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2026年湖南省衡阳市高考数学第二次联考试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线上的点到抛物线焦点的距离为，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则实数( )
A. B. C. D.
7.已知点是直线：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，则( )
A. B. 函数的图象关于点中心对称
C. 函数是周期为的周期函数 D. 函数在上单调递增
10.在三角形中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则( )
A.
B. 若，，则
C. 若三角形为锐角三角形，则的取值范围是
D. 若，则三角形为直角三角形
11.如图，在矩形中，，为的中点，将沿向上翻折到，连接，，在翻折过程中，下列说法正确的是( )
A. 若平面平面，则
B. 四棱锥的体积最大值为
C. 点从点翻折到中点的过程中，的中点形成的轨迹长度为
D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的右焦点为，过作双曲线的渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为 ．
13.已知样本数据，，，的平均数为，设，当函数取最小值时， ．
14.某大学数学系举办学科素养大赛，参赛选手在小时内进行学科素养答题挑战赛，比赛规则如下：参赛选手的赛程按轮次进行，只有完成上一轮的答题才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮随机地派出一道素养题或技能题，系统派出素养题的概率为，派出技能题的概率为若某选手答对素养题的概率为，答对技能题的概率为，各轮答题正确与否相互独立记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为，记，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，，数列的前项和为，满足．
求数列，的通项公式；
已知数列满足：，求数列的前项和．
16.本小题分
每年春季万象更新，也是病毒变异和流行病高发期，现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈．
现有一种对疾病的试剂检测方法，该检验方法对患病的人进行化验，检测结果有呈阳性，对未患病的人进行化验，检测结果有呈阴性检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率若某地区疾病的患病率为，求这种检验方法在该地区的误诊率结果精确到；
对疾病有效治疗的药物有，两款，且这两种药物的疗程均为天药物使用时，按疗程服用天，超过天无效需换药进行治疗无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过天也能痊愈已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，是的中点，与相交于点，点在侧棱上，．
证明：平面；
当时，求点到平面的距离；
若，当直线与平面所成的角最大时，求实数的值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，椭圆经过点．
求椭圆的方程；
若椭圆的左、右顶点分别为，，直线交椭圆于，两点与，不重合设直线的斜率为，直线的斜率为，且．
求证：；
设弦的中点为，为坐标原点，直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；
若函数有三个零点，，，且．
(ⅰ)求实数的取值范围；
求证：．
参考答案
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15.解：设等差数列的公差为，
因为，，
所以，即，解得，
所以；
因为，
所以当时，，即；
当时，，
两式相减得，，
所以，即，
又，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
由知，，，
所以，
所以
，
故数列的前项和．
16.解：记事件：检测结果阳性，事件：患病，
由题意可知，，，，
，
这种检验方法在该地区的误诊率为．
药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为，
对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立，
设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病的概率，
则有，．
设先用药物再用药来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为，，，
则，，
，
．
设先用药物再用药来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为，，，
同理得，，
，
则有
，
，
需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短．
17.证明：因为底面，平面，所以．
在和中，，
即∽，
故，得，
即，
又，平面，，
故BE平面；
解：由已知得，，，，
故以，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
当时，，则，
设平面的法向量为，
则，令，
故可取，
可得，，
所以点到平面的距离；
解：由已知得，，，，
所以，又，所以，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，
故可取，
又，
取直线的方向向量为，
可得，，，
可得，，
设直线与平面所成的角为，
可得，，
因为，所以，
当时，取最大值，
又，此时取最大值，所以．
18.解：设椭圆的半焦距为，则依题意有，解得，
所以椭圆的方程为．
证明：连接，由知：，，设，，
因为，所以，
所以，
又，所以，即，所以；
易知直线斜率不为，则设直线方程为，
联立，消去得，则，
所以，，
因为，所以，
即，
所以，
又，所以，
整理可得，解得，
所以，，，，
当时，与轴重合，即：，此时；
当时，因为，
所以，则直线，即，
联立，消去得，所以，
则点，到直线的距离分别为，，
且与异号；
因为，
所以，
所以，
因为，所以且，即；
综上所述：的取值范围为．
19.解：由题得，
因此，
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
因此，得，因此的值为；
等价于，
令，又，可知除了之外还有两个零点，
又，令，
当时，恒成立，故在上单调递减，不合题意；
当时，若函数有三个零点，则其等价函数必有除外的两个零点，
因此在上有两个不相等的实数根，
故，解得，
设的两个零点为，，且，有，，
故，均大于，
由此可得在单调递增，，单调递减，单调递增，
而，因此，，，
又因为，，，
故在内恰有一个零点，在内恰有一个零点，
因此恰有个零点，亦因此恰有个零点，
故实数；
证明：由，
可得，则有，
要证，代入得，只需证明，而，
因此只需要证明当时，，
令
可得，故在上单调递增，
因此当时，，因此当时，，
因此证得成立．
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