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云南昆明市第一中学等校2026届高三4月复习诊断数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据，，，，，，的下四分位数第百分位数为( )
A. B. C. D.
2.已知复数，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线上的点与焦点的距离为，则为( )
A. B. C. D.
4.已知三个平面向量，，两两的夹角相等，且满足，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知是上的偶函数，对任意实数都有成立，当时，，则( )
A. B. C. D.
7.函数与的图象在区间内的交点个数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若存在实数，，满足，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平行六面体中，分别是的中点，则( )
A. B. 平面
C. D. 平面
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作垂直于轴的直线交于，两点，若直线的斜率是，的周长是，则下列选项中正确的是( )
A. 的虚轴长为 B. 的渐近线方程为
C. 的面积为 D. 的外接圆半径为
11.“暮春时节，兰亭雅集再现，文人雅士围坐庭中，以投壶为乐”，某同学进行投壶游戏，每次投壶的命中率为，且投壶结果互不影响，如果出现连续次命中，那么停止投壶，游戏结束，则下列选项中正确的是( )
A. 当时，投壶次游戏结束的概率为
B. 当时，投壶次游戏结束的概率大于投壶次游戏结束的概率
C. 当时，游戏结束时投壶总次数的数学期望为
D. 设游戏结束时投壶总次数的数学期望为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知中，角所对应的边分别为，且，则边长 ．
13.已知数列的前项和为，且，则 ．
14.曲线族是指具有某种共同性质的集合，若曲线族中存在无数个点在过原点的直线上，称该曲线族为“族”，若曲线族是族，且所有满足族定义的直线均与双曲线有交点，则的离心率的范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知正项数列的前项积为，且满足
求数列的通项公式
设的前项和为，求使成立的最小正整数．
16.本小题分
某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表：
健身时间小时
收费标准 免费 元人 元人
现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过小时离开的概率分别为小时以上且不超过小时离开的概率分别为；两人健身的时间都不会超过小时．
求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率；
设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望．
17.本小题分
如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与的交点，．
证明：平面平面；
已知平面与平面的夹角的余弦值为，记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求．
18.本小题分
已知函数，且在上单调递增．
求
若，证明：
存在两个极值点，
．
参考数据：，
19.本小题分
已知曲线上任意一点到直线的距离是该点到点的距离的两倍．
求曲线的轨迹方程
已知，，三点均在上，
(ⅰ)若直线过点，直线过点，记直线，，的斜率分别为，，，且满足，，成等差数列，求点的坐标
(ⅱ)若的重心是坐标原点，求的面积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：当时，，所以，
当时，，得，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
则
由得，，，
由题意得，即，
且函数在上单调递增，
将代入得，将代入得，
综上所述，使成立的最小正整数为．
16.解：依题意，两人都付元的概率；
两人都付元的概率；
两人都付元的概率，
则甲、乙两人所付的健身费用相同的概率为．
由题意知，的所有可能取值为，，，，，
，
，
所以的分布列为
的数学期望元．

17.解：因为是圆柱的底面直径，所以，
又因为是圆柱的母线，所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
以为坐标原点，为轴，过点垂直于的直线为轴，为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
设，因为，所以，
所以，，
所以，
，设平面的法向量，则
即取．
设平面的法向量，
则即
取．
设平面与平面的夹角为，
所以
，
解得：或，
所以，当时，
，
所以．
当时，
，
所以．

18.解：因为，在上单调递增，
所以恒成立，
若，则，舍去
若，或，舍去
若，或，舍去
若，或，满足题意
综上所述，；
，则，
构造函数，则，
又在上单调递增，且，
故当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，，又，
结合零点存在性定理知，在区间存在唯一实数，使得，
当时，，当时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以存在极大值点，极小值点
因为，所以，
故，
因为，
所以，
，
所以．
19.解：由题意知，设曲线上任意一点的坐标为，
所以，即，
所以曲线的轨迹方程为；
设，则，，
设，，，，其中，，
由，消去，得，
则，
从而，
同理可得，，
则，
由，，成等差数列，得，即，
解得，或舍，或舍，相应的，
所以点的坐标为；
设，，，
当直线的斜率不存在时，易得，直线的方程是；或，直线的方程为，
将代入椭圆方程，可得，
所以的面积，
当直线的斜率存在时，的中点，，
所以直线的方程为，即，
令，可得直线在轴的截距为，
则．．，
将代入椭圆方程可得，
即，则，，
所以，
所以，
设坐标原点为，因为是的重心，
所以，所以的面积是．
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