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四川宜宾市普通高中2026届高三高考适应性演练数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于 ．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，，则( )
A. B. C. D.
5.将函数的图像向左平移个单位后的图像关于原点对称，则的值为( )
A. B. C. D.
6.在一次社区志愿服务活动中，由甲、乙、丙、丁名志愿者负责物资分发、秩序维护、便民讲解三个服务岗位，每名志愿者只负责一个岗位，且每个服务岗位至少有一名志愿者负责若甲、乙两人不负责同一个服务岗位，则不同的安排方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.，若直线 上存在点 满足 ，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知，若在单调递增，其中，则( )
A. 有最大值，没有最大值 B. 有最大值，有最大值
C. 没有最大值，有最小值 D. 没有最大值，没有最小值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若圆锥的母线长为，其轴截面是等腰直角三角形，点是弧的中点，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥的侧面积为 B.
C. 平面 D. 三棱锥的体积为
10.已知，若，，则( )
A. B.
C. D.
11.已知、分别是椭圆：的左、右顶点，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于、的任意一点，为椭圆所在平面上的动点，为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为
B. 若点的横坐标为，则的角平分线与轴交点的横坐标为
C. 若外接圆的圆心在外，则
D. 若以为直径的圆经过、两点，则点的轨迹方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则其外接圆的半径为 ．
14.已知正四面体的棱长为，点为其外接球上的动点，则点到该正四面体四个面的距离之和的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的首项，且满足．
求证：是等比数列；
求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥，为的中点．
证明：平面；
当二面角为时，求和平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
当时，求函数的最小值；
若函数存在极小值点，且，求的值．
18.本小题分
设抛物线：的焦点为，是上一点且．
求抛物线的方程；
过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线与，且直线与抛物线相交于、两点，直线与抛物线相交于、两点，其中点、在第一象限．
求的最小值；
过点作轴的垂线，分别交，于、两点，请判断是否存在以为直径的圆与轴相切，并说明理由．
19.本小题分
某电子产品生产单位通过抽样检验的方式检验某种电子产品的合格情况现有份产品样本足够大，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验次；方式二：混合检验，将其中份产品样本混合检验，若混合样本合格，说明这份产品样本全部合格，只需检验次；若混合样本不合格，为了明确具体哪份产品样本不合格，需要对每份产品样本再分别检验一次，检验总次数为次
现有份不同的产品样本，其中只有份产品样本不合格，采用逐份检验方式，求恰好经过次检验就能把不合格的产品样本全部判断出来的概率；
假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本不合格的概率均为．
现取其中份产品样本，记采用逐份检验方式样本需要检验的总次数为；记采用混合检验方式样本需要检验的总次数为，当时，求关于的函数关系式；
现将份产品样本随机分为组，每组为的正因数份，然后将各组份产品样本进行混合检验设该种方法需要检验的总次数为，当时，求的取值范围并解释其实际意义．
参考答案
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13.
14.
15.解：由，可得，
又，故数列是以为首项，为公比的等比数列；
由数列是以为首项，为公比的等比数列，
故，即，
则．

16.解：取中点，连接、，
由为的中点，则且，
由为的中点，四边形为菱形，则且，
则且，故四边形为平行四边形，故，
又平面、平面，故平面；
由为的中点，则，又，，
故，
则，故，则、，
故即为二面角的平面角，故，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则、、、，，
由，则，，，
即，则，，
设平面的法向量为，
则
取，则，，即，
则，
故和平面所成角的正弦值为．

17.解：当时，定义域为，
又，
因为在上单调递增，而在上单调递减，
所以在上单调递增，
又，所以当时，，在上单调递减，
当时，，在单调递增，
所以是的极小值点，也是最小值点，
所以．
函数的定义域为，
又，
因为是的极小值点，所以，即，化简得：．
又因为，代入得：，将代入得：，即，
设，则，令得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，，
又因为当时，当时，，
故有唯一解为，代入得．

18.解：由抛物线定义可得，故，
即抛物线的方程为；
，设，、、、，
则，联立，消去得，
，、，则、，
则
，
故的最小值为，当且仅当时，等号成立；
由、，
则，
由，则，
同理可得，
故中点为，若以为直径的圆与轴相切，则该圆半径为，
即有，即，
由，则，
即，
整理得，
令，由可得，
故，
则由可得，
整理得，，
故该方程无解，即不存在以为直径的圆与轴相切．

19.解：设恰好经过次检验能把不合格产品样本全部检验出来为事件，
所以，
所以恰好经过次检验就能把不合格产品样本全部检验出来的概率为．
由已知得，
的所有可能取值为，．
所以，
所以，
若，则，
所以，，
所以，即，
所以关于的函数关系式为且
将份产品样本随机分为组，每组份，则，
的可能取值有，
则，
所以
，
又，所以，
即，整理得，
两边同时取自然对数，得，
即．
设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，此时且，
又是的正因数，
所以，
所以，得，
所以，即的取值范围为．
实际意义为：当时，采用混合检验方式的总检验次数的期望不小于逐份检验的总检验次数，说明逐份检验较好．

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