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2025-2026学年度
第二学期高二第一次阶段性测试 数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．3个相同的书签，放入7个不同的书架中，每个书架里至多放一个书签，则不同的放法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】由题意可知只要从7个不同的书架中选出3个书架即可
【详解】由于书签都相同，书架不同，每个书架至多放一个书签，
所以只要选出3个不同的书架即可．
故共有种不同的放法
故选：C
2．有以下几组的统计数据：要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在坐标系中画出五个点，结果除去之外，其余的点都在一条线附近，去掉这个点以后剩下的数据更具有相关关系．
【详解】，在坐标系中画出五个点，
结果除去之外，其余的点都在一条线附近，
去掉这个点以后剩下的数据更具有相关关系，
故选：C
3．的小数点后第三位数字为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二项展开式可得出该小数的前四位数，即可得解．
【详解】因为
，
因此，的小数点后第三位数字为．
故选：A．
4．已知随机变量X，Y均服从两点分布，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件概率公式，结合对立事件的概率公式进行求解即可．
【详解】
，所以．
故选：B
5．十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（ ）
（参考数据：）
A．0．015 B．0．016 C．0．02 D．0．021
【答案】D
【分析】先根据题意确定，再根据正品率和原则确定的取值范围．
【详解】已知，．
又指标的部件为正品，即区间为正品．
要使次品率不高于，即满足正品率大于或等于．
因此要保证区间，则，
所以，解得，故选项A、B、C均可能，选项D不可能．
6．从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，任意取的2个球共有种，再计算符合条件的情况，再求概率即可．
【详解】根据题意，任意取的2个球共有种，取出的2个球的编号之和为奇数，
则取出的2个球的编号必须为一个奇数一个偶数，且至少有一个为黑球，
所以，一个白球（奇数）一个黑球（偶数）有种，
一个白球（偶数）一个黑球（奇数）有种，
两个黑球（一奇一偶）共有种，故概率为．
故选：C．
7．甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10．两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）．记三轮比赛后甲的总得分为X，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【详解】设甲总得分为，则的可能取值为，
在不考虑出牌顺序的前提下，甲、乙两人出牌共有种，
第一行为甲出牌，其余为乙出牌，如下表，
甲得分 2 3 5
0分 4 6 10
2分 4 10 6
1分 6 4 10
2分 6 10 4
2分 10 4 6
1分 10 6 4
则，
则．
8．用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．240 B．360 C．420 D．480
【答案】B
【分析】按照分类加法和分步乘法计算原理，对5个区域进行分步、分类涂色即可．
【详解】先不考虑至少要用四种颜色，完成涂色需要分5步，按照顺序依次涂区域CADEB，
C区域有5种颜色可选，A区域有4种颜色可选，D区域有3种颜色可选；
若E区域与D区域颜色相同，E区域有1种颜色可选，则B区域有3种颜色可选；
若E区域与D区域颜色不同，E区域有2种颜色可选，则B区域有2种颜色可选；
再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种；
如果只使用三种颜色涂色（小于三种无法涂色），则A，B同色且D,E同色，共有种涂色方法；
所以满足题意的不同的涂色方法有种．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知随机变量 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由正态分布期望的性质可得A错误；由正态分布方差的性质可得B正确；由正态分布曲线的对称性可得C、D正确；
【详解】对于A，由题意，得 ，而 ，故 A 错误;
对于B，又 ，则 ，而 ，
所以 ，故 B正确;
对于C， 因为两个正态分布对应的正态密度曲线关于直线 对称，
所以 ，故 C 正确；
对于D，由对称性，得 ，
所以 ，故 D正确．
故选： BCD．
10．已知的展开式中，的系数记为，则（ ）
A．该展开式共有15项 B．
C． D．的最大值为240
【答案】BCD
【分析】根据多项式乘法的性质和二项展开式中的项数可判断A选项；根据二项展开式中特定项的系数可判断BCD选项．
【详解】对于A，展开式中共有4项，展开式中共有6项，故展开式共有24项，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
当或时，的值最大，为，故D正确．
11．甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于A项，1次操作后甲、乙两个口袋中各取一个红球或各取一个白球即可求解；对于B项，1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球且3次操作后甲口袋中恰有2个红球即可求解；对于C项，先求，，再利用条件概率公式求解即可；对于D项，先求出，再利用并事件的概率公式求解即可．
【详解】因在操作前，甲袋中：1红2白，乙袋中：1红2白．
对于A项，要求，则1次操作后甲、乙两个口袋中各取一个红球或各取一个白球即可，
则，故A项正确；
对于B项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球且3次操作后甲口袋中恰有2个红球，
所以，故B项正确；
对于C项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球，
或1次操作后甲口袋中恰有1个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球，
或1次操作后甲口袋中恰有2个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球，
所以，
要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球，
所以，则，故C错误；
对于D项，由，，，
所以，故D项正确．
故选：ABD．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．袋中有编号为的10个大小相同的小球，现从中一次性随机取出4个．记X为取出的球中编号不大于4的球的个数，则数学期望_________．
【答案】/
【分析】由题意确定随机变量服从超几何分布，即可求解．
【详解】编号不大于4的小球共有4个，大于4的小球共个，
从10个球中取4个，表示取出的不大于4的球的个数，服从超几何分布，
参数为：总体数，符合条件的个体数，抽取数，
超几何分布的期望公式为，代入得： ．
【点睛】
13．7名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁相邻的概率是______．
【答案】
【分析】记事件甲与乙不相邻，记事件丙与丁相邻，求出、，利用条件概率公式可求得的值．
【详解】记事件甲与乙不相邻，记事件丙与丁相邻，
则，，则，故答案为：．
14．伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴塞尔级数”难题．
当，时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得_________．
【答案】
【分析】推导出，由得到展开式中的系数，由此得到结论．
【详解】由，,，
两边同时除以得，
又展开式中的系数为，
所以，所以．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．某学校东门外设置了限时停车场，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟免费，超过15分钟但不超过30分钟收费5元，超过30分钟但不超过45分钟收费15元，超过45分钟但不超过60分钟收费30元，超过60分钟必须离开停车场．甲 乙两位家长相互独立地来该停车场停车，且甲 乙的停车时间的概率如下表所示：
停车时间/分钟
甲
乙
设甲所付停车费用为，乙所付停车费用为，
（1）求甲所付停车费用X小于乙所付停车费用Y的概率；
（2）在的条件下，求的概率．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由分布列性质求得，再由独立事件乘法公式及互斥事件加法公式即可求解；
（2）求得的概率，再由条件概率公式即可求解；
【详解】（1）由题意可得：，所以，
甲所付停车费用小于乙所付停车费用有以下情况：
甲，乙或或，概率为：；
甲，乙或，概率为：；
甲，乙，概率为：；
所以甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率为：
（2）有以下情况：
甲，乙；概率为：；
或甲，乙；概率为：；
或甲，乙；概率为：；
所以,
所以
16．某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积/亩 1 2 3 4 5
管理时间月 8 10 13 25 24
并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
单位：人
愿意参与管理 不愿意参与管理
男性村民 150 50
女性村民 50 50
（1）求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）；
（2）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列．
参考公式：；参考数据：．
【答案】（1），管理时间与土地使用面积线性相关
（2）分布列见解析，
【分析】（1）根据表格中的数据，结合相关系数的计算公式，求得的值，即可得出结论；
（2）根据题意，得到变量的所有可能取值，利用重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解．
【详解】（1）由题意得，，
所以，
可得，
则，
所以管理时间与土地使用面积线性相关．
（2）由题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，
故，
故的分布列为
0 1 2 3
17．现将红色、黄色、蓝色的3个小球随机放入甲、乙、丙、丁四个盒子中（每个盒子容纳球数不限）．
（1）记甲盒中小球个数为，求的分布列和；
（2）对于两个不相互独立的事件，，，．
①若，则称事件与正相关（的发生会“促进”的发生）；若，则称事件与负相关（的发生会“抑制”的发生）；
②定义为与的相关系数．
（ⅰ）若，求证：与正相关；
（ⅱ）定义事件“甲盒中恰有一个小球”，事件“甲盒中含有红球”．求，并判断事件与的相关情况．
【答案】（1）分布列见解析，期望为；
（2）（i）证明见解析；（ii），与正相关．
【分析】（1）由题设的可能取值为，应用古典概型的概率求法求对应概率，进而写出分布列并求出期望；
（2）（i）根据新定义及条件概率公式得，即可证；
（ii）根据题意求出，，，根据给定公式及（i）的结论，即可得．
【详解】（1）由题意，的可能取值为，且每个小球都有4种放法，故3个小球共有种放法，
，，，，
所以的分布列如下，
0 1 2 3
所以；
（2）（i）由，则，
所以，故与正相关，得证；
（ii）由题意，，，
所以，
结合（i）结论，故与正相关．
18．已知，其中．
（1）若，求的值；
（2）若，证明：．
（3）若，求的值．
【分析】（1）根据展开式的通项即可求解．
（2）利用赋值法代入计算即可．
【详解】（1），，二项展开式通项，
令，得，解得．
（2）证明：若，，
（3）若，
计算第一部分：．
计算第二部分：．
综上，4052．
其它方法亦可．
19．体育赛事中，常有“局胜制”、“局胜制”、、“局胜”制，．现有甲、乙两队比赛，甲获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，且无平局．为鼓励提高比赛水平及厂商的广告需要，比赛结束后参加一项抽奖活动．箱中共有张奖券，其中有张奖券金额各万元，另外张奖券无奖金．若赛完，某队某场获胜且每局都赢，则由该队在该箱中一次性抽张奖券，而另一队不参与抽奖；若赛完，某场比赛的局数中各有输赢，则先由甲队任取张后，再由乙队从余下奖券中任抽张．
（1）当，时，求甲获胜的概率；
（2）当，时，求乙队获得奖金金额（万元）的分布列与期望；
（3）在“局胜”制比赛中，随着增大，甲、乙谁获胜的可能性更大？证明你的结论．
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，；
（3）答案见解析．
【分析】（1）采用局胜制，分析甲赢的所有情况，结合独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式求解即可；
（2）计算出甲全胜、乙全胜、各有输赢的概率，分析可知的所有可能值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；
（3）设局胜制中，甲的获胜概率为，分三种情况讨论，求出的递推关系式，作差，结合数列的单调性，可得结论．
【详解】（1）当，时，即采用局胜制，
设甲获胜为事件，则甲前两局都赢，或者甲第三局赢，前两局赢一局输一局，
则．
（2）甲全胜的概率为：，乙全胜的概率为：，
各有输赢的概率为：，所以的所有可能值为、、，
，
，
，
所以，随机变量的分布列如下：
所以．
（3）设局胜制中，甲的获胜概率为，可分为以下三类：
当时，
①局中甲获胜的概率为：；
②局中胜局且后续局至少胜局的概率为：；
③局中胜局且后续局全胜的概率为：．
所以，
所以，
因为，对任意的恒成立。
由，得，，且组合数与概率项均为正，故，即单调递增，
当时，甲最终获胜的可能性更大；
当时，，，即甲、乙最终获胜的可能性一样大；
当时，得，，且组合数与概率项均为正，故，即单调递减，
则当时，乙最终获胜的可能性更大．
第1页 共10页第二学期高二第一次阶段性测试 数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．3个相同的书签，放入7个不同的书架中，每个书架里至多放一个书签，则不同的放法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
2．有以下几组的统计数据：要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是（ ）
A． B． C． D．
3．的小数点后第三位数字为（ ）
A． B． C． D．
4．已知随机变量X，Y均服从两点分布，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．“十五五”规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（ ）
（参考数据：）
A．0.015 B．0.016 C．0.02 D．0.021
6．从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10．两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）．记三轮比赛后甲的总得分为X，则（ ）
A．1 B． C． D．2
8．用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．240 B．360 C．420 D．480
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知随机变量 ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知的展开式中，的系数记为，则（ ）
A．该展开式共有15项 B．
C． D．的最大值为240
11．甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．袋中有编号为的10个大小相同的小球，现从中一次性随机取出4个．记X为取出的球中编号不大于4的球的个数，则数学期望_________．
13．7名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁相邻的概率是______．
14．伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴塞尔级数”难题．
当，时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．某学校东门外设置了限时停车场，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟免费，超过15分钟但不超过30分钟收费5元，超过30分钟但不超过45分钟收费15元，超过45分钟但不超过60分钟收费30元，超过60分钟必须离开停车场．甲 乙两位家长相互独立地来该停车场停车，且甲 乙的停车时间的概率如下表所示：
停车时间/分钟
甲
乙
设甲所付停车费用为，乙所付停车费用为，
（1）求甲所付停车费用X小于乙所付停车费用Y的概率；
（2）在的条件下，求的概率．
16．某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积/亩 1 2 3 4 5
管理时间月 8 10 13 25 24
并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
单位：人
愿意参与管理 不愿意参与管理
男性村民 150 50
女性村民 50 50
（1）求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）；
（2）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列．
参考公式：；参考数据：．
17．现将红色、黄色、蓝色的3个小球随机放入甲、乙、丙、丁四个盒子中（每个盒子容纳球数不限）．
（1）记甲盒中小球个数为，求的分布列和；
（2）对于两个不相互独立的事件，，，．
①若，则称事件与正相关（的发生会“促进”的发生）；
若，则称事件与负相关（的发生会“抑制”的发生）；
②定义为与的相关系数．
（ⅰ）若，求证：与正相关；
（ⅱ）定义事件“甲盒中恰有一个小球”，事件“甲盒中含有红球”．求，并判断事件与的相关情况．
18．已知，其中．
（1）若，求的值；
（2）若，证明：．
（3）若，求的值．
19．体育赛事中，常有“局胜制”、“局胜制”、、“局胜”制，．现有甲、乙两队比赛，甲获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，且无平局．为鼓励提高比赛水平及厂商的广告需要，比赛结束后参加一项抽奖活动．箱中共有张奖券，其中有张奖券金额各万元，另外张奖券无奖金．若赛完，某队某场获胜且每局都赢，则由该队在该箱中一次性抽张奖券，而另一队不参与抽奖；若赛完，某场比赛的局数中各有输赢，则先由甲队任取张后，再由乙队从余下奖券中任抽张．
（1）当，时，求甲获胜的概率；
（2）当，时，求乙队获得奖金金额（万元）的分布列与期望；
（3）在“局胜”制比赛中，随着增大，甲、乙谁获胜的可能性更大？证明你的结论．
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