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安徽省合肥市2026届高三第一次教学质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（）
A． B．或 C． D．或
2．设，则（ ）
A． B． C．2 D．4
3．已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某公司50名员工的月工资统计表如下：
工资/元 3600 4000 4400 5000 6000 7000
人数/名 5 10 20 7 5 3
记这50名员工月工资的平均数为元，中位数为元，众数为元，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线，直线与的两条渐近线分别交于点，若，则的离心率为（）
A． B． C． D．
6．已知函数为偶函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（ ）
A．18种 B．24种 C．48种 D．60种
8．已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知正实数满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数．若存在不相等的实数，使得，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．若的最小值为，则
C．若，则的取值范围为
D．若，且的最大值为，则的取值范围为
11．设为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，在第一象限，过作直线的垂线，垂足分别为，则（）
A．
B．若，则
C．若，则直线的斜率为
D．的面积最小值为
三、填空题
12．已知等差数列满足，则的通项公式为_____．
13．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，若该圆台上下底面的圆周均在同一个球的球面上，则此球的表面积为_____．
14．已知直线与轴、轴分别交于点，点在曲线上，点在上，点满足，则的最小值为_____．
四、解答题
15．记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)求内角的最大值．
16．一个盒子中有5个大小相同的球，其中有2个黄球，3个白球．
(1)随机一次取出3个球，用表示取出的球为黄球的个数，求的分布列和均值；
(2)逐个不放回地随机取出5个球，在整个取球过程中，记“已取出白球的个数始终不小于黄球的个数”为事件，求．
17．如图，直三棱柱的所有棱长都等于2，点，分别是线段，上的动点（异于端点），且．
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围；
(3)设，证明：．
19．已知椭圆的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于，两点．
（i）求证：以为直径的圆过定点；
（ii）当直线的斜率存在时，记的外接圆和内切圆的半径分别为，且，求直线的斜率．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
《安徽省合肥市2026届高三第一次教学质量检测数学试题》参考答案
1．C
2．D
3．B
4．B
5．A
6．C
7．B
8．C
9．AC
10．ACD
11．ABD
12．
13．
14．
15（1）证明：因为，
所以由题得，即，
由余弦定理可得，所以．
（2）由（1）知，所以，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为，，
所以内角的最大值为．
16．（1）的可能取值为0，1，2．根据概率知识，可得的分布列为
用表格表示的分布列，如下表所示．
0 1 2
所以的均值为．
（2）由题意可知第一次取到的球为白球，设“第次取到白球”（）．
若事件发生，则后面出现情况均满足题意，所以；
若事件发生，则事件一定发生，后面出现的情况均满足题意，
则．
故．
17．（1）在棱上分别取点，使．
则．
因为，，所以．
又，所以．
由，得，
所以四边形是平行四边形．所以．
又平面，平面，所以平面．
（2）由（1）知，令，则，
在中利用余弦定理得，
即，解得．
所以点分别是中点．所以点分别是中点．
以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
所以．
设为平面的法向量，
则，即，可取．
设为平面的法向量，
则，即，可取．
设平面与平面夹角为，则．
故平面与平面夹角的余弦值为．
18（1）当时，，
所以当时，；当时，．
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）因为，所以当时，，由（1）知，
当时，．
又当时，，，
所以，即．所以在区间单调递减，
所以，不符合题意．综上，的取值范围是．
（3）由（1）知，当时，函数在区间单调递增，
所以当时，，
即，所以当时，．
当时，，则有．
令，求导得，当时，；
当时，，所以，
所以，所以，所以．
所以．记，
所以．
所以．综上，原不等式成立．
19（1）由题意得，解得，所以的方程为．
（2）（i）因为椭圆关于y轴对称，过点E的任意一条直线均有一条直线与之关于y轴对称，
所以以为直径的任意一个圆都存在另一个圆与之关于y轴对称，
所以为直径的圆过定点，则由对称性可知该定点必在轴上，设为点，
若直线的斜率存在，设其方程为，点，
联立，消去化简可得，
所以，
由得，
，
即，即，
所以，故以为直径的圆过
若直线斜率不存在，以为直径的圆显然过，
综上，以为直径的圆过定点；
（ii）由（i）知，，所以，，
因为，所以，
即，也即，
所以，取线段中点为，则，
因为，所以点的坐标为，
当时，，符合题意，
当时，，则，解得．
综上，或，即直线的斜率为0或．
答案第1页，共2页
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