇到这样一个问题：“求证：圆的内接四边形对角互补.”如图①，小明给出了如下证明方法：
证明：连结OB、
所对的弧为，所对的弧为
又和所对的圆心角的和是周角.
同理
这样，利用圆周角定理，我们得到了圆内接四边形的一个性质：圆的内接四边形对角互补.
【应用】如图②，四边形ABCD内接于，E为CB延长线上一点.若，则______.
【探究】如图③，四边形ABCD为的内接四边形，AC为的直径，，延长BA、CD相交于点
求证：；
若，则四边形ABCD的面积为______.
25.本小题8分
问题背景：苏科版八年级下册数学教材第95页“探索研究”.
如图1，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形的顶点与点O重合.将正方形绕点旋转，在这个过程中，这两个正方形重合部分的面积是正方形ABCD面积的______.
问题迁移：
等边三角形ABC的中线AD，CH相交于点O，先将绕点O逆时针旋转，再沿线段OA方向平移，得到‵A‵B‵，点O、A、B的对应点分别为、、，且，在这个过程中，‵A‵B‵的边，所在射线分别交AB，BC于点M，
①如图2，当O与重合时，求证：；
②如图3，当时，判断和之间的数量关系，并说明理由；
问题拓展：
③如图4，连接MN，记周长为p，在a、k的变化过程中，存在a、k的值，使得MN平分的周长，此时，的最小值是______.
答案和解析
1.【答案】①，②7，64；
证明：，
，
能被18整除．
【解析】【分析】
直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案；
直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案．
本题考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．
【解答】
解：根据规律得：
①；
②，
的展开式中共有7项，所有项的系数和为；
故答案为：①，②7，64；
见答案.
2.【答案】A，C；
150台．
【解析】工作时间=工作总量工作效率，且解法一所列方程为，
解法一所列方程中的x表示的是现在平均每天生产机器的数量；
工作效率=工作总量工作时间，且解法二所列方程为，
解法二所列方程中的x表示的是现在生产600台机器所需时间或原计划生产400台机器所需时间．
故答案为：A，C；
选择解法一：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：现在平均每天生产机器的数量为150台；
选择解法二：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
台
答：现在平均每天生产机器的数量为150台．
利用工作时间=工作总量工作效率，结合解法一所列方程，可找出解法一所列方程中的x的含义；利用工作效率=工作总量工作时间，结合解法二所列方程，可找出解法二所列方程中的x的含义；
选择解法一，解分式方程，经检验后即可得出结论；选择解法二，解分式方程，经检验后可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论．
本题主要考查了分式方程的应用，根据所列方程，找出未知数的含义是解题的关键．
3.【答案】；

【解析】解：如图，过点B作，
由条件可知四边形BENM是矩形，
，，
，
，
设秋千链子OA的长度为x m，
则，，
在中，，
解得：，
即秋千链子OA的长度为，
如图，过点D作于点F，
由可知，，
在中，，
，
点D离地面高度为，
秋千踏板在B、D处的高度差为
过点B作，则四边形BENM是矩形，设秋千链子OA的长度为x m，利用勾股定理列方程求解即可；
过点D作于点F，由可知，，再利用角的余弦值，求出，即可得解．
本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键．
4.【答案】，；
矩形ABCD面积的最大值是；
或
【解析】解：由已知得：，
，
墙长30m，
，
解得：，
的取值范围是；
故答案为：，；
，
抛物线对称轴为，
，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
时，y取最大值，最大值是300，
矩形ABCD面积的最大值是；
由得：时，y取最大值，最大值是300，
，
设，则，
矩形ABFE的面积为，矩形EFCD的面积为，
，，
根据题意得：
，
解得：，，
或
用x表示BC的长度，即可得到y与x的函数关系式，根据墙长30m列不等式，可求x的范围；
利用自变量的取值范围，结合抛物线的增减性即可得到答案；
设，可得矩形ABFE的面积为，矩形EFCD的面积为，根据两种鲜切花的年收入之和达到28800元，列出一元二次方程解答即可．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出函数关系式．
5.【答案】旋转；
①四边形是矩形；证明见详解；
②的面积为；
③线段的长度为或或
【解析】将绕BC中点旋转得，就可拼成一个以AC，AB为邻边的平行四边形，
故答案为：旋转；
①四边形是矩形，
证明：由旋转可得：，
由条件可知，
当D，B，点共线时，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
②作于F，
，
由条件可知，
，，
∽，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
③当时，如图所示：
作于J，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
；
当时，如图所示：
由旋转可得：，，
作于K，
，，
，
，
∽，
，
设，则，，
在中，，
，
；
当时，如图所示：
由条件可知，
此时B、C、三点共线，
，
，
综上所述，当B，，三点构成直角三角形时，线段的长度为或或
由旋转的性质可得答案；
①由旋转可得：，进而证明 ，得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形，根据，可证明四边形是矩形；
②作于F，证明∽，进而可求得，，由，可得，进而可求，即可求的面积；
③分三种情况：当时，当时，当时，结合题意画出图形，证明三角形相似或运用勾股定理定理逐一求解即可．
本题属于几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：【问题解决】是AB的四等分点，
，，
，
，，
，，
，，
，，
四边形DECF是平行四边形，
，，
四边形DECF的周长为18；
连接AD，
由【问题解决】同理可得：四边形DECF是平行四边形，
，
，
，
，
，
又，
≌，
，
的面积为2，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
连接DE，过点D作，交AC于G，
点F为AD的中点，，
，，
，
设，则，
的面积为m，
，
，
，且，
，
，
，
，
，
故答案为：
【问题解决】根据平行线分线段成比例可得，，再证四边形DECF是平行四边形即可；
首先证明≌，得，再利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比解决问题；
连接DE，过点D作，交AC于G，类比中解题方法即可．
本题是三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，运用等高的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键．
7.【答案】教材呈现：；ACG；DEG；2；
结论应用：；

【解析】【分析】
本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形重心的性质，三角形的面积，平行四边形的性质．掌握各定理与性质是解题的关键．
教材呈现：根据三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质即可求解；
结论应用：先根据正方形的性质求出OB，再根据三角形重心的性质求出OF的长；
先根据三角形重心的性质以及三角形的面积公式求出的面积，再根据平行四边形的性质得到 ABCD的面积．
【解答】
解：教材呈现：
证明：如图①，连结
在中，D，E分别是边BC，AB的中点，
，，
∽，
，，
故答案为：，ACG，DEG，2；
结论应用：
如图②， ABCD为正方形，
为等腰直角三角形，，
，
，
为边BC的中点，，
为的重心，
故答案为：；
如图③，连接
为边BC的中点，，
为的重心，G为的重心，
，，
，，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：
8.【答案】
【解析】解：【教材呈现】如图中，
，
，，
是BC的中点，
，
在和中，
，
≌，
【深入探究】
，
，
，，，
，，
，
故答案为：
【拓展提升】取AC的中点R，连接过点A作交BR的延长线于T，过点T作交BA的延长线于则≌，此时的周长最大．
，，
，
，
，
，
，，
，
，
的周长为
故答案为：
【教材呈现】证明≌，可得结论．
【深入探究】如图①，想办法求出DF，AF，再利用勾股定理求解即可．
【拓展提升】取AC的中点R，连接BR，过点A作交BR的延长线于T，则≌，此时的周长最大．
本题考查图形的拼剪，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】证明：延长CD到E，使，连接AE，BE，则，
是斜边AB上的中线，
，
四边形ACBE是平行四边形，
，
平行四边形ACBE是矩形，
，
；
；
过点D作，，如图，
，，
是边AB中点，
，
同理：，
，
四边形DGCH为正方形，
，
，
在和中，
，
≌
为等腰直角三角形，
当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径为AC，BC中点的连线，
即M所经过的路径为，
，，
的中点M所经过的路径长为
【解析】证明：延长CD到E，使，连接AE，BE，则，
是斜边AB上的中线，
，
四边形ACBE是平行四边形，
，
平行四边形ACBE是矩形，
，
；
解：如图2中，设CE交AB于点
，，
，
，
由翻折的性质可知，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
过点D作，，如图，
，，
是边AB中点，
，
同理：，
，
四边形DGCH为正方形，
，
，
在和中，
，
≌
为等腰直角三角形，
当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径为AC，BC中点的连线，
即M所经过的路径为，
，，
的中点M所经过的路径长为
延长CD到E，使，连接AE，BE，则，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；
如图2中，设CE交AB于点证明，可得结论；
过点D作，，如图，证明四边形DGCH为正方形，再证明≌推出为等腰直角三角形，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】【小题1】
解：①为等边三角形，理由如下：
由折叠的性质可得：EF垂直平分AB，BM垂直平分AN，
，，
，
为等边三角形；
②为等边三角形，
，
由折叠的性质可得，
，
；
【小题2】
①点E即为所求，
②如图，点F即为所求，
【小题3】
正方形ABCD的边长为，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
的面积

【解析】
①由折叠的性质可得：EF垂直平分AB，BM垂直平分AN，由线段垂直平分线的性质得出，即可得解；②由等边三角形的性质结合折叠的性质即可得出答案；

①先作AD的垂直平分线交AD于M，交BC于N，再以A为圆心，AD为半径画弧交MN于G，连接DG，再作DG的垂直平分线即可；②以E为圆心，任意长度为半径画弧交AE于P、Q，分别以P、Q为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过这两点作直线，交BC于F，连接AF即可；

解直角三角形求出AE、EF的长，再根据面积公式计算即可得出答案．
11.【答案】解：；理由如下：
点B与点A重叠对折，得折痕DF，
≌折叠的性质，
；
故答案为：；
猜想：，，理由如下：
连接如图2，
点D，E分别为AB，BC的中点，
为的中位线，
，，
，，
∽，
，
，；
由折叠可得，，，
，
，
由知，，
，
，
；
如图3，连接OB，DE，
由知，，
，
在中，，
由折叠可知，，，，
，
，
∽，
，即，
，
，
当与点B重合时，如图①②，连接OB，
此时；
，，
，
此时拼成的图形为三角形，不符合题意；
当点与点F重合时，如图③④，
在中，，
综上所述，的长为或
【解析】利用折叠的性质即可得到答案；
连接DE，易得DE为的中位线，则，，于是∽，利用相似三角形的性质即可求解；
由折叠可知，，利用勾股定理求得，结合的结论，根据三角形面积公式可求解；
连接OB，由知，则，利用勾股定理求得，由折叠可知，易证∽，由相似三角形的性质可求得，则，分两种情况讨论：当与点B重合时，此时；当点与点F重合时，利用勾股定理求出OF即可．
本题主要考查折叠的性质、中线的定义、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是读懂题意，熟知折叠的性质，学会利用数形结合和分类讨论思想解决问题．
12.【答案】证明过程详见解答；
作图详见解答；
；

【解析】∽，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
∽；
如图1，
作，交BC于E，
由知，
∽，
，
是BE和BC的比例中项；
如图2，
作等边三角形ABD，作其外接圆O，延长CP，交于E，连接AE，
，
点P在上，
，
，
，
，
，
，
，
，
由知，
∽，
，
当AE时直径时，AE最大，最小，即最小，
直径，
；
如图3，
四边形ABCD是正方形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
点G在以BC为直径的上，
连接OG，延长DG，交CB的延长线于W，
，
，
点D关于CE的对称点为点H，
，
，
，
由知，
，
，
当OW最大时，OM最小，，此时CM最小，
当DG与相切时，OW最大，CM最小，
此时，
，
，
∽，
，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
可证得，根据得出，进而得出，进一步得出结论；
作，交BC于E；
作等边三角形ABD，作其外接圆O，延长CP，交于E，连接AE，可证得∽，从而，从而得出当AE时直径时，AE最大，最小，即最小，进一步得出结果；
可证得，从而点G在以BC为直径的上，连接OG，延长DG，交CB的延长线于W，可推出，从而根据知，从而，从而当OW最大时，OM最小，，此时CM最小，从而当DG与相切时，OW最大，CM最小，进一步得出结果．
本题考查了相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，圆的切线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
13.【答案】解：任务一：已知：四边形ABCD是矩形，F是DA延长线上一点，点G是EF的中点，且，
求证：；
证明：四边形ABCD是矩形，
，，
点G是EF的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
任务二：在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与的平分线交于点F，若，，取AC的中点H，连接BH，过点C作 于点G，
，
点H是AC的中点，
，
，
设，
，
，
，
，
，BF平分，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
任务三：如图2，作线段AD垂直平分线EF，交AP于E，AD于F，
垂直平分AD，
，，，
，
；
，，
，
，
，
；
，
，
∽，
；
设，则，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
，
，
；

【解析】任务一：根据矩形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，于是得到；
任务二：取AC的中点H，连接BH，过点C作 于点G，根据矩形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，设，得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．
任务三：作线段AD垂直平分线EF，交AP于E，AD于F，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质证明，再证明∽，得到，然后设，则，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，则有，解之求得，从而求得，最后由求解即可．
本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，正确地作出辅助线是解题的关键．
14.【答案】 2
【解析】【教材呈现】证明：点D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
，，
四边形ADEF是平行四边形，
由点D、E、F分别为AB、BC、AC的中点可知，，
又，
四边形ADEF是菱形；
【拓展延伸】解：延长CE交AB的延长线于点M，
是的角平分线，
，
，
，
，
≌，
，，
为BC的中点，
为的中位线，
，
，
故答案为：；
连接BE，DC，AG，
，，，
，
，
≌，
，
，H为CE，BC的中点，
为的中位线，
，
同理，
，
当BE取得最小值时，最小，
为DE的中点，，
，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为2，
的最小值为
故答案为：
【教材呈现】证出四边形ADEF是平行四边形，，由菱形的判定可得出结论；
【拓展延伸】延长CE交AB的延长线于点M，证明≌，得出，，由三角形中位线定理得出，则可得出答案；
连接BE，DC，AG，证明≌，得出，当BE取得最小值时，最小，则可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握特殊几何图形的性质是解题的关键．
15.【答案】证明：如图①中，
四边形ABCD是矩形，
，
由翻折可知，，
，
四边形是矩形，
三角形是三角形ADE沿过点D的直线翻折后形成的，
，
四边形是正方形；
解：是等腰三角形，理由如下：
四边形ABCD是矩形，
，
，
由翻折可知，，
，
，
是等腰三角形；

【解析】解：见答案；
见答案；
如图③中，
四边形PGQF是菱形，
，
由知，，
，都是等边三角形，设，
，
由翻折可知，，，
，
，，
由翻折可知，，，
，
故答案为
根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．
证明即可解决问题．
证明，都是等边三角形，设，利用三角形的边角关系，求出AB，用m表示即可解决问题．
本题考查矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质.
16.【答案】解：证明，，，
≌，
，
设AC与BD的交点为O，
，，，
≌，
，
；
①证明：BD平分，
，
，，，
，
又，
≌，
，，
四边形ABCO是筝形；
②如图，过点C作交AB于点H，
，，，，，
垂直平分AC，
，
，
，
，
又，
∽，
，
在中，，，
根据勾股定理，
设，，，
，，
在中，
，
即，
解得舍去，，
，
的长为
【解析】，，，≌，进而证明≌，，进而证明；
①BD平分，，先证明≌，根据筝形的定义即可作答；
②过点C作交AB于点H，BD垂直平分AC，，推出，进而证明∽，，进而求出OD，
设，，，进而表示出AH，在中，，即可作答．
本题考查三角形相似，三角形全等，四边形的综合题，解题的关键是作辅助线．
17.【答案】；
①见详解；②见详解；

【解析】证明：，
，
是正方形，
，，
，
，
，
；
≌；
故答案为：；
该习题不添加辅线，只需证明≌，即可得到结论；
解：①根据题意，作图如下：
②，，，
过点D作交 CE于点O，交 BC于点F，
由题意可得：，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
；
解：过点D作交 CE于点O，交 BC于点F，
由题意可得：四边形GHFD为平行四边形；
，
，
，
；
，
∽，
，
；
根据全等三角形的判定和性质即可求解；
①根据题意作图即可；②过点D作交 CE于点O，交 BC于点F，进而证明≌，从而求解；
根据题意判定∽，进而求解；
本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
18.【答案】
【解析】【教材呈现】证明：延长DE到点E，使，连结AE、BE，
是AB边上的中线，
，
四边形ACBE是平行四边形，
，
四边形ACBE是矩形，
，
，
【结论应用】解：如图①，连结DE，
，，，
，
，
是AC的中点，
，，，
，，，
，
，
，
故答案为：
解：如图②，连结CM、，
由旋转得≌，
，
，
、C、B三点共线，
，
旋转角小于且点A、、C共线，
点在边AC上，
，，
，
点M，分别是AB，的中点，
，，
，，
，
，
故答案为：
【教材呈现】延长DE到点E，使，连结AE、BE，由，，可证明四边形ACBE是矩形，则，所以；
【结论应用】连结DE，由，，，得，则，而E是AC的中点，则，，，所以，，，可求得，，所以；
连结CM、，由旋转得≌，可证明、C、B三点共线，点在边AC上，再根据勾股定理求得，则，，所以，，可证明，则
此题重点考查矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、旋转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
19.【答案】【小题1】

【小题2】
如图③，
连接，
点O是正方形ABCD的中心，
，
点O是正方形ABCD的中心，
，，，
，
，
，
≌
，
；
【小题3】
在直线BE上存在点P，使为直角三角形，
①当时，如图④，延长相交于点Q，
四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
，，
四边形ABEQ是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，如图⑤，
同①的方法得，，
，
，
，
或；
③当时，如图⑥，
过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长相交于N，
同①的方法得，四边形ABPM是矩形，
，，，
同①的方法得，四边形ABEN是矩形，
，，
，
同①的方法得，，
，
，
，
，
即BP的长度为4或6或12或

【解析】
利用ASA判断出≌，即可得出答案；
【详解】解：正方形ABCD的对角线相交于点O，
，，，
四边形是正方形，
，
，
≌
，
故答案为：；

先求出，再利用ASA判断出≌，即可求出答案；

分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．
20.【答案】
【解析】【教材呈现】证明：、都是等腰直角三角形，
，，，
，
即，
≌，
；
【类比探究】解：①、都是等边三角形，
，，，
，
即，
≌，
，
故答案为：；
②，，
，
，，
；
故答案为：；
【拓展应用】解：，，
点D在以A为圆心，4为半径的圆上运动，
当点在AB上时，则，
点是AB的中点，
，，，
点B到直线ED的最小距离为4，
当DE在AE上方时，且DE与相切时，点B到直线ED的有最大距离，
，ED是的切线，
，
，
点B到直线ED的最大距离为BE的长，
点B到直线ED的最大距离为8，
，
故答案为：
【教材呈现】由“SAS”可证≌，可得；
【类比探究】①由“SAS”可证≌，可得；②由勾股定理可求解；
【拓展应用】由题意可得点D在以A为圆心，4为半径的圆上运动，则DE为的切线时，点B到直线ED的距离有最大值和最小值，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，圆的有关知识，确定点D的轨迹是解题的关键．
21.【答案】；
16；
3或2或6或
【解析】解：在正方形ABCD中，
，，，
四边形是正方形，
，
，
，
≌，
，
故答案为：；
如图1，
连接AC，BD，
由知：≌≌≌，
；
如图2，
当时，延长FG，交AB于点Q，
可得∽，
，
，
，
当时，
可得≌，
此时，
当，
延长EF，交AD的延长线于点T，
可得∽，
，
，
，
，
综上所述：或2或
可证明≌，从而得出结果；
连接AC，BD，可证得≌≌≌，进而得出结果；
分为点A、F、P分别为直角顶点：当时，延长FG，交AB于点Q，可证得∽，从而，进而得出结果；当时，可得≌，从而得出；当，延长EF，交AD的延长线于点T，可得∽，，从而求得，进而的出结果．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类．
22.【答案】解：【基础应用】
，，
，
，，，
，
解得；
【推广证明】
作于点D，作于点E，连接AO并延长交于点F，连接CF，如图所示，
，
，
，
同理可证，，
，
是直径，
，
，
，
，
；
【拓展应用】
连接DB，如图所示，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
作交CD于点E，
则四边形ABCE是矩形，
，，
，
，
，
过A，B，D三点的圆的半径为
【解析】【基础应用】
根据三角形内角和可以求得的度数，然后根据题目中的结论，即可求得AB的长；
【推广证明】
先证明，然后连接AO并延长交于点F，根据圆周角定理可以得到，求出的正弦，即可得到的正弦，然后即可得到，从可以得到；
【拓展应用】
根据勾股定理可以得到BD的长，然后根据平行线的性质和锐角三角函数，可以得到的值，然后作交CD于点E，得到矩形ABCE，从而可以得到AE和DE的长，再根据勾股定理求得AD的长，最后根据，即可得到过A，B，D三点的圆的半径．
本题一道圆的综合题，主要考查勾股定理、矩形的性质、解直角三角形、圆周角定理等，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】【教材呈现】
解：，，，的面积相等，
直线，点A，B在直线上，
点，，，，
，，，这些三角形的面积相等；
【基础巩固】
解：如图1，
连接OC，OD，
，
，，
，
阴影面积与圆面积的比值为：；
【尝试应用】
解：如图2，
连接OA，作于E，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
【拓展提高】解：如图3，
连接OC，
设，则，
，
，
，
，
，，
，，，
，
由得，
，
，
，，，，
，
，
，
的半径为：
【解析】【教材呈现】可得出点，，，；
基础巩固】连接OC，OD，可推出，，根据，进而得出结果；
【尝试应用】连接OA，作于E，可推出，从而，根据，可推出，从而，可推出，进而解三角形AOB求得结果；
【拓展提高】连接OC，设，则，可推出，从而，根据，，可得出，，，进而表示出，根据由得，从而得出，进而得出，，，，根据，从而，进而求得结果．
本题考查了圆的有关性质，圆的有关计算，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，充分运用圆的有关性质．
24.【答案】【应用】；
【探究】证明：四边形ABCD为的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
；

【解析】【应用】解：四边形ABCD内接于，
，
，
故答案为：；
【探究】证明：四边形ABCD为的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
；
解：为的直径，
，
，
，
为的直径，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
四边形ABCD的面积
故答案为：
【应用】利用圆的内接四边形的对角互补的性质，邻补角的定义和同角的补角相等的性质解答即可；
【探究】利用圆的内接四边形的对角互补的性质和圆周角定理解答即可；
利用直角三角形的性质，勾股定理和直角三角形的边角关系定理求得AC，AB，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用勾股定理求得CD，AD，最后利用四边形ABCD的面积解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，本题是阅读型题目，正确理解题干中的方法并熟练运用是解题的关键．
25.【答案】
①见证明过程．
②
③
【解析】正方形ABCD，
，
，
，
由，，
得：≌，
面积面积，
重合部分的面积
面积面积
面积面积
面积
正方形ABCD面积．
①，CH为等边三角形ABC的中线，
，，
绕点O旋转，又O与重合，
，，
由，，，
得：≌，
即
②过作
，，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
③延长AB至P，使，连
又，
，
在NP上运动，
故当时，MN最小．
，
为等边三角形．
平分的周长，
周长
，
，
故答案为：
由正方形ABCD，得，证明≌，得面积面积，故重合部分的面积面积面积面积正方形ABCD面积．
①由AD，CH为等边三角形ABC的中线，得，，由旋转得到，，故证明≌，得
②过作由，，得由，，得，再证明∽，得
③延长AB至P，使，得，由N在NP上运动，得当时，MN最小．由为等边三角形．得由MN平分的周长，得周长得，于是得到结论．
本题考查了几何变换综合题，掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，是解题关键．备战2026年湖北省中考数学创新题
专题6 开放性试题
一、结合考情：开放性试题的核心特征与命题逻辑
1. 命题导向：从 “知识记忆” 到 “素养落地” 的转型
随着 “双减” 政策深化与课程改革推进，湖北中考数学已明确从 “考查知识熟练度” 转向 “评估核心素养”，开放性试题成为关键载体。2025 年湖北专用押题卷及武汉真题显示，开放性试题占比已提升至 15%-20%，且评分标准呈现 “结论 30%+ 逻辑 70%” 的特点 —— 不再以单一答案定分，而是侧重 “思维过程可追溯、论证依据可支撑” 的核心能力。这类试题有效区分了 “机械刷题者” 与 “灵活运用者”，成为中档分向高分突破的关键。
2. 题型分类：三大类型主导考情
结合近五年试题编码分析及 2025 年真题特征，湖北中考开放性试题可归为三类核心题型：
条件开放型：给定结论补全条件，考查逆向推理能力。如 2025 年武汉卷第 11 题 “使二次根式有意义的正整数 x”，需围绕 “被开方数非负” 自主设定条件，答案不唯一但需符合数学规则；
结论开放型：给定条件探究结论，考查发散思维。多出现于几何探究题，如 “在平行四边形中添加一条线段，写出两个不同的结论”，需从边、角、对角线等多角度推导；
方案设计型：结合实际情境设计方案，考查建模与决策能力。如 “设计公平的抽奖规则”“优化社区充电桩布局”，需以概率、函数等知识为依据，论证方案合理性。
3. 情境载体：真实化与跨学科的双重升级
开放性试题的情境设置呈现两大趋势：一是本土与生活融合，如结合长江生态保护的数据分析、武汉光谷科技园区的路径规划等；二是跨学科渗透，如融合物理力学的函数建模（无人机飞行轨迹）、融入传统文化的几何探究（榫卯结构对称性）。2025 年押题卷第 18 题 “无人机俯角测量” 即通过科技情境，设置半开放设问 “补充一个条件计算高度”，体现 “情境包装 + 开放设问” 的命题逻辑。
二、解题方法：三步闭环法突破开放型难题
开放性试题的核心是 “有依据的多元表达”，需摒弃 “随意写答案” 的误区，遵循 “审题定界→建模支点→表达闭环” 的解题框架。
第一步：审题定界 —— 锁定开放边界与核心考点
开放题并非无拘无束，题干中隐藏着明确的限定条件，需通过 “三圈定位法” 精准拆解：
圈画情境限定：标注生活 / 跨学科背景中的关键信息（如 “抽奖规则需公平”“无人机匀速上升”），排除干扰描述；
圈画设问指令：明确设问类型（补条件 / 探结论 / 设计方案），如 “写出一个符合要求的 x 值” 需单一答案，“提出两种解决方案” 需多角度切入；
圈画学科边界：关联核心考点（如二次根式→被开方数非负，概率→等可能性），避免脱离教材知识的无效表达。
示例：面对 “设计节水方案并计算节水量” 的开放题，需先锁定 “函数建模” 考点，再结合 “家庭用水数据” 情境，排除与数学无关的节水措施描述。
第二步：建模支点 —— 用教材知识锚定解题方向
开放性答案必须建立在学科基础上，需从教材中寻找 “支点知识”，形成 “情境→模型” 的转化：

开放题型 核心支点知识 建模示例
条件开放型 定理逆用、公式限制条件 补全全等条件→SSS/SAS 等判定定理
结论开放型 图形性质、函数增减性 动点问题→二次函数最值性质
方案设计型 概率公平性、函数优化原理 抽奖规则→等可能事件概率模型

关键技巧：遇到跨学科情境，优先转化为数学语言 —— 如物理 “匀速运动” 转化为 “一次函数 y=kx+b（k≠0）”，化学 “溶液配制” 转化为 “比例方程”，核心模型始终回归教材。
第三步：表达闭环 —— 构建 “观点→证据→结论” 的得分逻辑
评分细则对逻辑完整性的要求远高于答案本身，需按 “分层表达” 原则书写，确保每一步可追溯：
基础层（保分）：明确呈现核心依据（公式 / 定理 / 定义），如 “∵二次根式 有意义，∴x-2≥0（依据：二次根式定义）”；
推导层（提分）：结合条件展开推理，避免跳步，如 “由 x-2≥0 得 x≥2，又 x 为正整数，∴x=2（或 3、4 等）”；
结论层（升华）：关联情境验证合理性，如 “x=2 时，=0，符合二次根式意义，且为正整数，满足要求”。
避坑指南：① 避免 “泛泛而谈”，每一结论需对应具体数据 / 公式；② 拒绝 “逻辑断裂”，如设计方案题需写出 “原理→步骤→计算” 全过程；③ 规范术语表达，如 “概率相等” 不可简写为 “机会一样”。
三、趋势预测：2026 年开放性试题的三大演进方向
1. 题型占比与难度：开放题成为 “拉分关键区”
占比提升：结合教育部 “增加开放性试题比重” 的要求，2026 年开放题占比有望突破 20%，且可能在解答题中设置 1-2 道压轴级开放题（如函数与几何融合的方案探究）；
难度分层：基础开放题（如补条件、写结论）侧重知识应用，难度较低；高阶开放题（如多方案设计、跨学科探究）侧重思维广度，需融合 2-3 个知识点，区分度显著。
2. 情境与考法：本土性、前沿性与探究性深度融合
情境创新：将聚焦三大方向 ——① 本土热点（长江禁渔数据统计、楚剧服饰几何图案）；② 前沿科技（人工智能数据分类、新能源光伏板角度优化）；③ 文化传承（《九章算术》中的开放问题改编）；
考法升级：出现 “开放 + 动态”“开放 + 跨学科” 的复合题型，如 “在无人机动态飞行情境中，自主补充条件并探究最佳观测点”，需结合解直角三角形与函数建模，同时进行方案评价。
3. 能力考查：三大核心素养成得分关键
信息整合能力：题干将包含多组图表、跨段落文字，需快速筛选 “有用数据”，如从 “社区用水统计表 + 阶梯水价规则” 中提炼函数关系；
创新思维能力：鼓励 “一题多解”，如几何结论探究可从 “代数计算”“几何变换” 两种路径推导，只要逻辑成立均给分；
实践迁移能力：方案设计题将更强调 “落地性”，如 “设计校园垃圾分类统计方案” 需包含抽样方法、数据整理、结论建议，全程体现数学的实用价值。
一、填空题：本题共11小题，每小题3分，共33分。
1.请写出一个正整数m的值，使得是整数，则 .
2.若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 写出一个即可
3.在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的表达式可能为 写出一个即可
4.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 写出一个满足条件的值
5.某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小．写出一个满足条件的k的值是 .
6.二次函数的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 填一个值即可
7.一只不透明的袋子中装有白、红、黑三种不同颜色的球，其中白球有3个，红球有8个，黑球有m个，这些球除颜色外完全相同．若从袋子中任意取一个球，摸到黑球的可能性最大，则m的值可以为 写出一个符合条件的值即可
8.如图，已知点，，反比例函数图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值： .
9.如图，已知于点P，，请增加一个条件，使≌不能添加辅助线，你增加的条件是 .
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 ，使得菱形ABCD为正方形．
11.如图，在中，，E分别为边AB，AC上的点，，，F为BC边上一点，添加一个条件 ，使得与相似．只需写出一个
二、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.本小题8分如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，有下列三个条件：①；②；③
请在上述三个条件中选取一个条件，使得≌你选取的条件为填写序号 只需选一个条件，你判定≌的依据是 填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”；
利用的结论≌求证：
13.本小题8分如图，点M在平行四边形ABCD的边AD上，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个合适的选项作为已知条件，使平行四边形ABCD为矩形．
你添加的条件是 填序号
添加条件后，证明：平行四边形ABCD为矩形．
14.如图，在四边形ABCD中，，点E在边AB上， .
请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上填序号，再解决下列问题：
求证：四边形BCDE为平行四边形；
若，，，求线段AE的长．
15.本小题8分小明在学习“矩形”这一节时知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，由此引发他的思考：这个定理的逆命题成立吗？他猜想：“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形”．通过探究，小明发现这个猜想也成立，以下是小明的证明过程：
已知：如图1，在中，D是边AB上的中点，连接CD，且
求证：为直角三角形．
证明：由条件可知，，则，
又因为，所以，即为直角三角形．
爱动脑筋的小明发现用本学期所学知识也能证明这个结论，并想出了如图2、图3两种不同的证明思路，请你选择其中一种，把证明过程补充完整．
证法一：如图2，延长CD至点E，使，连接AE，BE
证法二：如图3，分别取边AC，BC的中点E，F，连接DE，DF，EF，则DE，DF，EF为的中位线
16.本小题8分根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米米为“中途期”，80米米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度与路程之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．
是关于x的函数吗？为什么？
“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
17.本小题8分如图， ABCD的对角线相交于点O，，请从下面三个选项中，选择一个作为条件，使 ABCD是矩形.
①②③
你添加的条件是 填写序号，求证： ABCD是矩形;
在的结论下，若E是BO的中点，，求点E，F之间的距离.
18.本小题8分某同学根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完整：
填表．
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 1 3 …
根据中的结果，请在所给坐标系中画出函数的图像．
结合函数图像，请写出该函数的一条性质．
19.本小题8分【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离与刹车后行驶的时间之间的关系．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如表：
刹车后行驶的时间 0 1 2 3
刹车后行驶的距离 0 27 48 63
发现：①开始刹车后行驶的距离单位：与刹车后行驶的时间单位：之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离y随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，解答下列问题：
求y关于t的函数解析式不要求写出自变量的取值范围
求汽车刹车4 s后，行驶了多长距离．
若汽车司机发现正前方73 m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
20.本小题8分如图，在中，CB与相交于D，CA与相交于
从下面①②③中选取两个作为已知条件，另一个作为结论构成一个真命题，并证明.
①是直径;
②
③
在的条件下，若，，连接BE，求BE的长.
答案和解析
1.【答案】答案不唯一
【解析】略
2.【答案】3
答案不唯一
【解析】略
3.【答案】
答案不唯一
【解析】略
4.【答案】0
【解析】方程有两个不相等的实数根，
，解得故答案为答案不唯一
5.【答案】答案不唯一
【解析】由题可知，时满足条件，则k的值可取答案不唯一
6.【答案】答案不唯一
【解析】设二次函数的图像与x轴的两个交点的横坐标为、，即一元二次方程的根为、，由根与系数的关系得，，二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，，异号，，即填任意负数均可．
7.【答案】9
答案不唯一
【解析】略
8.【答案】答案不唯一
【解析】由图像可知，把代入，得，把代入，得，满足条件的k的取值范围是，故答案不唯一
9.【答案】答案不唯一，如：
【解析】于点P，，，≌
10.【答案】
答案不唯一
【解析】略
11.【答案】
答案不唯一
【解析】略
12.【答案】【小题1】
①
答案不唯一
【小题2】
≌，

【解析】 略
略
13.【答案】【小题1】
①或②
【小题2】
选择①，
证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
在和DCM中，
≌，
，
，
ABCD为矩形．
选择②，
证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
在和DCM中，
≌，
，
，
，
ABCD为矩形．

【解析】 略
略
14.【答案】【小题1】
①
/②
【小题2】
解：证明：选择①：，，四边形BCDE为平行四边形；选择②：，，，四边形BCDE为平行四边形；
【小题3】
由可知，四边形BCDE为平行四边形，，，，即线段AE的长为

【解析】 略
略
略
15.【答案】证明：证法一：是AB的中点，四边形ACBE是平行四边形．又，，四边形ACBE是矩形．为直角三角形．
证法二：，DF，EF为的中位线，，，四边形CFDE是平行四边形．，四边形CFDE是矩形．为直角三角形．

【解析】略
16.【答案】【小题1】
是x的函数，因为在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应．
【小题2】
由题图可知，“加速期”结束时，小斌的速度为
【小题3】
答案不唯一．例如：根据图像信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．

【解析】 略
略
略
17.【答案】【小题1】
①，
证明：，，
在和中，
，
四边形ABCD为平行四边形，
，，
，即，
ABCD是矩形;
条件任选一个证明即可，②③条件证明略
【小题2】
如图，连接
ABCD为矩形，
，
是BO的中点，，，
，为等边三角形，
，，
，
在中，
，，
为等边三角形，
，
是OC的中点，
是的中位线，
，即点E，F之间的距离为

【解析】 略
略
18.【答案】【小题1】
2
【小题2】
函数 的图像如下：
【小题3】
答案不唯一，如：当时，函数值y随x的增大而增大；当时，函数y的值为

【解析】 略
略
略
19.【答案】【小题1】
解：设y关于t的函数解析式为
将，，代入，得解得
关于t的函数解析式为
【小题2】
由得y关于t的函数解析式为， 又，当时， 汽车刹车4 s后，行驶了
【小题3】
会．理由如下：由可知，当时，汽车停下，共行驶了，该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车．

【解析】 详细解答和解析过程见【答案】
略
略
20.【答案】【小题1】
【解】选择①②为条件，③为结论，
证明：连接AD，如图，
是等腰三角形是直径，
，答案不唯一
【小题2】
如图，连接
是直径，，，，，，即，解得

【解析】 可选择①②为条件，③为结论，连接AD，由可得是等腰三角形，由AB是直径可得，根据三线合一即可解答.
先根据勾股定理求出AD的长，再利用等面积法即可求出BE的长.备战2026年湖北省中考数学创新题
专题7 项目式学习 试题
一、结合考情：项目式学习试题的核心特征与命题逻辑
1. 命题导向：从 “知识叠加” 到 “实践探究” 的深度转型
随着课程改革与 “双减” 政策深化，湖北中考数学已明确将项目式学习试题作为考查核心素养的关键载体。这类试题打破传统 “知识点→习题” 的线性考查模式，通过模拟真实研究过程（如方案设计、数据探究、跨学科验证），综合评估学生的信息整合、数学建模、逻辑推理与实践迁移能力。2025 年湖北中考一模及押题卷显示，项目式学习试题已从选填压轴向解答题渗透，占分比重提升至 10%-15%，且评分标准采用 “过程分 + 结果分” 的双轨制，突出 “探究逻辑完整性” 的核心地位。
2. 题型特征：三大核心类型主导考情
结合湖北本土命题特色与全国同类试题演进，项目式学习试题可归纳为三类典型形态，均呈现 “多素材 + 分任务” 的结构特征：
方案优化类：以生产规划、资源配置为背景，通过多任务链设计考查建模与决策能力。如 2025 年湖北专用押题卷中 “民族服装厂加工方案设计” 题，通过 “变量关系探寻→利润函数建模→最优方案拟定” 三任务，融合方程、二次函数与不等式知识，这类题型占比最高，达项目式试题的 40%。
实践测量类：依托生活场景中的测量需求，考查几何建模与运算能力。典型载体包括建筑高度测量（如古塔、楼房）、设备安装范围确定（如太阳能板）等，2025 年湖北一模 “击球运动中古塔高度测量” 题即属此类，需结合解直角三角形与数据筛选完成探究。
跨学科探究类：融合理科常识或传统文化，考查知识迁移能力。如结合凸透镜成像规律考相似三角形、依托《九章算术》背景考几何变换，这类试题虽占比尚低（约 20%），但增长趋势明显，成为命题创新的核心方向。
3. 情境与考点：本土性与综合性的双重聚焦
情境载体：紧密贴合湖北地域特色与生活实际，如长江生态保护中的数据统计、武汉光谷科技园区的路径规划、楚剧服饰的工艺优化等，让数学问题 “接地气、有温度”；
考点融合：打破知识板块壁垒，呈现 “单一情境 + 多知识点” 的融合特征。方案优化类多融合 “方程 + 函数 + 不等式”，实践测量类常串联 “几何图形性质 + 三角函数 + 数据处理”，跨学科类则侧重 “数学模型 + 学科原理” 的转化。
二、解题方法：四步闭环法突破项目式探究难题
项目式学习试题的核心是 “模拟真实研究过程”，需摒弃 “碎片化解题” 思维，遵循 “素材解码→任务拆解→模型构建→结论验证” 的四步闭环方法。
第一步：素材解码 —— 剥离冗余信息，锁定核心条件
项目式试题往往包含大量背景描述与多组数据，需通过 “分层筛选法” 精准提取关键信息：
划分素材类型：将题干素材分为 “背景陈述”（如工厂生产规模、建筑基本参数）、“约束条件”（如 “雅服装至少加工 10 件”“太阳光线夹角范围”）、“数据支撑”（如利润标准、三角函数值）三类，优先标注约束条件与数据；
关联任务目标：结合后续任务（如 “求变量关系”“定安装楼层”）反向定位所需信息，避免陷入 “信息迷宫”。例如解 “太阳能板安装范围” 题时，需围绕 “判断不能安装的楼层” 这一目标，锁定 “冬至日最小太阳高度角” 这一关键数据；
转化数学语言：将自然语言转化为符号或图形语言，如 “加工正服装人数 = 总人数 - 雅服装人数 - 风服装人数” 转化为代数式 “70-x-y”，将 “太阳光线与水平线夹角” 转化为直角三角形中的锐角。
第二步：任务拆解 —— 拆分探究链条，锚定考点方向
项目式试题的 “多任务” 设计本质是 “分步探究引导”，需通过 “任务 - 考点” 对应法明确解题路径：
任务类型 核心考点指向 解题思路示例
关系探寻类 方程（组）、基本数量关系 利用 “总人数守恒”“件数相等” 列关系式
模型构建类 一次 / 二次函数、几何模型 结合利润公式构建函数解析式，或用直角三角形建模
方案优化类 函数最值、不等式解集 通过函数顶点式或取值范围确定最优解
结论验证类 实际意义检验、数据合理性分析 判断解是否符合 “人数为正整数”“楼层为整数” 等约束
关键技巧：前序任务的结论往往是后续任务的已知条件（如 “变量关系” 是构建利润函数的基础），需在解题过程中明确标注 “任务 1 结论→任务 2 已知” 的关联，避免重复计算。
第三步：模型构建 —— 调用知识储备，搭建解题框架
根据任务类型匹配对应数学模型，形成 “情境→模型” 的转化思维：
方案优化类：优先构建 “变量 + 函数” 模型。先通过方程确定变量间关系（如 y=-1/3x+70），再结合利润公式构建目标函数（如 w=-2x +72x+3360），最后通过函数性质或不等式求最优解；
实践测量类：核心是 “几何建模 + 数据代入”。先将实际场景转化为几何图形（如将楼房测量转化为直角三角形），再选取合适的定理（如三角函数、相似三角形），代入关键数据计算；
跨学科探究类：关键是 “学科原理→数学转化”。如凸透镜成像问题中，将 “光路规律” 转化为 “相似三角形对应边成比例”，再进行计算验证。
第四步：结论验证 —— 结合情境约束，规范表达逻辑
项目式试题的评分重点在于 “探究过程的完整性”，需做到 “结论 + 依据 + 验证” 的三维表达：
明确结论：直接回应任务设问，如 “当 x=19 时，总利润最大”“7 层及以下不能安装太阳能板”；
标注依据：说明结论的数学支撑，如 “由二次函数顶点式可知，当 x=18 时 w 最大，但 x 需为整数，故取 x=17 或 19 验证”；
情境验证：结合实际约束检验合理性，如 “加工人数需为非负整数，经检验 x=19、y=17 符合条件”。
避坑指南：① 忽略变量取值范围（如人数、楼层为整数）导致结论无效；② 跳过前序任务直接解题（如未求变量关系直接构建函数）；③ 缺乏情境验证，仅呈现数学计算结果。
三、趋势预测：2026 年项目式学习试题的三大演进方向
1. 题型占比与难度：成为 “中档拉分区” 核心载体
占比提升：受 “增加实践探究类试题” 的命题政策影响，2026 年项目式学习试题占分比重有望突破 15%，且大概率在解答题第 22 或 23 题（原几何综合题位置）设置 1 道 10-12 分的压轴级项目题；
难度分层：基础任务（如变量关系探寻）侧重知识应用，难度较低；高阶任务（如多方案对比、跨学科验证）侧重思维深度，需融合 2-3 个知识板块，区分度显著，成为 750 分向 800 分突破的关键。
2. 情境与考法：本土性、前沿性与开放性的三重升级
情境创新：聚焦三大方向 ——① 本土热点深化（长江禁渔数据统计、楚文化遗产中的数学探究）；② 前沿科技融合（人工智能数据分类、新能源设备优化）；③ 劳动实践场景（校园垃圾分类规划、农田灌溉方案设计）；
考法突破：出现 “项目式 + 开放探究” 的复合题型，如 “设计两种古塔测量方案并对比优劣”，要求从 “误差大小、操作难度” 等角度结合数学原理分析，答案不唯一但需逻辑自洽；同时强化 “动手能力” 考查，要求考生通过画图、建模等过程性步骤展现思维，如 2026 年极可能引入 “尺规作图 + 测量计算” 的组合任务。
3. 能力考查：三大核心素养成得分关键
信息整合能力：题干素材将更复杂，可能包含多组表格、跨页图形或学科术语，需快速筛选 “有用数据”，如从 “社区用水统计表 + 阶梯水价规则” 中提炼函数关系；
动态建模能力：动态场景（如动点测量、变量优化）将成为主流，需掌握 “静态分析→动态转化→范围确定” 的建模逻辑，如 “无人机动态飞行中的目标测量” 题，需结合运动轨迹构建分段函数模型；
实践迁移能力：强调 “数学知识→实际问题” 的转化，方案设计题需体现 “落地性”，如 “校园充电桩布局优化” 需包含 “位置选择→数量计算→合理性论证”，全程关联几何与统计知识。
一、解答题：本题共23小题，共184分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题8分某数学社团有如下项目研究，请解答相应问题.
【项目主题】两位数之间的运算与数位上数字的关系.
【项目研究的内容】某些特殊的两个两位数的积与交换这两个两位数数字得到的新两位数积的差.
【项目研究的过程】
特例观察：
；
；
；
；
______；
…
等式左边的算式可表示为的形式，观察这些式子可以发现：①数a，b十位上的数字相同，不妨设为且m为正整数；②若设数a个位上的数字为且n为正整数，则b个位上的数为______；③将数 a的十位上的数与个位上的数字对调得到数c，将数b的十位上的数与个位上的数字对调得到数d；….
在的前提下，数a可以表示为，数b可以表示为，数c可以表示为，数d可以表示为______；
【归纳与证明】请你根据“项目研究的过程”的内容，用含m，n的等式归纳”这种特殊的两个两位数的积与交换这两个两位数数字得到的新两位数积的差”的规律，并证明.
2.本小题8分实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化溢水杯的杯底厚度忽略不计
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关.物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大.
总结公式：当小铝块位于液面上方时，当小铝块浸入液面后，
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示.
【解决问题】
当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数;
当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式;
当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值.
3.本小题8分综合与实践
【活动主题】支持乡村振兴，班级同学在老师的带领下前往某养鱼场开展综合实践活动．
【项目背景】其中一个项目是测算养鱼场长度如图所示
【工具准备】皮尺、测角仪、计算器等．
【测量过程】在C点测得，，，，在D点测得
【数据信息】用计算器算得如下参考数据：，，，，，
【完成任务】请你根据以上数据信息，求养鱼场长度
4.本小题8分【利用相似测量旗杆高度】某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
【项目主题】测量旗杆的高度．
【问题驱动】能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？
【组内探究】由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板、标杆、镜子，甚至还可以利用无人机……确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
方案一 方案二
测量工具 标杆、皮尺 自制直角三角形硬纸板CEF、皮尺
测量示意图 图1说明：线段AB表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离，测点F与点B，D在同一水平直线上，点D，F，B之间的距离都可以直接测得，且点A，B，C，D，E，F都在同一竖直平面内，A，C，E三点在同一直线上 图2说明：线段AB表示旗杆，小明的眼睛到地面的距离，点D与点B在同一水平直线上，点D，B之间的距离可以直接测得，且点A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，A，E，C三点在同一直线上，C，F，G三点在同一直线上
测量数据 点B，D之间的距离 点B，D之间的距离
点D，F之间的距离 EF的长度
EF的长度 CE的长度
根据上述方案及数据，请你选择其中一个方案，求出旗杆AB的高度．
5.本小题8分综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：如图是某城市规划展览馆，树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据．
项目报告表
时间：2025年5月29日
项目分析
活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度
测量工具 测角仪、皮尺
项目实施
任务一 测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 测出测角仪的高 利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角 测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的距离
任务二 计算实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度．结果精确到1 m，参考数据：，，
任务三 换算模型高度 将该城市规划展览馆AB的高度按等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为________结果精确到
项目结果 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据
请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．
6、本小题8分综合与实践
设计学校田径运动会比赛场地
查阅资料 田径运动场地的形状和结构有一个演变过程．1986年第1届现代奥运会兴建的田径场地，是由两个平行的直段和两个相对相等半圆弯道组成的半圆式场地．半圆式场地经过长期实践，被国内外公认为是形状最好的一种．标准半圆式田径场第1分道周长400 m，它的半径有不同的设计方案，常用的36 m、、等
活动一：设计跑道 综合实践小组根据学校场地实际，设计了半径为36 m 的标准半圆式田径场，共8条跑道，每条跑道宽，如图 注：计算线是计算跑道周长和各条分道周长的线，第1分道周长的计算线是距离跑道内边的外沿处，其余各条分道的周长计算线是距离实分道线的外沿处． 由以上数据即可计算出直段的长： 第1分道两个弯道的长计算线长为， 一个弯道的长为 第1分道两个直段的长计算线长为， 一个直段的长为 综合实践小组根据以上数据计算出了每个分道的长． 第1分道长：； 第2分道长：； 第3分道长：； ……
任务一 综合实践小组计算出的第8分道长是多少
活动二设计起跑线 若综合实践小组要在上述场地内举办400 m田径比赛，且使终点线在同一直线上，如图2
任务二 相邻的两个跑道起跑线相差多少
活动三设计足球场面积最大的田径场 如图3，是400 m跑道的示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是半圆，综合实践小组想设计一个足球场面积最大的半圆式田径场
任务三 设 请用含x的代数式表示 设矩形ABCD的面积为 ①求出S关于x的函数表达式． ②当直道AB为多少时，矩形ABCD的面积最大
7.本小题8分根据以下素材，探索完成任务．
如何设计遮阳棚
问题背景 为使冬天温暖的阳光射入室内，又能遮挡夏天炎热的阳光，请你为餐馆的窗户设计一个遮阳棚
实验操作 如图1，综合实践小组设计直角形遮阳棚BCD，，窗户AB的高度记为一年中的正午时刻，太阳光线与地平面的最大夹角为，与地平面的最小夹角为其中，经计算得
方案改进 为防止雨水聚积遮阳棚，综合实践小组又把直角形遮阳棚进行升级改造成圆弧形遮阳棚，如图2
反思优化 综合实践小组考虑到当餐馆没有顾客时，能够收缩遮阳棚让更多阳光照进来．经改造设计成以点B为圆心，BD长为半径的伸缩圆弧形遮阳棚BCD，如图3
任务一 如图1，请你证明
任务二 如图3，在圆弧形遮阳棚点M处牵引绳子其中点M是的中点，绳子由图中MN和AN两部分组成，其中，，综合实践小组已经购买5 m长的绳子，问绳长是否足够？请说明理由
8.本小题8分项目式学习
问题背景 宽与长比为的矩形叫“黄金矩形”，建于公元前432年的古希腊帕特农神庙就是这种矩形．在学习完《比例线段》后，两个兴趣小组开启了黄金矩形探究之旅，探究如何在宽AB为定值，足够长的矩形纸片中折出黄金矩形
活动探究 小组一： 步骤1：如图1，将纸片折叠，使得AB与AD重合，折痕为AC； 步骤2：如图2，将纸片折叠，使得AB与CD重合，折痕为EF； 步骤3：如图3，先折出折痕DF，再将纸片沿着FK折叠，使得FD的对应边FG落在直线BC上； 步骤4：如图4，过点G沿着GH折出矩形 在图3中，①连接BD，则________ ②连接DG交FK于点求证： 请写出图4中的黄金矩形：________________________
活动探究 小组二： 我们小组的折叠步骤1，步骤2和第一小组相同，接下来的过程不同； 步骤3：如图5，将纸片沿着EJ折叠，使得点A对应点G落在EB上； 步骤4：如图6，将纸片沿着BM折叠，点G对应点H落在AB上，过点H沿着HP折叠，折出矩形 请写出图6中的黄金矩形：________________
9.本小题8分山西省首座独塔悬索桥——通达桥，全长，主桥横跨汾河，全长416 m，宽45 m，是太原新建成的一座跨河大桥，桥的主塔由曲线形拱门组成，取意“时代之门”．某数学“综合与实践”小组把“测量通达桥拱门的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：
项目 测量通达桥拱门的高度
测量示意图及说明 说明：他们利用无人机技术进行测量，AB代表通达桥拱门，C，D是两个观测点，已知，，点A，B，C，D在同一平面内，BM为桥面
测量数据 点C处的仰角 点D处的俯角 观测点C距桥面的高度 点D，C之间的距离
50 m 200 m
… …
任务一：请运用你所学的知识，根据表中的测量数据，帮助“综合与实践”小组求出通达桥拱门的高度AB；结果保留整数，参考数据：，
任务二：请你根据所学的知识，再设计一种方案，画出示意图，并写出需要测量的量．
10.本小题8分为测量水平操场上旗杆的高度，九班各学习小组运用了多种测量方法．
如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE，此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为，据此可得旗杆的高度为 m；
如图2，小李站在场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A，小组同学测得小李的眼睛距地面的高度，小李到镜面的距离，镜面到旗杆的距离求旗杆的高度；
小王所在小组采用如图3所示的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高．研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了某广场上的雕塑的高度，方法如下：
①如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上；
②如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面；
③如图6，在该广场上的点E处，同学们用注水管确定与雕塑底部点B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线的交点C，测得标高，将观测点D向后移24 m到点处，采用同样的方法，测得，
求雕塑的高度．结果精确到
11.本小题8分根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉喷头的升降方案？
素材1 如图1，某景观公园内人工湖里有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为x m，到湖面的垂直高度为当喷头位于起始位置时，测量得x与y的四组数据如下： 0234121
素材2 公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图2，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于已知游船顶棚宽度为，顶棚到湖面的高度为2 m
问题解决
任务1 确定喷泉形状 结合素材1，求y关于x的表达式
任务2 探究喷头升降方案 为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值
12.本小题8分根据背景素材，探索解决问题．
设计“美丽”的字母
背景素材 某校“奇思妙想科技节”成果汇报会需要做横幅，上面有字母J，如图①．
如何设计出“美丽”的字母J？某小组通过查找资料认为等线体字符合科技成果报告会等较为严肃的场合，而且字体宜粗不宜细．因此需要设计如图②“美丽”的字母J，其中G是PQ的黄金分割点即，点D是OC的黄金分割点即
问题解决
任务1 计算比值 请你计算内半圆半径OD与外半圆半径OC的比值．
任务2 通过折叠确定点G的位置 如图③，对折正方形HKQP得到折痕MN，将HP折叠到HN上，点P的对应点为，得到折痕求证：点G是PQ的黄金分割点． 为了解决这个问题，小明将HG，KQ延长交于点T，如图④，根据折叠得到，HG平分，易证，通过证明∽，得到线段间比例关系即可求解．请你按照小明的思路完成证明过程．
任务3 通过尺规作图确定内半圆 在上述任务的基础上，已完成字母J的外半圆和边BC，请你在下图中作出内半圆．要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
13.本小题8分
综合与实践
[项目式学习]探索凸透镜成像的奥秘
[项目背景]某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
[项目素材]
素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折
射后光线经过焦点．
素材二：设物距为u，像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中发现了物距u，像距v和焦距f之间在成实像时存在着一定的数量关系．
【项目任务】根据项目素材解决问题：
小明取物距，然后画出光路图如图①，其中AB为物体，O为凸透镜MN的光心，入射光线主光轴即图中的点斜线，折射光线经过焦点为AB所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成 填“放大”或“缩小”或“等大”的倒立实像；
小明取物距当时，，物体经凸透镜折射后成倒立，等大的实像，请在图②中用三角形全等的知识解释；
小明取物距，探究一般情况下物距u，像距v和焦距f之间在成实像时存在的数量关系．如图③，AB为物体，O为凸透镜MN的光心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点为AB所成的像，主光轴，主光轴．焦距，物距，像距求证：；
14.本小题8分【项目式学习】
项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？
项目背景：
任务一：确定滑道的形状
图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图，AC垂直于水平底面BC，点D到点A之间的滑道呈抛物线型，已知，，且点B处于跳台滑道的最低处．在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．
任务二：确定运动员到达最高点的位置
如图2，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件：
①运动员滑出路径与点D，A之间的抛物线形状相同；
②该运动员在底面BC上方竖直距离处到达最高点P；
③落点Q在底面BC下方竖直距离处．
在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离．
任务三：确定拍摄俯角
高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图3，有一台摄像机M进行跟踪拍摄：
①它与点B位于同一高度，且与点B距离；
②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为；
③在平面直角坐标系中，设射线MN的解析式为，其比例系数k和俯角的函数关系如图4所示．若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少为多少度？精确到个位
15.本小题8分【项目式学习】
【项目主题】绿波畅行，高效出行
【项目背景】绿波带是通过科学设置交通信号灯配时与车辆行驶速度，使车辆连续通过多个绿灯的交通优化方案.如图1，某城市计划在两个相距500米的直线型路口实施绿波带，绿波控制系统设定：车辆在第一个路口绿灯亮起后出发，第二个绿灯在10秒后亮起，绿灯时间为30秒，为保证安全，该路段限速即为确保车辆能连续通过第二个路口的绿灯车身长忽略不计，某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动.任务一查阅资料
经过查阅相关资料，可知汽车在匀加减速直线运动过程中，行驶的速度v与行驶时间t满足一次函数关系：，其中为初始速度，a为加速度，当汽车加速行驶时a的值为正数，当汽车减速行驶时a的值为负数；行驶的路程s与行驶时间t满足二次函数关系：
如图2，假设当车辆从第一个绿灯亮起时出发，先进行匀加速直线运动，4秒时间加速到速度为后，进行匀速直线运动，为确保经过路口的安全性，在接近第二个红绿灯时进行匀减速直线运动，2秒时间减速到速度为时恰好到达第二个路口.
任务二数学计算
当时，汽车在加速行驶过程中的加速度为____，在减速行驶过程中的加速度为____；
判断当时，汽车是否能够连续通过第二个绿灯？
任务三方案设计
求出汽车在加速行驶与减速行驶过程中，行驶的路程s与行驶时间t分别满足的二次函数关系式用含的式子表示，不用写自变量的取值范围，并直接写出要连续通过第二个绿灯，则
的取值范围为______.
16.本小题8分【项目式学习】
项目主题：建筑学中“拱”的建造及装饰
项目背景：拱结构由于其美观且坚固的特点，在古代建筑中得到了广泛的应用，并在现代建筑中也有不少应用.目前已知对拱最早的使用是公元前2000年美索不达米亚地区的砖拱，公园前200年两河流域现在伊拉克中部王朝的近似抛物线型砖拱已经横跨近28米、高40米了如图注：抛物线拱，就是由截面均为抛物线形状弧构成的拱
项目素材：
素材1：某地在进行景观改造过程中模拟建设了一座与Sasanian王朝的砖拱同样跨度即图中的地面米和高度最高点离地面40米的抛物线拱图为其中一处抛物线拱截面在图的抛物线拱截面距离地面20米高的墙面上安装有一根用于灯光布置的横梁
素材2：图为另一处抛物线拱截面.景点要求工人师傅在抛物线拱上做一个正方形装饰品，要求C，D两点在抛物线上在D的左侧，P是抛物线的顶点，且PQ与地面垂直.
素材3：如图，景点管理公司利用素材1中的横梁GH安装了一个半径为8米的圆形灯光饰品，后来为了美观，公司要求安装灯光的师傅将圆形灯光饰品改装成月牙形的灯光饰品，安装师傅于是将原圆形灯光饰品的一段劣弧EN沿一条直线翻折，EMN交GH于点
项目任务：
任务1：素材1中横梁GH的长度是多少米？结果若有根号则保留根号
任务2；素材2中工人师傅的安装计划若能实现，那么点C距离地面的高度是______米.
任务3：在素材3中，经测量发现，请直接写出两月牙尖的距离.
17.本小题8分项目式学习
问题情境
新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”.如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究.
研究步骤
如图2是该超级充电站的截面图，OA是安装充电桩的墙面，AB是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.已知，点B为AB所在抛物线的最高点，其坐标为
求AB所在抛物线的函数表达式.
问题解决
如图2，点C是AB上干粉灭火器的安装点，CD是长度为41cm的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点.已知干粉喷射点D距离地面3m时，对地面的保护半径为对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域.安装点C可根据需要在AB所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同.
若干粉喷射点D距地面的高度恰好为3m时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点？请说明理由.
若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙OA的交点为，请直接写出点D的横坐标.
18.本小题8分【项目式学习】投石器是中国古代的攻城利器，某学校科学创新小组同学想研究投石器的投石原理与投石性能.开展了以下项目化学习研究：制作了一个简易投石器，如图1，然后进行如下操作：科学创新小组精心画出了投石器的示意图，如图2，并将投石竿点A端拉至水平地面处，放手后投石竿CA绕支点C旋转，从点A处把石头甩出.石头的运动轨迹是抛物线的一部分，以水平地面为x轴，以A到竖直方向的OA为y轴建立平面直角坐标系，如图
如图2，若，，，求OA的高度；
其中：，，
在实验过程中，创新小组测得抛物线顶点P的坐标为，请根据数据，求出石头的运动轨迹抛物线的解析式；
创新小组在点O的正前方设置了一个长为10cm，前档板GM高为7cm，后档板HN高为的目标箱其中GM、HN均垂直x轴若要使投出的石头一定能投入该目标箱，请求出目标箱放置时OM的范围假定当石头碰到在点G与点H处时石头一定能投入该目标箱
19.本小题8分某数学兴趣小组，开展项目式学习，问题如下：
如图，抛物线与x轴正半轴分别交于A、B两点点B在点A的右边，与y轴交于点C，点P为抛物线上位于第一象限内的一动点在B的右侧，过点A、P的直线交y轴于点M，过点B、P的直线交y轴于点N，连接BM、BC、AC，试探究CM、CN、OA、OB之间的数量关系．为研究该问题，小组拟采用问题研究的一般路径一一从特殊到一般的研究方法：
设，，
①若点P的横坐标为3，请计算；比较大小：填“<”，“>”或“=”
②若点P的横坐标为m，上述与之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
小明在研究时发现：当A、B两点的横坐标为，时，将抛物线变形为，研究此问题更加方便，请借助小明的发现验证你的猜想．
请利用上述经验，解决项目式问题，若，请直接写出k的取值范围．
20.本小题8分项目主题：某小区更换陈旧围栏，面向全体业主征集围栏设计方案.
项目实施：家住该小区的格格和走走积极合作参与，如图1是给出围栏设计方案的上面一部分：
①是等腰三角形，且，，垂足为O；
②围栏上部由两段形状相同的抛物线AB和AC组成，且抛物线AB和AC关于直线AO对称；
③米，米；
④根据她们的设计方案，以BC所在直线为x轴，AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线AB的函数表达式为
问题解决：
求抛物线AC的函数表达式；
小区业主委员会进行综合评审时，对格格和走走同学的创意设计给予充分肯定，并建议在抛物线和等腰三角形的腰之间加装如图2所示的三根安全杆，其中，，若想加装三根安全杆的长度总和最长，需要多少米的原料？
21.本小题8分【项目式学习】
项目主题：安全用电，防患未然．
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约的火灾都在充电时发生．某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
任务一：调查分析
图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径AB为米，喷嘴O距离地面的高度OC为 米；
任务二：模型构建
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．
如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形OABC，创新小组以点O为坐标原点，墙面OA所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米．
①求该水柱外层所在抛物线的函数表达式；
②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径OE为________米；
任务三：问题解决已知充电车棚宽度OC为7米，电动车电池的离地高度为米．创新小组想在喷淋头M的同一水平线AB上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少 米．
22.本小题8分2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章.某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图①.
【问题提出】
部件主视图如图②所示，由于l的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求.
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法.
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱圆柱
操作步骤：如图③，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合.示意图如图④，分别与AC，AD相切于点B，用游标卡尺测量出的长度
【问题解决】
已知，l的长度要求是
求的度数.
已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求参考数据：
【结果反思】本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗 如果能，写出一个;如果不能，说明理由.
23.本小题8分
【问题情境】
如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转如图，这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略．
【操作实践】
如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a，b，c，d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系．
【探究应用】
如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长．
如图6，在中，，点D，E分别在边AC和BC上，连接DE，AE，若，，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】；
；
；
【归纳与证明】规律：，证明见解析．
【解析】【项目研究的过程】由题干中所给式子可得：，
故答案为：；
由题意可得b个位上的数为：，
故答案为：；
由题意可得：数d可以表示为，
故答案为：；
【归纳与证明】规律：，
证明：左边
右边，
原等式成立．
【项目研究的过程】根据题干中所给式子得出规律即可；
根据题意列出代数式即可；
根据题意列出代数式即可；
【归纳与证明】得出规律，根据整式的运算法则证明即可．
本题考查了整式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键．
2.【答案】【小题1】
解：当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为
【小题2】
当时，设弹簧测力计A的示数关于x的
函数解析式为将和分别代入，得
解得
当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为
【小题3】
，

【解析】 略
略

根据图象，知圆柱体小铝块所受重力为
在中，
当时，，
，
当时，
设弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为
将，分别代入，得
解得
当时，
弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为
当时，，
解得，，
3.【答案】解：如下图所示，
作于E，于F，则四边形AEFC为矩形，
，
在中，，，
，，，
，，
，，
在中，，，
，
，
，
即养鱼场长度AB约为

【解析】本题主要考查了解直角三角形，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数找边和角的关系．作于E，于F，则四边形AEFC为矩形，构造矩形和直角三角形，根据锐角三角函数可得，，从而可知，在中，根据，可得：，所以可得养鱼场长度AB约为
4.【答案】解：方案一：如图，过点C作交EF于点Q，交AB于点H，
易证四边形CDFQ、四边形CDBH都是矩形，， ，∽， 即， 解得旗杆AB的高度为
方案二：依题意，得，∽， 即， 解得旗杆AB的高度为

【解析】略
5.【答案】解：任务二，计算实际高度，依题意，四边形EBDC为矩形，，，在中，，，，，答：该城市规划展览馆AB的高度约为77 m 任务三，换算模型高度，设3D打即模型的高度为x m，，解得，，打即模型的高度约为19 cm，故答案为：19
【解析】略
6.【答案】解：第8分道长为
解：
即第2跑道与第1跑道起跑线相差约7 m，后续相邻的两个跑道起跑线相差约
解：由题意，得，
解：①四边形ABCD是矩形，
②由①，可知当时，S最大．
当直道AB为100 m时，矩形ABCD的面积最大．

【解析】略
7.【答案】任务一：证明：，
，
在中，，
在中，，
任务二：解：绳长足够，理由如下：
连接BM，设AD与BE交于点G，如解图所示．
，
，，
，

点M是的中点，，
，，
，
，故绳长足够．

【解析】略
8.【答案】 四边形DCGH和四边形ABGH
四边形HBCP
证明：由折叠，可知FK垂直平分DG，即，
，，，
≌
四边形DFGK为菱形．
易证∽，
，即
，，

【解析】略
9.【答案】【小题1】
解：任务一：如图1，延长DC交BM于点N，过点A作于点P，
，， 四边形APNB为矩形． 依题意，得， ， ，， 在中， ， 在中， ，，
， 答：通达桥拱门的高度AB约为
【小题2】
任务二：测量方案如图2所示，需要测量的量有的度数，的度数，点D，C之间的距离．答案不唯一

【解析】 略
略
10.【答案】【小题1】
【小题2】
依题意，得， 又，∽，即， 解得 答：旗杆的高度为
【小题3】
设， ，∽，即， ，∽， 即， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：雕塑的高度约为

【解析】 略
略
略
11.【答案】解：任务1：分析表格数据，可得该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，设该抛物线的解析式为，将点代入，得，则，该抛物线的解析式为
任务2：设调节后的水管喷出抛物线的解析式为，由题意，当时，，，解得，喷头至少向上调节米，米答：喷头距离湖面高度的最小值为米．

【解析】略
12.【答案】解：任务1：设，， 由题得， 则， 化简得， 则，，解得或舍去， 即；
任务2：证明：如题图④， 设正方形的边长为单位1，在中，，，平分， 又，，，，∽，，， 解得，即点G是PQ的黄金分割点； 其他解法亦可，例如通过勾股计算等均可，解法多样
任务3：作出内半圆如图．

【解析】略
13.【答案】【小题1】
放大
【小题2】
证明：，
，即
主光轴，主光轴，
在和中，
≌，
，
物高等于像高，即物体经凸透镜折射后成倒立，等大的实像．
【小题3】
证明：如图，设
与主光轴平行，
，
，即，
整理得：①
主光轴，主光轴，
又，
，
，即②

把②代入①得：，
整理得：

【解析】
本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，全等三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据题意证明，，得到，继而得到，即可得到答案；
【详解】解：由图①可知，，，
，，
，，
即，，
，
，即，
，
，
，
物体经凸透镜折射后成放大的倒立实像，
故答案为：放大；

证明≌即可得到结论；

证明，得到，证明得到，即可得到结论．
14.【答案】【小题1】
解：如图2，以点B为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则点A的坐标为 设滑道所在抛物线的函数表达式为 把代入，得 ，解得滑道所在抛物线的函数表达式为
【小题2】
如图2，运动员滑出路径与点D，A之间的抛物线形状相同， 设运动员滑出路径的抛物线的函数表达式为 把代入，得 ， 解得舍去或，运动员到达最高处时与点A的水平距离为
【小题3】
如图3，建立如图所示的平面直角坐标系，
由得，运动员滑出后的路径的抛物线的函数表达式为 把代入，得 ， 解得舍去，， 设MN的函数表达式为 把， 代入，得 解得 由图4可知，当时， ，俯角至少为

【解析】 略
略
略
15.【答案】；
汽车可以连续通过第二个绿灯．
加速阶段：；减速阶段：；
【解析】当时，，
汽车在加速行驶过程中的加速度为；
由题可知在减速行驶过程中的加速度为；
故答案为：；
法1：在加速阶段，，时，
，
在减速阶段，，，时，
，
，
，
汽车可以连续通过第二个绿灯．
法2：匀速行驶的最大时间为秒，
由，
汽车可以连续通过第二个绿灯．
在加速阶段，，则，
，
在减速阶段，，则，
，
在加速阶段，当时，，
在减速阶段，当时，，
，
，
故答案为：
由题意结合图2很容易得解；
分别在加速阶段和减速阶段计算s，进而得到时间，分析求解即可；
由题易知在加速阶段，进而代入即可得解，在减速阶段，进而代入求解．
本题主要考查了函数关系式、二次函数的实际应用等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：任务1：如图建立直角坐标系：则，，，
设抛物线的解析式为：，
，
解得：，
，
令，则有，
解得：，
，，
米；
任务2：如图连接CD交y轴于E，
由题意可得：，
设，则，，
抛物线解析式为，
，解得：或舍弃，
，
点C距离地面的高度是米，
故答案为；
任务3：如图：设圆的圆心为O，连接EN，FN，ON，作于，
，，
，
半径为8米的圆形灯光饰品，
为圆O的直径，
，
，所对的圆周角相等，即等于，
，
，
，
，
，，
，
，
米
建立直角坐标系，，，，求出函数解析式，从而得出G，H坐标，得出GH长度；
将C点坐标代入函数解析式中，求出结果，即可得到点C距离地面的高度；
利用勾股定理进行求解．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的实际应用，圆的有关概念和性质，有关圆的计算等，掌握二次函数的性质是解题的关键．
17.【答案】； 不能覆盖着火点，理由见解析； 点D的横坐标为
【解析】解：由题意，AB所在抛物线的顶点坐标为，
设AB所在抛物线的解析式为，
将点代入得，
解得，
所在抛物线的解析式为，即；
不能覆盖着火点，理由如下，
由题意得，，，
对于，
令，则，
解得舍去或，
点，
点，
设此时抛物线的解析式为，
对地面的保护半径为2m，
此抛物线与x轴的两个交点为和，即和，
将代入得，
解得，
抛物线的解析式为，
令，则，
点在抛物线与x轴形成的区域的外侧，不能覆盖着火点；
点C在AB所在抛物线上滑动，
设点，
点，即，
点D的移动中，点D的喷出的干粉形成的抛物线形状与点C的喷出的干粉形成的抛物线形状相同，
设此时抛物线的解析式为，
将代入得，
整理得，
，
舍去负值，
，
点D的横坐标为
根据题意设AB所在抛物线的解析式为，将点代入求解即可；
由题意得，，，求得点，点，设此时抛物线的解析式为，利用待定系数法求得抛物线的解析式为，据此求解即可；
设点，则点，设此时抛物线的解析式为，将代入即可求得，据此求解即可．
本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并会利用数形结合思想解答．
18.【答案】55cm；
；

【解析】由题意得：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
答：OA的高度为55cm；
设抛物线的解析式为，
过点，
，
解得：，
石头的运动轨迹抛物线的解析式为：；
当时，代入解析式可得，
解得，
当时，代入解析式可得，
解得，
利用含和角的直角三角形的边角关系，通过相关线段相加求出OA的高度；根据抛物线顶点坐标设出顶点式，代入已知点坐标求出系数，确定解析式；
将挡板高度代入抛物线解析式求出对应横坐标，结合箱长确定OM的范围．
本题结合投石器情景，考查三角函数，解直角三角形．
19.【答案】【小题1】
①由题意得，抛物线的表达式为：，
当时，，即点，
令，则或2，
即点A、B的坐标分别为：、，
设点，
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：，则点M的坐标为：，
同理可得，点，
则，，
即，，
故答案为：，=；
②与之间的数量关系仍然成立，理由如下：
设点，
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：，
则点M的坐标为：，
同理可得，点，
则，，
即，；
即；
【小题2】
；理由如下：
设点，
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：，
则点M的坐标为：，
同理可得，点，
则，，
即；
【小题3】
，
设，
则，
，
故答案为：

【解析】
本题考查了二次函数的图像和性质，一次函数的解析式和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先写出抛物线的表达式，得出点A、B的坐标，继而得出直线AP的表达式，则，，即可求解；

求出点M、N的坐标，即可求解；

由求解即可．
20.【答案】； 加装三根安全杆的长度总和最长，需要米的原料．
【解析】，，
，，，
抛物线AB的函数表达式为，
，
解得：，
抛物线AB的函数表达式为，
抛物线AB和AC关于y轴对称，
抛物线AC的函数表达式为；
，
，
，，
，，，
，
，
点E和点F关于y轴对称，
设点E的横坐标为a，则点F的横坐标为，
，
设直线AB的解析式为，
则，
解得：，
直线AB的解析式为，
同理可得直线AC的解析式为，
，，
，，且点D、G分别在抛物线AC、AB上，
，
，，
，
，
当时，有最大值为，
加装三根安全杆的长度总和最长，需要米的原料．
先利用待定系数法求出抛物线AB的函数表达式，再根据抛物线AB和AC关于y轴对称，即可求解抛物线AC的函数表达式；
先得出点E和点F关于y轴对称，进而设点E的横坐标为a，点F的横坐标为，则，再求出直线AB和AC的解析式，得到点E、F的坐标，根据点D、G的坐标，得出DE、GF的长，再根据二次函数的性质求最值即可．
本题主要考查了二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，二次函数的对称，求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．
21.【答案】【小题1】
3
【小题2】
①由题意，得点为抛物线的顶点坐标，
设抛物线的表达式为
经过点，，解得，
该水柱外层所在抛物线的函数表达式为
②
【小题3】

【解析】
解：，，，AB为米，
，，米．
米．故答案为

②当时，，即，
解得，不合题意，舍去，
故答案为

由题意，得喷淋头N在喷淋头M右边，设距离喷淋头M有b米．
水柱外层所在抛物线的函数表达式为
经过点，，
即，，
超过7米，舍去，
故答案为
22.【答案】【小题1】
解：分别与AC，AD相切于点B，D，
钢柱的底面圆半径为1cm，
与AC相切于点B，
由知，，
同理可得，
，
该部件l的长度符合要求.
【小题2】
能，将圆柱换成正方体.

【解析】 略
略
23.【答案】
解：
解：将绕点P逆时针旋转，点D在以点P为圆心，PD长为半径的圆上运动，如解图2所示．
为圆外一个定点，当AD与相切时，最大．
由，可得，，，
解：将沿BC对折，D的对应点为，将沿AC对折，E的对应点为，连接，如解图3所示，则，
再将沿AC方向平移，使点A与点重合，得，连接，如解图4所示．
易得，
当，，B三点共线时，最短，最短为
，，
，
的最小值为

【解析】【提示】过点P作AD的平行线，分别交AB，CD于点E，F，如解图1所示，则，，，根据勾股定理，可得，，即①，②．①-②，得，即

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