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2025-2026学年天津市和平区耀华中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.随机变量X的分布列为：
X 1 2 3
P a 2a 3a
则P（X≥2）=（　　）
A. B. C. D.
2.已知正态分布X N（3，σ2），若P（X≤4）=0.6，则P（2≤X≤4）=（　　）
A. 0.6 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1
3.下列求导运算正确的是（　　）
A. （e5）′=e5 B. （x3）′=x3lnx C. D. （2x）′=2xln2
4.若的展开式中各项的二项式系数和为64，则展开式中含x3项的系数为（　　）
A. 1 B. 6 C. 15 D. 20
5.已知f′（x）是定义域为[-2，2]的函数f（x）的导函数，且函数g（x）=xf′（x）的图象如图所示，则（　　）
A. f（x）在[-2，0]上为增函数
B. f（x）的最小值为f（0）
C. f（x）的极大值为f（0），极小值为f（1）
D. f（x）的极小值点为0，极大值点为1
6.某空间站由A，B，C三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去A舱，则不同的安排方法的种数为（　　）
A. 35 B. 36 C. 42 D. 50
7.已知函数，若函数f（x）在（2a,a2-1）上存在最小值，则a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
8.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＞0成立，则不等式x2f（x）＞0的解集是（　　）
A. （-2，0）∪（2，+∞） B. （-2，0）∪（0，2）
C. （2，+∞） D. （-∞，-2）∪（2，+∞）
9.若甲盒中有3个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有x个白球（x∈N），3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同”的概率不小于，则x的最小值为（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10.存在使得方程有解，则实数a的取值范围为（　　）
A. （0，e） B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.函数在上的最小值为 .
12.设，则a1+a2+…+a10为 .
13.已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为X，则X的数学期望E（X）= ，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为 .
14.若函数f（x）=x3-aex有唯一极值点，则实数a的取值范围是 .
15.从0，2，4，6，8和1，3，5，7，9两组数中各取两个数，能组成无重复数字的四位偶数 个.（用数字作答）
16.已知a＞0且a≠1，函数.若曲线y=f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，则实数a的取值范围为 .
三、解答题：本题共3小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量X.
（1）求第一次取出的是黑球的情况下第二次取出的是红球的概率；
（2）求X的分布列和期望.
18.(本小题14分)
已知函数f（x）=ex-x-1，g（x）=alnx-x.
（1）求f（x）的极值；
（2）若h（x）=f（x）-g（x）在[1，2]单调递增，求实数a的取值范围；
（3）当a＜0时，若对任意的，总存在，使得f（x1）≤g（x2），求实数a的取值范围.
19.(本小题16分)
已知函数.
（1）当a=0时，求y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）若y=f（x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】1
12.【答案】0
13.【答案】

14.【答案】
15.【答案】1120
16.【答案】（1，e）∪（e,+∞）
17.【答案】 则X的分布列为：
X 3 4 5
P

18.【答案】f（x）的极小值为0，无极大值 （-∞，e]
19.【答案】 （i）（-2，-）；（ii）证明：令，
因为g，g（x1）=g（x2）=a，
由（1）可知x1∈（-1，0），x2∈（0，1），
只需证，
即证：x1＞-2-a，
当时，-2-a≤-1＜x1，得证；当-2＜a＜-1时，先证，
令h，
则，x＞-1，
当-1＜x＜0时，h′（x）＞0，当x＞0时，h′（x）＜0，
则y=h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
所以h（x）≤h（0）=0，得证，
令t（x）=ex-x-1，则t'（x）=ex-1，
当x＜0时，t'（x）＜0，此时函数t（x）单调递减，
当x＞0时，f′（x）＞0，此时函数t（x）单调递增，
所以t（x）≥t（0）=0，即ex≥x+1，
则g（x）==x2-2，
记y=x2-2与y=a的交点横坐标分别为x3=，
则x3＜x1＜0，x4＞x2＞0，
则=，
又-2＜a＜-1，
所以=a+3
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