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2025-2026学年江苏省徐州市铜山区高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.=（　　）
A. 30 B. 35 C. 40 D. 45
2.已知，，且，则实数x值为（　　）
A. -2 B. 2 C. -4 D. 4
3.若平面α的一个法向量为，平面β∥平面α，则平面β的法向量的坐标可以是（　　）
A. （4，-2，2） B. （-1，1，-1） C. （4，2，-2） D. （-2，-1，-1）
4.文娱晚会中，学生的节目有3个，教师的节目2个，如果教师的节目不排在最后一个，则节目的排法有（　　）
A. 60种 B. 72种 C. 84种 D. 96种
5.已知，则a2=（　　）
A. 10 B. 40 C. 45 D. 120
6.篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱.据统计，某企业两个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的40%，35%，且这两个部门的员工人数之比为2：3，现从这两个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（　　）
A. 0.37 B. 0.46 C. 0.54 D. 0.75
7.现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有5种颜色可供选择，则不同的染色方案有（　　）
A. 160种 B. 240种 C. 360种 D. 420种
8.如图，二面角α-l-β等于120°，A、B是棱l上两点，BD、AC分别在半平面α、β内，AC⊥l,BD⊥l,且AB=BD=2，AC=4，则CD的长等于（　　）
A. 4
B.
C. 6
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若{，，}为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（　　）
A. B.
C. D.
10.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则（　　）
A. B. C. D.
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为BB1中点，，下列论述正确的是（　　）
A. 若，则点P到平面DEC的距离为
B. 三棱锥D1-PEC的体积为定值
C. DP+PE的最小值为
D. 平面PDC1与底面BCC1B1所成角的余弦值的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X的概率分布如表且P（X＞2）=0.3，则E（X）= .
X 1 2 4
P 0.4 a b
13.在（x+1）（x-2）（x+3）（x-4）的展开式中，含x3的项的系数为 .
14.有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取4次，每次取1个球，记ξ（i=1，2，3，4，5）为标有数字i的球被取出的次数，X=max{ξ1，ξ2，ξ3，ξ4，ξ5}，则P（X=2）= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数（结果用数字作答）.
（1）求可组成多少个三位数；
（2）将（1）中的三位数按从小到大的顺序排成一排，求第55个数.
16.(本小题15分)
已知展开式的二项式系数之和为32.
（1）求展开式中所有项的系数和；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中二项式系数最大的项.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA=1，PA⊥平面ABCD，且.
（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；
（2）求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值.
18.(本小题17分)
湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作A，B，C三幅不同的湘绣作品，已知A，B，C三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为.
（1）若已知A，B，C三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为A的概率；
（2）经过设计图案和刺绣两个环节后，A，B，C三幅作品成为成品作品的件数为X.求随机变量X的分布列及数学期望E（X）.
19.(本小题17分)
在空间直角坐标系Oxyz中，定义：过点P（x0，y0，z0），且方向向量为=（a,b,c）（abc≠0）的直线的点方向式方程为，过点P（x0，y0，z0），且法向量为的平面的点法向式方程为A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0，将其整理为一般式方程为Ax+By+Cz+D=0，其中D=-Ax0-By0-Cz0.
（1）已知直线l的点方向式方程为，平面α的一般式方程为，求直线l与平面α所成角的正弦值；
（2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点P（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为；
（3）已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1所在平面经过三点P（1，0，0），Q（2，1，1），H（-1，0，2），侧面BCC1B1所在平面的一般式方程为x-y-2z+1=0，侧面ACC1A1所在平面的一般式方程为mx+2y-2mz-3=0，求平面ABB1A1与平面ACC1A1夹角的余弦值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】2.2
13.【答案】-2
14.【答案】
15.【答案】100 342
16.【答案】-1 80 和
17.【答案】
18.【答案】 X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
E（X）=
19.【答案】 证明：不妨设C≠0，在平面Ax+By+Cz+D=0内取一点，
则向量，
取平面Ax+By+Cz+D=0的一个法向量，
所以点Q（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为：

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