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云南昭通市第一中学等校2025-2026学年高三下学期4月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数为虚数单位，的共轭复数是，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“函数在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若平面向量 两两的夹角相等，且 ，则( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知函数则图象上关于原点对称的点有( )
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
6.已知直线：其中与圆：，则直线与圆的位置关系是( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与的取值有关系
7.已知方程有两个根为和若数列满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知，且，，则与的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上有个零点和个极值点
10.已知函数，则满足过点可作出条直线与图象相切的充分条件是( )
A. ， B.
C. 点在直线上 D. 点在曲线上
11.已知椭圆，左、右焦点分别为，，点为椭圆上异于长轴端点的动点，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则符合条件的点有个
B. 若，则的面积为
C. 的最大值为
D. 过的直线与椭圆交于两点，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用一个，两个，三个排成一个六位数，则不同的排法种数为 用数字作答
13.如图所示，在直三棱柱中，底面为等边三角形，，则异面直线，所成角的余弦值是 ．
14.若正整数、的公约数只有，则称、互质对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如：，，，，当，互质时，若数列的前项和为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，，求的周长．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
证明：
若，点在棱上，若二面角的大小为，判断点的位置．
17.本小题分
为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动现从参加该竞赛的学生中随机抽取了名，统计了他们的成绩满分分，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
求这组数据的平均值同一组中的数据用该组区间的中间值为代表；
当成绩不低于分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取人，随机变量表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求的分布列及数学期望；
某市参与竞赛的学生中，甲校学生占，乙校学生占，丙校学生占，三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，准线方程为，过点的直线与抛物线交于，两点异于原点，抛物线在，两点处的切线交于点．
求抛物线的标准方程
证明：点在定直线上
在的结论下，求此时的面积最小值，并求此时直线的方程．
19.本小题分
若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式，
记；若三元代数式满足，则称代数式
为三元轮换式，，．
若正实数，满足，且，求的值；
若代数式为二元轮换式，求证：；
若对任意的正实数，，均有，求整数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.；
．
16.证明：因为，为的中点，所以．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面又平面，所以．
解：取的中点，因为为正三角形，所以．
过作与交于点，则，所以，，两两垂直，
如图，以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
令，则，，，，
因为点在棱上，设，所以，
因为平面，故平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，，
所以，得．
令，则，，故．
因为二面角的大小为，
所以，
化简得：，解得：或，
因为点在棱上，所以，
即为棱上靠近点的三分点．

17.解：由频率分布直方图，这组数据的平均值为
以频率估计概率，根据频率分布直方图，
得到“滇超达人”在竞赛人数中的占比为，
即从本市参加该竞赛的学生中随机抽取人，该学生为“滇超达人”的概率为；
易知，
所以，
，
，
．
所以的分布列为
的数学期望是．
由三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为，得在所有的“滇超达人”中随机抽选一人，
则这名学生是甲、乙、丙三校学生的概率分别是．
已知参与竞赛的学生中，甲校学生占，乙校学生占，丙校学生占，
所以根据全概率公式可得，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，
这名学生是“滇超达人”的概率为．

18.解：抛物线的准线方程为．
由题意，，解得，
所以抛物线的标准方程为．
证明：由知，焦点，设直线斜率为，
则，，，
由，得，
则韦达定理：，．
由，得出，所以，切线的斜率为，
所以在点处的切线方程为
同理，在点处的切线方程为，
设，则满足：，，
所以，而，
代入得：．
所以，同理
两式相加得：
整理得，
将韦达定理代入得：．
因此，，即点在定直线上．
解：由知，直线，
点到直线的距离为，
弦长
．，
所以的面积为．
由于，所以，当且仅当时取等号，
因此，的面积最小值为，
此时直线 的方程为
19.解：由于及，，即，故．
由于为二元轮换式，即，故．
构造函数，，
故时，，单调递减，
时，，单调递增．
不妨设，由于，，故．
由于，故．
要证，只需证，
只需证，
化简得，
只需证，
构造函数，．
．
故在上单调递增，故，
即，故得证．
原不等式为
由于时不等式成立，故时不等式也成立．
令，，，左端，右端，
由必要性，故最大整数可取．
下证时，不等式成立．
记．
由于是三元轮换式，不妨设，
令，，则且，，
代入得．
若，则；若，令，
则由得，从而
．
令，则上式化为，
，
时，，，故，
时，，故
，综上，时，，
故，故不等式得证，易得时取到等号．

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