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安徽蚌埠市A层高中2025-2026学年第四次联合教研素质评价
高二数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.物体所受到的重力与其到地心的距离的关系为，则对于的瞬时变化率为( )
A. B. C. D.
2.已知数列满足，若，则为( )
A. B. C. D.
3.为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展应用培训活动现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为，若，则( )
A. B. C. D.
4.的二项展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
5.为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.某体育用品仓库中有个同款篮球，其中一等品有个，二等品有个，三等品有个现从中不放回地随机抽取个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，( )
A. B. C. D.
7.已知张奖券中只有张有奖，甲、乙、丙名同学依次不放回地各随机抽取张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，，，则( )
A. 最大 B. 最大 C. 最大 D.
8.已知函数，若存在，对于任意都有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若随机变量X~B(64,),则X=33时,概率最大
B. 若0< P(C)<1, 0< P(D)<1, 且P()=1-P(D|C), 则C, D相互独立
C. P(A)=,P(A|B)=,P(A|)=,则P(B)的值为
D. 已知P(A)=,P(A)=,P(|)=,则P(|B)=
10.已知函数，则( )
A. ，是增函数
B. ，是奇函数
C. 若有三个不同的零点，，，则
D. 过点且与曲线相切的直线恰有条，则
11.将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数．若始终未出现正面，规定例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.某学校田径队有甲乙等名运动员，现将这人平均均分分成、两组集训，求甲乙两人同在组的概率为 ．
14.作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数若，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等比数列的前项和满足，且，，成等差数列．数列满足：．
求，的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，点在直线上．
求的方程；
过点的直线与相切于点异于点，证明：．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面．
求的长
求三棱锥的体积
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求在处的切线方程
当时，证明
若对任意的不等正数，，总有，求实数的取值范围．
19.本小题分
为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．
从游客中随机抽取人，记这人的合计得分为，求的分布列和数学期望；
从游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求；
从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现分的概率为，求数列的通项公式．
参考答案
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14.
15.解：，，成等差数列，
，解得：，
又，
当时，，得：，
，，；
因为，
当时，，
两式相减得，
则时，；
当时，由得，解得符合该式；
所以，．
由于，
，
所以．

16. 设，由，得，则，
由题知，直线的斜率存在另一条过点的切线为，
设其方程为，即．
由，消去得：．
因为直线与相切，
所以，且，解得，
所以直线的方程为，方程的根为，所以，
所以直线的方程为，即．
又因为点到直线的距离，等于点到轴的距离，
又因为点在内部，所以
17.解：因为平面，、平面，
所以，，
在中，由余弦定理可得，
则，，
在中，由余弦定理可得，
则，，，
在中，由余弦定理可得，
则
，
可得．
由可知，，
则，即，
可得，
在中，，，
则，
，
则．
设点到平面的距离为，
由可得，
解得，
又，
则点到平面的距离，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：当，故且，
故，故切线方程为，即；
证明：的定义域为，
；
当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
故；
要证，只需证，
即证；
设，则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，
又，，故．
解：不妨设，
则由得：，
即，
令，则，故在上单调递增，
在上恒成立，
即，
又，；
设，
则，
由解得：舍或，
当时，；
当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，
由可得，解得：，
的取值范围为．

19.解：由题意得，随机变量 的可能取值为 ，
可得 ， ，
，
所以 的分布列如下表所示：

所以，数学期望为 ；
解：由这 人的合计得分为 分，则其中只有人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，
所以 ， ，
则 ，
由两式相减，可得 ，
所以 ；
解：在随机抽取的若干人的合计得分为 分的基础上再抽取人，
则这些人的合计得分可能为 分或 分，
记“合计得 分”为事件 ，“合计得 分”为事件 ， 与 是对立事件，
因为 ， ，所以 ，即 ，
因为 ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，

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