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菱形的判定专项训练（1)
夯实基础，稳扎稳打
1．四边形的对角线，相交于点O，，，．
求证：四边形是菱形；
如图，的两条对角线，相交于点．，，，
证明：四边形是菱形
3．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接．求证：四边形是菱形．
4.已知的两条对角线相交于点，点是上一点，且．
求证：四边形是菱形．
连续递推 ,豁然开朗
5.如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．
求证：四边形ADCE为菱形．
6．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作 ECFG．（1）证明 (1) ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．
菱形的判定专项训练（2)
夯实基础，稳扎稳打
1．如图，矩形的对角线，相交于点O，．求证：四边形是菱形．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O，求证：四边形ADCE为菱形．
3.证明：如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为菱形
4..如图,在 ABCD中,G为BC边上一点,DG═DC,延长DG交AB的延长线于点E,过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F。求证：四边形AEDF是菱形。
连续递推 ,豁然开朗
5．如图， ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD．（1）求证： ABCD是菱形（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长．
6.如图1,P是线段AB上一点,在AB的同侧作△APC和△BPD,使.PC=PA,PD=PB,
∠APC=∠BPD,连结CD,E,F,G,H分别是AC,AB,BD,CD的中点,顺次连结E,F,G,H。
(1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由。
(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗 说明理由。
(3)如果(2)中的∠APC=∠BPD=90°,其他条件不变,先补全图3,再判断四边形EFGH的形状，不必说明理由。
菱形的性质专项训练（1)
夯实基础，稳扎稳打
1．如图，在菱形中，，，求对角线的长
2． 如图，在菱形ABCD中，，，的度数
3．在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC＝6，BD＝2，求菱形的周长
4．如图，菱形ABCD的周长为20，对角线BD长为8，求AD边上的高CF
连续递推,豁然开朗
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，若AB＝13，BD＝10，求CE的长．
6．如图，菱形和菱形中，，，，点在边上，点在边上，，连接和，，分别是，的中点，的长
菱形的性质专项训练（2)
夯实基础，稳扎稳打
1．已知菱形中，对角线与交于点，，，求该菱形的面积
2．如图，甲按如下步骤作四边形 ABCD：①画∠MAN；②以点 A 为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AM，AN 于点 B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连结BC，CD，BD.若∠A=44°，求∠CBD的度数
3．如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，求四边形CEBD的周长．
4．如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M、N分别是BC、AD的中点，连接AM、CN．若四边形AMCN为菱形，求 ABCD的面积
连续递推,豁然开朗
5．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面积．
6．如图，在菱形的面积为12，点是的中点，点是BE上一点。若的面积为2，求图中阴影部分的面积
参考答案---菱形的判定专项训练（1)
1．证明：∵，∴，
∵，，∴，∴，
∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；
2． 解：∵在中，，，，，
又∵，∴,，即，
∵四边形是平行四边形∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
3．证明：∵点为的中点，且，∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，，∴四边形是菱形；
4．证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，即，∴平行四边形是菱形．
5.【解答】解：四边形AECD是菱形，理由：
∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，∴AE＝BC＝EC，∴平行四边形AECD是菱形．
6．【解答】解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∴DMBD＝5．
方法二：∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC＝6，过M作MH⊥CF于H，
则△MHF是等腰直角三角形，∵△ADF是等腰直角三角形，∴DF＝AD＝8，
∵CF＝CE＝2，∴MH＝FH＝1，∴DM5．
参考答案---菱形的判定专项训练（2)
证明：，四边形是平行四边形．四边形是矩形，，，，四边形是菱形．
2.【解答】证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴平行四边形ADCE为菱形．
3．解：如图，过点作于,过点作于
四边形是平行四边形两张等宽的纸条交叉叠放在一起
四边形是菱形．
4∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠C,AD∥BC,AB∥CD。
∵AF∥ED,∴四边形AEDF是平行四边形。∵AD∥BC,∴∠DGC=∠ADE。
∵DG=DC,∴∠DGC=∠C。∴∠BAD=∠ADE∴AE=DE。∴平行四边形AEDF是菱形。
5.【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC，∴四边形OCED是平行四边形．
∵OE＝CD，∴平行四边形OCED是矩形，∴∠COD＝90°，∴AC⊥BD，∴ ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝4，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，∴OA＝OC＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝＝2，
由（1）可知，四边形OCED是矩形，∴CE＝OD＝2，∠OCE＝90°，
∴AE＝＝＝2，即AE的长为2．
6..(1)四边形EFGH是菱形。(2)成立。理由如下：如图1,连结AD,BC。∵∠APC=∠BPD,
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD,即∠APD=∠CPB。又∵PA=PC,PD=PB,∴△APD≌△CPB。∴AD=CB。
∵E,F,G,H分别是AC,AB,BD,CD的中点,∴EF,FG,GH,EH分别是△ABC,△ABD,△BCD,△ACD的中位线。
∴EF=FG=GH=EH∴四边形EFGH是菱形(3),四边形EFGH是正方形。
参考答案---菱形的性质专项训练（1)
1．解∵四边形是菱形∴，∵，∴是等边三角形，∴
2．解：∵ABCD为菱形∴∠ABD=∠ABC=40°∵BA=BE∴∠BAE
3,解：∵四边形ABCD为菱形，AC＝6，BD＝2，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝1，OA＝OC＝AC＝3，
AB＝＝＝，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4，
4.解：连接AC交BD于O，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD＝4，AB＝AB＝CD＝AD＝5，∴AO＝＝3，∴AC＝6，
∴菱形ABCD的面积＝，∴，CF＝，
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，∴∠DCA＝∠CAB，∵AC平分∠BAD，∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝DC，∵AB＝AD，∴AB＝DC，∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：在菱形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴OB＝BD＝5，∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，AO＝＝＝12，∴AC＝2AO＝24；
∵S菱形ABCD＝ AC BD＝AB CE，∴×24×10＝13×CE，∴CE＝，
6．解：连接交于，连接，如图所示，∵四边形是菱形，点M是AC的中点∴AB=BC，点M在BD的中点，对角线AC与BD的交点，∴BM⊥CM，∴△MBC是直角三角形，∵∠ABC=120°，∴∠MBC=∠ABC=60°，∠MCD=∠DCB=30°，∴CM=BCsin∠MBC=，∵四边形CEFG是菱形，∠GCE=120°，∴GF∥CE，∠GCF=∠GCE=60°，∴∠FPQ=∠PQC，∠PFC=∠FCQ，△CEF是等边三角形，∴CF=CE=4，又∵PF=CQ，∴△PRF≌△QRC（ASA）∴PR=QR，RF=RC∴R是PQ的中点，
又∵N是PQ的中点，∴R、N两点重合，∴CN=FN=CF=2，∵∠MCD=30°，∠GCF=60°，∴∠MCN=∠MCD+∠GCF=90°，∴△MCN是直角三角形，根据勾股定理可得：MN==，
参考答案--菱形的性质专项训练（2)
1.解：四边形是菱形，，，
2．解：由作图知AB=AD=BC=CD=1，∴四边形ABCD是菱形，∴∠C=∠A=44°，
在中，CB=CD，∴，
3.解：∵EB∥CD，EC∥AB，∴四边形CEBD是平行四边形，
在△ABC中，∵AC＝，BC＝4，AB＝3，
∴AC2+BC2＝（）2+42＝18，AB2＝（3）2＝18，∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，
∵点D是AB的中点，∴DC＝AD＝DB＝AB＝，
∴四边形CEBD是菱形，四边形CEBD的周长＝4DB＝4×＝6．
4.解：如图，连接AC，∵四边形AMCN是菱形，∴AM＝CM，
∵点M是BC的中点，∴CM＝BC，∴AM＝BC，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
∴AC＝＝＝4，∴S△ABC＝AB AC＝×3×4＝6，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝2×6＝12，
5．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中 ∴△DMO≌△BNO（ASA），∴OM＝ON，
∵OB＝OD，∴四边形BMDN是平行四边形，∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形．
（2）解：∵四边形BMDN是菱形，∴MB＝MD，设MD长为x，则MB＝DM＝x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2即x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，∴S菱形BMDN＝DM AB＝5×4＝20．
6．解：设菱形的边长为a，高为h则S菱形=ah=12
∵E为BC中点，∴∴，
又∵，∴∴，
∴∴S阴影=S菱形-S△AFD-S△BEF-S△CDF=12-3-2-2=5

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