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2025-2026学年四川省成都七中高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知x是-1，-9的等比中项，则x=（　　）
A. 2 B. 3 C. -3 D. 3或-3
2.圆x2+y2-2x-4y=0的半径为（　　）
A. 5 B. C. D.
3.用数学归纳法证明等式：-1+3-5+7+…+（-1）n（2n-1）+（-1）n+1（2n+1）+（-1）n+2（2n+3）=（-1）n+2（n+2）．要验证当n=1时等式成立，其左边的式子应为（　　）
A. -1 B. -1+3 C. -1+3-5 D. -1+3-5+7
4.已知直线l∥平面α，且l的一个方向向量为=（-1，2，m），平面α的一个法向量为=（2，-，m），则实数m的值为（　　）
A. -1 B. 2 C. 2或-1 D. -2或1
5.《莱因德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（　　）
A. B. C. D.
6.函数f（x）=sinx-xcosx的大致图象是（　　）
A. B.
C. D.
7.已知，，，其中e为自然常数（e≈2.71828），则a,b,c的大小关系是（　　）
A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. b＞c＞a D. c＞b＞a
8.已知关于x,y的方程组恰有一组解（x0，y0），其中e为自然常数（e≈2.71828），则y0+m的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. D. e
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知一组数据1，2，4，a,7（a∈N），则下列说法正确的是（　　）
A. 若这组数据的极差为9，则a=10 B. 若这组数据的第80百分位数是6，则a=5
C. 若这组数据的平均数是3，则a=2 D. 若a=6，则这组数据的方差为5.2
10.从4名男生和3名女生任选4人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（　　）
A. 若4名男生入选，且排成一排，则男生甲与男生乙不相邻的排法有12种
B. 若至少有一名女生入选，则一共有33种选法
C. 若男生甲和女生乙至少要有一人入选，那么有30种选法
D. 入选的4人恰为两名男生两名女生的概率为
11.双曲线Γ：=1（a＞0，b＞0）的离心率为e.定义S={（A，B，C）|A，B，C满足A2+B2=1，且直线Ax+By+C=0与曲线Γ没有交点}.下列说法正确的是（　　）
A.
B. 若（A，B，C）∈S，则（-A，-B，C）∈S
C. 若∈S，则e的取值范围是（1，5]
D. 若（A，B，C）∈S且动点（A，B）轨迹长度为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.以直线x=-2为准线的抛物线的标准方程是 .
13.已知曲线f（x）=ex+3与y=kx+3相切，其中e为自然常数（e≈2.71828），则k= .
14.数列{an}满足an=en-1-3an-1，其中e为自然常数（e≈2.71828），若{an}是单调递增数列，则a1= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}是等差数列，{an}的前n项和记为Sn，a4=4，S3=6.
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=2nan，记bn的前n项和为Tn，求Tn.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=x3+3ax+b（a,b∈R）在x=1处取极值.
（Ⅰ）求f（x）的极大值和单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-3，3]上有且仅有一个零点，求b的取值范围.
17.(本小题15分)
如图，在五棱锥P-ABCDE中，已知PA⊥底面ABCDE，PA=AB=2，AE=3，BE=.
（Ⅰ）证明：AB⊥平面PAE；
（Ⅱ）若，，求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值.
18.(本小题17分)
已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，O为坐标原点，P（4，3）是平面内一点，D是椭圆C上一点，若.
（Ⅰ）求椭圆C的方程.
（Ⅱ）直线l：y=kx+m（m≠0）与椭圆C交A，B，线段AB的中点为T，若P，T，O三点共线，
①求k的值；
②试问：是否存在m,使得△PAB的面积取到最大值，若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由.
19.(本小题17分)
已知.其中f′（x）表示f（x）的导函数.
（Ⅰ）求f′（0）.
（Ⅱ）令，记g（x）的导函数为g′（x），若g（x）与g′（x）在x=0处有相同的切线，
①证明：g（x）≤0恒成立；
② k≥2，k∈N，记，证明：对 m＞n≥2（m,n∈N）有xm-xn≤++…+.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】AC
11.【答案】ABD
12.【答案】y2=8x
13.【答案】e
14.【答案】
15.【答案】an=n
16.【答案】极大值b+2，单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调递减区间为（-1，1） [-18，-2）∪（2，18]
17.【答案】证明：由条件可知AB2+AE2=13=BE2，因此AB⊥AE，
又PA⊥底面ABCDE，AB 底面ABCDE，
所以PA⊥AB，
因为PA∩AE=A，PA，AE 平面PAE，
所以AB⊥平面PAE
18.【答案】；
①；
②存在，
19.【答案】f′（0）=0 证明：①，
记g′（x）的导函数为h（x），
则有，
由题意g（0）=g′（0）=h（0），解得，
则，
令t=x+1，t＞0，
则 t＞0，，
所以g′（x）是在（-1，+∞）上单调递减的，且g′（0）=0，
则x∈（-1，0），g′（x）＞0；x∈（0，+∞），g′（x）＜0；又g（0）=0，g（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
所以g（x）≤g（0）=0；②题目条件化为：对任意的m＞n≥2，
，
由g（x）=（x+1）ln（x+1）-≤0， x∈（-1，+∞），
则， x∈（-1，+∞），
对于 k≥2，k∈N，，
=
≤
=，
则对任意的m＞n≥2，
≤，
得，
所以≤，
即
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