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安徽池州市2025-2026学年高二下学期4月期中质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
2.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法一定正确的是( )
A. 函数在处取得极大值
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数有两个零点
D. 当时，函数的最大值是
3.记为等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数在处有极小值，则( )
A. B. C. 或 D. 或
5.有个座位连成一排，现有人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为( )
A. B. C. D.
6.我国国旗的标准尺寸有五种通用规格用“长宽”表示，其中长与宽之比均为．
规格 一号 二号 三号 四号 五号
尺寸单位：
根据上表，可以判断五种规格国旗的( )
A. 周长构成等差数列 B. 周长构成等比数列 C. 面积构成等差数列 D. 面积构成等比数列
7.现将数列、立体几何、解析几何、导数、概率与统计这五道解答题排序，数列必须在第一道或者第二道位置，解析几何不能在第一道，则不同的题目分配方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.若实数，满足，下列说法正确的是( )
A. 存在最小值 B. 存在最大值 C. 存在最小值 D. 存在最大值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，且第项与第项的二项式系数相等，则下列说法正确的有( )
A. B.
C. D.
11.已知数列，给出以下定义：对于任意，都有，则称数列为“友好数列”，下列说法正确的有( )
A. 若数列满足，且前项和为，则数列为“友好数列”
B. 若数列满足，，且数列为“友好数列”，则
C. 若数列为“友好数列”，且，则数列没有最小项
D. 若数列为“友好数列”，则对于任意，当时，总有成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，则数列的前项和为 ．
13.小唐和小陈去旅游，他们打算从、、、等个景点中各自随机选择个，若他们不同时选择景点，且有且只有两个景点是相同的，则选择方法共有 种．用数字作答
14.已知关于的不等式有且仅有个整数解，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求函数在上的最值；
若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知数列的首项，且满足
求证：数列是等差数列
记，求的前项和．
17.本小题分
用数字，，，，，，组成没有重复数字的数．
求可组成多少个四位数
将中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数
求可组成多少个偶数互不相邻的六位数．
注：结果均用数字作答．
18.本小题分
已知的展开式中，第项与第项的系数之比为．
求的值；
求展开式中二项式系数最大的项；
求展开式中系数最大的项．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若的两个极值点分别为和，且．
求实数的取值范围；
求证：．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，则，
令，则，由得，
时，，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以在上单调递减，
所以在上的最大值为，最小值为．
由题意得，即，
设，即，由，即在上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立．
设，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围为．

16.解：由题意知 ，所以由 ，得 ，
所以 ，又 ，
所以 是首项为，公差为的等差数列，
由得， ，即 ．
，
所以 ，
，
，得 ，
所以 ．

17.解：要组成没有重复数字的四位数，首位千位不能为，需分步骤完成：
确定千位数字：从中选个，有种选择；
确定百位、十位、个位数字：从剩余个数字包含中选个排列，有种方法。
根据分步乘法计数原理，总数为：
将四位数按从小到大排列，先分析首位数字：
首位为的四位数：千位固定为，剩余三位从，，，，，中选个排列，有个，由于，第个数的首位为。
再分析百位数字首位为：
百位为：十位和个位从剩余个数字中选个排列，有个对应第个数；
百位为：同理有个第个数；
百位为：个第个数；
百位为：个第个数；
百位为：个第个数。
此时前个数已用完，第个数为百位为的最小数：千位，百位，剩余十位和个位从，，，，中选最小的个数字排列，即十位、个位，
故该数为。
要组成偶数互不相邻的六位数，需满足：
六位数首位不为；
偶数互不相邻；
数字不重复。
：确定奇偶数字个数奇数有，，共个，偶数有，，，共个。要使偶数互不相邻，需先排奇数，再插偶数。
因个奇数排好后形成个空位，可插入个偶数位数，故需选个偶数从个偶数中。
：分类讨论含与不含
情况：个偶数不含即选，，排个奇数：种；
个空位插个偶数：种；
总数：选奇数只有种，选偶数只有种。
情况：个偶数含即选和个非偶数，有种选法排个奇数：种；
插个偶数含：不能在首位即第一个空位，总插法为种为无限制插法，为在首位的插法；
总数：。
总个数两类情况相加：。
18.解：的展开式的通项为
，
则，
则第项的系数为，第项的系数为．
因为第项与第项的系数之比为所以，解得．
因为所以展开式中二项式系数最大的项为第项，
所以展开式中二项式系数最大项为．
设项为展开式中系数最大的项，且，
则
即所以．
即，解得，
因为所以所以展开式中系数最大的项为．

19.解：当时，，
则的定义域为，则，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
，定义域为．
因为函数有两个极值点，所以是方程的两个正根．
令，则定义域为，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则．
又当时，，当时，，
所以当时，的图象与直线有两个不同的交点，
综上，实数的取值范围为．
由知，，且时，，
又，所以．
令，则，
易得在上单调递增，且，
所以当时，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，则，
又因为，所以，
所以，即．

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