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2024级高二（下）数学期中复习 综合训练（三）
一、单选题
1．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品件数的数学期望值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了超几何分布，是基础题．
设抽到的次品件数为随机变量，由题意知服从超几何分布，可计算出的数学期望值．
【解答】
解：设抽到的次品件数为随机变量，令，，
，由随机变量均值的定义可知，
当时，，①
因为，
所以，
当时，注意到①式中间求和的第一项为0，同理可计算得出
故
故本题选B
2．已知：函数的自变量处的改变量，函数值的改变量为在处的导数值，下列等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算即可判断．
【详解】根据导数的定义可知，A正确；
若令，当，则，
则，B正确；
根据导数的定义，C错误；
根据导数的定义可知，D正确．
故选：C
3．若的展开式中第7项的二项式系数最大，则的值不可能是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】D
【分析】分为偶数和为奇数两种情况，分析二项式系数最大的项，结合题意求出的可能值．
【详解】当为偶数时，的展开式中二项式系数最大的项为第项，
令，得；
当为奇数时，的展开式中二项式系数最大的项为第项和第项，
令，得；
令，得．
所以结合选项可知的值不可能是14
4．立体几何，解析几何，导数，数列与概率统计这五道题排序，解析几何不能在第一道解答题，数列必须在第一道或者第二道位置，则不同的题目分配方式有（ ）
A．36种 B．42种 C．48种 D．52种
【答案】B
【详解】数列排在第一道的排序方法有种；
数列排第二道时，第一道有种排法，第三、四、五道有种．根据分步乘法计数原理，数列排第二道时的排序方法有种．
根据分类加法计数原理，不同的题目分配方式有：种．
5．为了研究与的线性相关关系，某同学收集了5组样本数据（如下表），计算得相关系数为r1，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
1 2 3 4 5
2 4 9 7
A．
B．这5组样本数据中，的分位数为4
C．样本点处的残差为－2
D．去掉样本点后，与的样本相关系数r2= r1
【答案】D
【详解】对于A，,，
故，，故A错误；
对于B，的由小到大的排列为，而，
故的分位数为，故B错误；
对于C，由A中计算可得，故当时，，故C正确；
对于D，设原数据的相关系数为，则，
删除样本中心后，设剩余的样本点为，如下表：
1 2 4 5
2 4 9 7
则,，
该组数据对应的相关系数为，则，
故，故D正确．
6．设，为随机变量，，，，则（ ）
A．22 B．6 C．8 D．4
【答案】B
【分析】先根据变量的线性关系求出，再根据求解即可．
【详解】因为随机变量，满足，，，
所以，，即，解得，
所以，由方差公式得．
7．已知，若，则的值为（ ）
A．21 B．22 C．42 D．43
【答案】D
【分析】因为的展开通项为：，根据，求的，将所给等式两边求导，即可求得的值．
【详解】的展开通项为：
又
，
等式两边求导可得：
令，得：,
【点睛】本题解题关键是掌握多项式系数的求法和导数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
8．某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为Y，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0．45
【分析】由题可知，结合二项分布的数学期望公式与方差公式即可求与；根据排列组合知识和古典概型可知Y取0，1，2，4时的概率，再由公式即可求与，比较大小即可求解．
【详解】由题可知方案（1）中这四位同学抽到自己准备的书的概率均为，易知，
由二项分布的数学期望公式与方差公式可知：
，．
由题可知Y的所有可能取值为0，1，2，4，
，，，
，，，
．
二、多选题
9．为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如表数据（单位：只）：
发病 未发病 合计
使用药物 10 40 50
未使用药物 30 20 50
合计 40 60 100
从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（ ）
A．的估值为，的估值为 B．的估值为，的估值为
C．可化简为 D．可化简为
【答案】AC
【详解】由列联表可知，，所以，，故A正确、B错误．
已知，，则，由条件概率公式，所以，故C正确、D错误．
10．已知曲线在原点处的切线与曲线在处的切线重合，则
A． B．
C． D． 曲线在处的切线方程为
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义及应用，属于中档题．
根据求导法则以及导数的几何意义可得答案．
【解答】
解：由题意可得，曲线在处的切线方程为，
令，则，即，故A正确；
，曲线在处的切线方程为，
即，，解得，
把代入，可得，故B错误，C正确；
曲线在处的切线方程为，
因为，所以曲线在处的切线方程为，故D正确．
故选：
11．已知，第4项与第8项的二项式系数相等，则（ ）
A．
B．展开式中项的系数为180
C．，
D．
【答案】ABD
【答案】解：在二项式的展开式中，
若选填，只有第6项的二项式系数最大，
则展开式中有11项，即，，项的系数为
若选填，第4项与第8项的二项式系数相等，
则，即，，项的系数为
若选填，所有二项式系数的和为，则，即，项的系数为
令，则可化为，两边求导得，，
令，所以
【解析】本题主要考查二项展开式的特定项与特定项的系数，以及导数的运算，属于中档题．
在二项式的展开式中，分别选①②③，根据二项式定理与展开式的特征逐一分析即可；
令，则，两边求导后，令，即可得出答案．
三、填空题
12．袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格，假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，则10000袋食盐中大概有_________袋合格．
参考数据：，
【答案】9544
【解析】【分析】
本题考查了正态曲线的性质，属于基础题．
由正态曲线的性质，结合误差服从 即可求解．
【解答】
解：误差的样本均值为0，方差为4，即，
，
袋食盐中合格数为袋．
故答案为：9544
13．如图，水波的半径以的速度向外扩张，当半径为250cm时，圆面积的膨胀率为_________．
【答案】解：水波的半径以的速度向外扩张，
水波面积，水波面积的膨胀率，当半径为250cm时，，即时间为5s时，这水波面积的膨胀率是
【解析】本题考查导数与变化率的关系，属于基础题．
14．若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______、______．
【答案】或
【详解】因为，所以．因为，所以．
设曲线与曲线的公共点为，
因为它们在公共点处有相同的切线，所以，，解得或．
若，，，解得．
若，，，解得．
综上所述，或．
四、解答题
15．“五一”假期期间是旅游的旺季，某旅游景区为了解不同年龄游客对景区的总体满意度，随机抽取了“五一”当天进入景区的青、老年游客各120名进行调查，得到下表：
满意 不满意
青年 80 40
老年 100 20
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否满意”与“游客年龄”有关联；
（2）若用频率估计概率，从“五一”当天进入景区的所有游客中任取3人，记其中对景区不满意的人数为X，求X的分布列与数学期望．
附：，
其中
【答案】解：零假设 “是否满意”与“游客年龄”无关．
满意 不满意 合计
青年 80 40 120
老年 100 20 120
合计 180 60 240
根据列联表中的数据，可以求得
，
因为当成立时，的概率约为，
所以我们有的把握认为，游客“是否满意”与“游客年龄”有关．
由题意得，“五一”当天进入景区的所有游客中对景区不满意的人的频率为，
所以从中随机抽取1人，对景区不满意的概率为
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，则X∽，
所以，，1，2，3，
，
，
，
，
X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
所以x的数学期望
【解析】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，是中档题．
先得出，对照临界值表可得结论；
易得从中随机抽取1人，对景区不满意的概率为，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，则X∽，可得X的分布列与数学期望．
16．某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有8个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为．
（1）若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率；
（2）对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用．设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望．
【分析】（1）通过条件概率公式即可求解；
（2）根据题意得出随机变量与随机变量的关系，从而得到随机变量的取值范围和对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可．
【详解】（1）设事件为“抽到的个零件中至少有个为不合格零件”，事件为“抽到的个零件中恰好有个为不合格零件”，
由于事件是事件的子事件，所以，而，，根据条件概率公式，即恰好有个为不合格零件的概率为．
（2）由于随机变量表示抽到的不合格的零件数，可能取值为，而对于每个的值，总费用，
因此随机变量的可能取值为，，，
由于，，，
因此，，，
所以随机变量的分布列为：
数学期望为，即随机变量的数学期望为．
17．某工厂生产的无人投递车需经过性能测试才能投入使用．若首次测试（A）通过，即合格．若测试A未通过，则需进行第二次测试（B），测试B通过，即合格；否则为不合格，不能投入使用．已知测试A通过率为0．8，测试B通过率为0．5．
（1）已知某辆无人投递车测试合格，计算其通过测试A的概率；
（2）若某批次生产了n辆无人投递车，合格的数量为X．计算随机变量X的期望与方差；
（3）该工厂声称其随机抽取的1000辆无人投递车合格率为95%，请结合材料1和材料2说明该工厂提供的合格率是否可信 并说明理由．
材料1：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意正数a，均有．
材料2：当随机事件发生的概率小于0．05时，可称该事件为小概率事件．
【分析】（1）设事件“通过测试”， 事件“通过测试” ，事件“测试合格”，再根据二项分布的公式计算即可；
（2）根据题意得，再根据条件概率即可求出；
（3）先求出随机变量X的期望和方差，再根据材料1和由材料2分别进行计算和说明即可．
【详解】（1）由题，则测试合格的无人投递车，其通过测试的概率为．
（2）设事件“通过测试”， 事件“通过测试” ，事件“测试合格”，
由题意每辆车通过测试的概率为，
，即，即随机变量X的期望为，方差为．
（3）设随机抽取辆无人投递车中合格数为，由（1）可知，
假设该工厂关于产品合格率为95%的说法成立，则应有辆车合格，
由材料1可得，，
即在假设下辆车中合格数达到或超过的概率不超过，
由材料2可知，该事件为小概率事件，据此我们有理由推断该工厂提供的合格率不可信．
18．已知函数
（1）求曲线过的切线方程；
（2）已知，若直线与曲线和均相切，求直线l的方程；
（3）若，求证：
【答案】（1）y=ex 2
（2）对于曲线，，对于曲线，， 设直线与曲线和分别相切于点，，所以切线方程分别为，，因此，则，又，将代入可得或，解得或， 将其代入中，可得当时，切线方程为； 当时，切线方程为
，，
令，
则①，
又②，
①+②得：
，
所以
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19．近年来足球赛事中，单败淘汰赛制（输一局就淘汰）与新兴的双败赛制并存，为比赛增添了许多看点．现有四支队伍A、B、C、D参与赛事，其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p，，而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为．经抽签，第一轮比赛时，A和C对阵，B和D对阵．
双败赛制规则如下图所示：
（1）若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场热身赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率；
（2）若，在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率是多少？
（3）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并说明哪种赛制对强队更有利？
【详解】（1）从4支队伍中随机选出2支，共有6种可能：，
其中选出的2支队伍恰好是A和B的只有一种：，所以选出的两支队伍恰好是A和B的概率为．
（2）设事件“A对阵B或C或D时，A赢”，，，
设事件B=“B对阵C或D时，B赢”，事件C=“C对阵B或D时，C赢”，事件D=“D对阵C或B时，D赢”，则，事件M，B，C，D相互独立，
设事件N=“单败淘汰赛赛制下，B获得冠军”，则事件N包含两种情况：
① A、 C对阵时A赢，B、 D对阵时B赢，最后C、 B对阵时B赢，即事件，
；
②A、 C对阵时C赢，B、 D对阵时B赢，最后A、 B对阵时B赢，即事件，
，
因为事件和互斥，所以
所以；
所以在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率为；
（3）在单败淘汰赛赛制下，A要想获得冠军，有两种情况：
① A、 C对阵时A赢，B、 D对阵时B赢，最后A、 B对阵时A赢，即事件，
；
②A、 C对阵时A赢，B、 D对阵时D赢，最后A、 D对阵时A赢，即事件，
，
因为事件和互斥，所以A获得冠军的概率为
；
在双败赛制下，A要想获得冠军，从每场A参与的比赛中A的输赢角度出发，有三种情况：
①A、 C对阵时A赢，A与B、 D对阵中的胜者对阵时A赢，最后一场比赛A赢，即事件，
；
②A、 C对阵时A赢，A与B、 D对阵中的胜者对阵时A输，B、 D对阵中的负者与C对阵时的胜者与A对阵时A赢，最后一场A赢，即事件，
；
③A、 C对阵时A输，A与B、 D对阵中的负者对阵时A赢，B、 D对阵中的胜者与C对阵时的负者与A对阵时A赢，最后一场A赢，即事件，
，
所以A获得冠军的概率为
，
，
所以当时，，因此双败赛制对强队更有利．
综合训练（三）第2页，共9页
综合训练（三） 第2页，共9页2024级高二（下）数学期中复习 综合训练（三）
一、单选题
1．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品件数的数学期望值是( )
A． B． C． D．
2．已知：函数的自变量处的改变量，函数值的改变量为在处的导数值，下列等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若的展开式中第7项的二项式系数最大，则的值不可能是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
4．立体几何，解析几何，导数，数列与概率统计这五道题排序，解析几何不能在第一道解答题，数列必须在第一道或者第二道位置，则不同的题目分配方式有（ ）
A．36种 B．42种 C．48种 D．52种
5．为了研究与的线性相关关系，某同学收集了5组样本数据（如下表），计算得相关系数为r1，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
1 2 3 4 5
2 4 9 7
A．
B．这5组样本数据中，的分位数为4
C．样本点处的残差为－2
D．去掉样本点后，与的样本相关系数r2= r1
6．设，为随机变量，，，，则（ ）
A．22 B．6 C．8 D．4
7．已知，若，则的值为（ ）
A．21 B．22 C．42 D．43
8．某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为Y，则有（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如表数据（单位：只）：
发病 未发病 合计
使用药物 10 40 50
未使用药物 30 20 50
合计 40 60 100
从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（ ）
A．的估值为，的估值为 B．的估值为，的估值为
C．可化简为 D．可化简为
10．已知曲线在原点处的切线与曲线在处的切线重合，则
A． B．
C． D．曲线在处的切线方程为
11．已知，第4项与第8项的二项式系数相等，则（ ）
A．
B．展开式中项的系数为180
C．，
D．
三、填空题
12．袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格，假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，则10000袋食盐中大概有_________袋合格．
参考数据：，
13．如图，水波的半径以的速度向外扩张，当半径为250cm时，圆面积的膨胀率为_________．
14．若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______、______．
四、解答题
15．“五一”假期期间是旅游的旺季，某旅游景区为了解不同年龄游客对景区的总体满意度，随机抽取了“五一”当天进入景区的青、老年游客各120名进行调查，得到下表：
满意 不满意
青年 80 40
老年 100 20
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否满意”与“游客年龄”有关联；
（2）若用频率估计概率，从“五一”当天进入景区的所有游客中任取3人，记其中对景区不满意的人数为X，求X的分布列与数学期望．
附：，
其中
16．某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有8个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为．
（1）若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率；
（2）对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用．设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望．
17．某工厂生产的无人投递车需经过性能测试才能投入使用．若首次测试（A）通过，即合格．若测试A未通过，则需进行第二次测试（B），测试B通过，即合格；否则为不合格，不能投入使用．已知测试A通过率为0．8，测试B通过率为0．5．
（1）已知某辆无人投递车测试合格，计算其通过测试A的概率；
（2）若某批次生产了n辆无人投递车，合格的数量为X．计算随机变量X的期望与方差；
（3）该工厂声称其随机抽取的1000辆无人投递车合格率为95%，请结合材料1和材料2说明该工厂提供的合格率是否可信 并说明理由．
材料1：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意正数a，均有．
材料2：当随机事件发生的概率小于0．05时，可称该事件为小概率事件．
18．已知函数
（1）求曲线过的切线方程；
（2）已知，若直线与曲线和均相切，求直线l的方程；
（3）若，求证：
19．近年来足球赛事中，单败淘汰赛制（输一局就淘汰）与新兴的双败赛制并存，为比赛增添了许多看点．现有四支队伍A、B、C、D参与赛事，其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p，，而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为．经抽签，第一轮比赛时，A和C对阵，B和D对阵．
双败赛制规则如下图所示：
（1）若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场热身赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率；
（2）若，在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率是多少？
（3）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并说明哪种赛制对强队更有利？
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