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江苏南京市、盐城市2026届高三下学期一模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集，集合，，则（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
2．已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知a，b是实数，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（ ）
A． B．2 C． D．4
5．已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
6．若等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．2
7．设和表示坐标平面内的几何变换，表示将几何对象绕原点逆时针旋转，表示将几何对象关于轴对称，表示连续次变换．已知角的终边经过点，若对角的终边先进行变换，再进行变换，得到角的终边，则（ ）
A． B． C． D．3
8．已知函数，若存在，对于任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，，且，下列说法正确的是（ ）
A．是纯虚数 B．是实数
C．是虚数 D．若，则是实数
10．已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．是偶函数
C．在上单调递增
D．有且仅有2个零点
11．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，三角形的面积为2，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．当最小时， D．当时，
三、填空题
12．在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________．
13．在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______．
14．设正整数，其中，．记．从集合中随机抽取一个数，则的概率为________．
四、解答题
15．为研究昼夜温差（单位：）与某植物种子当日的百粒发芽数（单位：粒）之间的关系，实验室记录了6天的每日昼夜温差与种子当日的百粒发芽数，如下表所示：
日期编号 1 2 3 4 5 6
温差 9 13 11 15 10 14
百粒发芽数 23 28 26 31 25 29
(1)根据表中的数据，计算样本相关系数（精确到0.01）；
(2)求百粒发芽数关于温差的经验回归方程，并估计昼夜温差为时，这种植物种子当日的百粒发芽数．
参考公式：相关系数，
，，
参考数据：，，，．
16．如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离．
17．已知函数，直线与曲线相切．
(1)求实数的值；
(2)若是函数的极大值点，求实数的取值范围．
18．已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5．
(1)求和的值；
(2)，为上两点，的重心在直线上．
①证明：直线的斜率为定值；
②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动．
19．已知圆，点，对于圆上的点，按照如下方式构造点；过点作直线垂直于轴，为点在轴上的射影，点满足（为常数，），直线交于点，其中为坐标原点，点异于点．
(1)若，求的坐标；
(2)证明：数列为等比数列；
(3)已知，设及的面积分别为，，若存在正整数，使得，求所有可能的值．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
《江苏南京市、盐城市2026届高三下学期一模数学试卷》参考答案
1．A
2．D
3．B
4．D
5．B
6．C
7．D
8．A
9．AD
10．ABD
11．ABC
12．/
13．
14．
15．（1）相关系数．
（2）由题意得，，
所以，，
所以所求的经验回归方程是，
当时，，
故当昼夜温差为时，这种植物种子当日百粒发芽数为．
16．（1）连接，因为是等边三角形，是中点，所以．
又因为，，平面，，所以平面．
因为平面，所以．
因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面．
（2）法一：在菱形中，，
又因为，，所以，．
因为，平面，，所以平面．
在平面内，作于．
因为平面，平面，所以．
又因为，，平面，，
所以平面，
所以的长度为点到平面的距离．
在中，因为，，，
所以，同理．
因为平面，平面，所以．
在中，因为，所以边上的高．
即点到平面的距离为．
法二：因为平面，平面，所以．
由（1）得、、两两垂直，
故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，．
设平面的法向量为，
所以所以
所以是平面的一个法向量．
所以点到平面的距离．
17．（1）设直线与曲线相切于，
因为，所以切线斜率为，
所以，则，所以切点为，
又因为切点在直线上，所以，
所以．
（2），
则．
当时，，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，不满足题意；
当时，，，，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，不满足题意；
当时，，，
所以在上单调递增，
所以不是的极值点，不满足题意；
当时，，，，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极大值点，满足题意，
综上，的取值范围是．
18．（1）抛物线的准线方程为．
根据抛物线定义，，所以．
因此，抛物线的方程为．
将代入抛物线方程：，又，故．
（2）①方法一：
设，，
则的重心为，
由题意知，，则．
所以直线的斜率，为定值．
方法二：
因为直线的斜率不为零，
所以设直线的方程为，显然．
设，．
联立，整理得．
所以.
已知，
所以的重心的纵坐标，
所以，解得．
因此，直线的斜率，为定值．
②因为直线的斜率不为零，
所以设直线的方程为．设，．
联立，整理得．
所以.
设为的中点，则：
，，
即．
直线与轴交点，，则中点．
由于，所以．
所以．
直线的斜率：，
直线的方程：，整理得.
法一：
令，代入方程，解得，
因此，直线经过定点．
因为，于，
所以在以为直径的定圆上．
法二：
由于，，
所以的方程为，即，
联立，得
即．
令，则，，
令，则，，
令，则，，
求得经过，，的圆方程为，
代入的坐标符合，所以在定圆上．
19．（1）因为，，，
所以，，
由得或
因此．
（2）因为，，，
所以，，
由得或
因此，，
因为，即，
所以，
因此，
又，所以，
因此，即数列为等比数列．
（3）由（2）得，即，
于是，
注意到，因此，
由，，
得，
因此，
因为，
所以，即，
设，，，
则，
因为，，
所以，
所以，即单调递增．
又，，
所以或2，
若，则，，
当时，，
因此或3，
当时，，解得，
当时，，解得．
若，则，，
当时，，
因此，
所以，解得（舍），
综上，或．
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