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2026年四川省内江市高考数学适应性试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设为虚数单位，若，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知全集为整数集合，若集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
4.记为等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
5.林林是一名大学生返乡创业者，带领自己的助农直播团队通过线上平台销售家乡特色血橙团队对销售数据和促销方案进行了分析，发现血橙日销售量吨与直播时长小时之间存在较强的线性相关关系现抽取五场直播数据，根据下表样本数据：
得到的线性回归方程为，则( )
A. ， B. ， C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.南宋数学家杨辉善于利用已知几何图形的面积、体积来计算离散量“垛积问题”如图是个由正方体堆积而成的三角垛，按此规律，在第个三角垛中正方体的总个数为设每个三角垛中的每个正方体的棱长均为，把若干个三角垛拼接成一个直棱柱可重复使用同一三角垛，该直棱柱底面积为，高为，且，则该直棱柱的体积可表示为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 若，则
C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称
10.在平行六面体中，，，则( )
A.
B. 平面
C.
D. 三棱锥的外接球表面积为
11.现有一枚个面的骰子，各面编号依次为、、、、下列正确的是( )
A. 若随机掷一次该骰子，等可能地出现各个编号，则出现编号为的概率为
B. 若，随机掷一次该骰子，等可能地出现各个编号，现独立地先后掷骰子，记事件为“第一次出现的编号为偶数”，事件为“两次出现的编号和为”，则
C. 若随机掷一次该骰子出现编号为、、、、的概率依次成等差数列，且随机掷该骰子出现编号为的概率为，则掷该骰子出现编号为的概率也为
D. 若，随机掷一次该骰子出现编号为、、、、的概率依次成等差数列，现独立地先后掷骰子，两次得到的编号分别记为和，且事件“”发生的概率为，则事件“”发生的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，的系数为______用数字作答
13.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．
14.若是函数的一个零点，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中国大模型正处于一个技术进步、市场规模增长的爆发式发展阶段为了解中国大模型用户的年龄分布，公司调查了名中国大模型用户，统计他们的年龄都在内，按照、、、、进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
求的值；
现要再对关于“大模型的使用体验”进行问卷调查，如果按照年龄进行分层抽样，要抽取一个容量为的样本，则年龄在内的用户要抽取多少人？
估计这名中国大模型用户年龄的平均数各组数据以该组区间的中点值作代表．
16.本小题分
如图，和都垂直于平面，且，是的中点．
求证：平面；
若是边长为的等边三角形，求平面与平面所成夹角的余弦值．
17.本小题分
在中，角，，所对的边是，，．
写出正弦定理并证明；
如图，若，是内一点，，，，，求的面积．
18.本小题分
已知曲线的方程为：，、为常数，斜率为的直线过点．
若，抛物线上一点，点为焦点，求的值及线段的长；
若，直线与曲线有三个不同的交点，求的取值范围；
若实数、满足：且，设直线与曲线有三个不同的交点，，，，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，，其中为常数，为自然对数的底数，．
当时
求函数在处的切线方程；
证明：；
若函数有零点，求的取值范围并证明函数的零点是唯一的．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由频率分布直方图得所有矩形面积和为，
即，得；
年龄在内的频率为，
则年龄在内的用户要抽取人；
设这名中国大模型用户年龄的平均数为，
．
因此这名中国大模型用户年龄的平均数为岁
16.解：证明：取的中点，连接，，由是的中点，
得，
由和都垂直于平面，得，又，
则，，
四边形为平行四边形，
故DF，
又因为平面，平面，
所以平面；
延长，交于点，连接，则平面平面，
由得点是线段的中点，由是边长为的等边三角形，得，
则，即，由平面，平面，
得，
而，，平面，
则平面，又平面，
因此，
所以二面角的平面角是，
在中，，则，，
所以平面与平面所成夹角的余弦值．
17.解：正弦定理：在任意中，角，，所对边分别为，，，
外接圆半径为，则，
证明：由于的面积可表示为，
将三式同除以，得，
变形即得；
作的外接圆，圆心为，半径为，
当为直角时，显然有；
当为锐角时，作直径，连接，
则，，
在中，，
故，即；
当为钝角时，
同理可证，仍有；
综上可得，正弦定理得证；
由正弦定理：，
代入已知，
可得，
因为在内部，，故，
因此，可得，
设，由余弦定理：，
代入，
得，解得，
因此的面积为．
18.解：当时，抛物线：过点，则，
抛物线：的焦点，准线，所以；
当时，曲线：，
当时，是开口向右的抛物线，当时，是轴负半轴，
由直线：与曲线有三个不同的交点，得直线与轴负半轴必相交，
由，得，因此，解得；
直线与抛物线有两个不同交点，
联立，可得有两个不等的非负根，
所以，解得，因此，
所以的取值范围是；
由且，得曲线的方程为：，，
当时，是开口向右的抛物线；
当时，是开口向左的抛物线除顶点外，
由直线：与曲线有三个不同的交点，
等价于直线与相交，且与抛物线，相切，
或直线与相切，且与抛物线，相交，
不妨令，
联立，得，
，
联立，得，
，
若直线与相交，且与抛物线，相切，
则，解得，，
；
若直线与相切，且与抛物线，相交，
则，解得，，
，
所以的取值范围是．
19.解：当时，，，
因为，，
所以函数在处的切线斜率为，
由，
可得函数在处的切线方程为；
证明：因为，所以，，
令，得，
于是在上单调递减，在上单调递增，
由，，，
可知存在唯一零点使得，
即在上单调递增，在上单调递减，
而，
所以在区间内恒成立，得证；
当时，，
由知，即此时无零点，
当时，，
令，则，
由在上单调递增，且，，，
所以存在唯一零点，使得，
则在上单调递减，在上单调递增，
而，所以，则，即此时无零点，
下证：当时，在区间内有零点，并且零点是唯一的；
，，
，故，，
又，得，
于是在区间内单调递增，有唯一零点为的最小值点，
即，
我们断言：，否则，从而，
在区间上单调递增，与矛盾，
现列表如下：
单调递减，正变负，有唯一零点 单调递增，负变正，有唯一零点
再列表如下：
单调递增， 单调递减，正变负，有唯一零点 单调递增，
综上，，在区间内的零点是唯一的．
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