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矩形的判定专项训练（1)
夯实基础，稳扎稳打
1．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＝90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
.如图，C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形。(1)求证：四边形ACED是平行四边形
(2)若AB=AE,求证:四边形ACED是矩形。
3．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，点D是边BC的中点，AE是外角∠FAC的平分线，过点C作CE⊥AE，垂足为E．求证：四边形ADCE是矩形；
,
4.如图，在 ABCD中，E，F为边BC上的两点，且BE=CF，AF=DE，
求证：(1)△ABF≌△DCE。(2)四边形ABCD是矩形。
连续递推，豁然开朗
5．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC，BE．（1）求证：(1)四边形ABEC是平行四边形；（2）当△ADE满足什么条件时，四边形ABEC是矩形，请说明理由．
6.如图,在 中，O是边AC上一个动点，过点O作直线. 设MN交 的平分线于点E，交 的外角平分线于点F。
(1)求证:OE=OF(2)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形 请说明理由。
矩形的判定专项训练（2)
夯实基础，稳扎稳打
1.如图，在 ABCD中，∠ACB=90°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连结AE，交CD于点F。求证：四边形ACED是矩形。
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为BC、AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接AD、AF、CF，求证：四边形ADCF为矩形．
3.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD交于点O,OM⊥BC于点M,且BM=CM。求证: ABCD是矩形。
4.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，BE=CF。求证：(1)△BOE≌△COF (2) ABCD是矩形。
连续递推，豁然开朗
5.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点。(1)求证：BE=DF(2)设=k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？说明理由。
6．已知：如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点G、H分别是AD、BC的中点，点E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当AB与BD满足什么条件时，四边形GEHF是矩形．
矩形的性质专项训练（1)
夯实基础，稳扎稳打
1．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E在边AD上，若CE平分∠BED，求AE的长
2．在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，OA＝9，求BE的长
3．如图，矩形中，，，R是的中点，P是上的动点，E、F分别是、的中点，求线段的长．
4．如图，点E在矩形ABCD边BC的延长线上，连接AC，DE，BE＝AC，若∠E＝70°，求∠ACB度数
连续递推，豁然开朗
5．如图，矩形ABCD的边，，，E为AB上一点，且，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，，连接CG，求CG的最小值
矩形的性质专项训练（2)
夯实基础，稳扎稳打
1．矩形ABCD中，AB＝6cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，求BD长
2．如图，在矩形ABCD中，O，E分别为AC，BC的中点．OE＝3，OD＝5，求BC的长
3．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，已知AB＝5，△DOE的面积为，求DE的长
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线的交点O作EF⊥AC，交AD于点E，交BC于点F，求AE的长
连续递推，豁然开朗
5．在长方形ABCD中，AB=4，BC=3，CE=2BE，EF=2，连接AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，如图所示，求线段PE的最小值.
参考答案---矩形的判定专项训练（1)
1.证明：∵AO＝CO，BO＝DO∴四边形ABCD是平行四边形∵∠ABC＝90°∴平行四边形ABCD是矩形；
2.(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC。
∵C是BE的中点,∴BC=CE。∴AD=CE。∵AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形。
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC。∵AB=AE,∴DC=AE。
∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形。
3.（1）证明：∵AB＝AC，点D是边BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∵AE是∠FAC的平分线，∴∠FAE＝∠CAE，∵∠BAD+∠CAD+∠FAE+∠CAE＝180°，
∴∠CAD+∠CAE＝×180°＝90°，即∠DAE＝90°，
∵CE⊥AE，∴∠ADC＝∠AEC＝∠DAE＝90°，∴四边形ADCE是矩形；
4.证明：(1)∵BE=CF，BF=BE＋EF，CE=CF＋EF，∴BF=CE。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC。∵∴△ABF≌△DCE(SSS)。
(2)∵△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C。∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠B＋∠C=180°，∴∠B=∠C=90°，∴ ABCD是矩形。
5.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，
∵CE＝CD，∴AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABEC是平行四边形；
（2）解：当AE＝AD，四边形ABEC是矩形，理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，
∵AE＝AD，∴AE＝BC，由（1）知：四边形ABEC是平行四边形，∴四边形ABEC是矩形．
6.(1)∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点 F,∴∠2=∠5,∠4=∠6。∵MN∥BC,∴∠1=∠5,∠3=∠6。∴∠1=∠2,∠3=∠4。∴EO=CO,FO=CO。∴OE=OF。
(2)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。理由如下：
当O为AC的中点时,AO=CO。∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形。∵∠ECF=90°,∴ AECF是矩形。
参考答案----矩形的判定专项训练（2)
1.解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，∴AD∥BE。
∵∠ACB=90°∴∠ACE=90°，∠CAD=90°∵DE⊥BC即∠CED=90°，∴四边形ACED是矩形。
2.证明：∵点D、E分别为BC、AC中点，∴AE＝EC，BD＝DC，∵EF＝DE，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴ ADCF是矩形．
3.证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD。又∵OM⊥BC,BM=CM,∴OB=OC。
∴AC=BD。∴ ABCD是矩形
4..解：(1)∵BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，∴∠BEO=∠CFO=90°。
又∵∠BOE=∠COF，BE=CF，∴△BOE≌△COF(AAS)，∴OB=OC。
(2)∵△BOE≌△COF(AAS)，∴OB=OC∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，∴OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴ ABCD是矩形。
5.解：(1)如答图，连结DE，BF。∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，AO=OC。
∵E，F分别为AO，OC的中点，∴EO=OA，OF=OC，∴EO=FO。
又∵BO=OD，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE=DF。
(2)当k=2时，四边形DEBF是矩形。理由如下：
由(1)知，四边形BFDE是平行四边形，∴当BD=EF时， DEBF是矩形。
∵OE=OA，OF=OC∴EF=AC∴当BD=AC即k=2时，四边形DEBF是矩形。
6.（1）证明：∵G，F分别为AD，DO的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF＝OA，
同理可得：EH∥OC，EH＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，
∴EH∥GF，EH＝GF，∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）解：当BD＝2AB时，四边形GEHF是矩形．理由：如图，连接GH，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，
∵G，H分别是AD，BC的中点，∴AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，
∴AB＝GH，∵E，F分别是BO，DO的中点，∴BE＝OE＝OF＝DF，∴BD＝2EF，
∵BD＝2AB，∴EF＝AB，∴GH＝EF，∴平行四边形GEHF是矩形．
参考答案---矩形的性质专项训练（1)
1.解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∴∠CED＝∠BCE，
∵CE平分∠BED，∴∠CED＝∠BEC，∴∠BCE＝∠BEC，∴BE＝BC＝4，
在Rt△BAE中，由勾股定理得：AE＝＝＝2，
2.解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD∴∠BAE＝∠EAD＝45°AD∥BC，OA＝OB＝6，
∴∠AEB＝∠EAD＝45°，∴BE＝BA．
∵∠CAE＝15°，∠BAE＝45°，∴∠BAC＝60°，
又∵OA＝OB，∴△OAB为等边三角形，∴BO＝BA＝9，∴BO＝BE＝9．
3.解：如图，连接，∵矩形 ABCD 中， AB = 10 ， AD = 12 ∴ CD = 10，∠ D = 90°
∵ R 为 DC 中点∴ DR =CD = 5在 Rt△ ADR 中： AR = == 13
E 、 F 分别为 AP 、 RP 中点∴ EF 为 △ PAR 中位线∴ EF =AR =
4.解：连接BD，如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC．
∵BE＝AC，∴BD＝BE．∴△BDE是等腰三角形．
∵∠E＝70°，∴∠BDE＝70°，∴∠DBE＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴∠ACB＝∠DBE＝40°，
5.解：如图，过点G作MN∥AB，过点G作GH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠EHG=90°，∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵是等腰直角三角形，∴∠FEG=90°，EF=EG，∴∠AEF+∠GEH=90°，∴∠AFE=∠GEH，
在和中，，∴∵AE=1∴HG=AE=1，AF=EH，
∴G点的轨迹在平行于AB且与AB距离为1的直线MN上∴当点F与点D重合，CG取得最小值，
∵BC=3，四边形ABCD是矩形，∴AF=EH=AD=BC=3，∵，
∴，
参考答案---矩形的性质专项训练（2)
1.解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，CD＝AB＝6cm，
∴OA＝OD＝OC，∵DE⊥AC，AE＝3CE，∴OE＝CE，∠DEA＝90°，∴OD＝CD，
∴OC＝OD＝CD＝6cm，∴BD＝2OD＝12cm，
2.解：在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，
∵O，E分别为AC，BC的中点，∴AC＝2OD，AB＝2OE，
∵OE＝3，OD＝5，∴AB＝6，AC＝10，∴BC＝＝8，
3.解：连接BE，∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，∴∠BAD＝90°，OB＝OD，∵OE⊥BD，∴OE垂直平分BD，S△BOE＝OB OE＝OD OE＝S△DOE＝，
∴S△BDE＝S△BOE+S△DOE＝15，∵AB⊥DE，AB＝5，∴×5DE＝S△BDE＝15，∴DE＝6，
4.解：连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，OA＝OC，
∵EF⊥BD，∴EF是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，设AE＝CE＝x，则DE＝AD﹣AE＝5﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2＝32+（5﹣x）2，解得：x＝，即AE＝．
5.如图，连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG=AE，连接PG，GE
.
∵将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，∴AF=AP，∠PAF=90°，
∴∠FAE+∠PAE=∠PAE+∠PAG=90°，∴∠FAE=∠PAG.
在△AEF和△AGP中∴△AEF≌△AGP(SAS)，∴PG=EF=2，
∵BC=3，CE=2BE，∴BE=1.在Rt△ABE中，由勾股定理得
∵AG=AE，∠GAE=90°，∴GE=AE=
在△GPE中，PE>GE-PG，当G，P，E共线时，PE=GE-PG，∴PE的最小值为

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