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2025-2026学年上海市徐汇区西南模范中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共16分。
1.一质点运动的方程为s=5-3t2，若该质点在时间段[1，1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6，则该质点在t=1时的瞬时速度是（　　）
A. -3 B. 3 C. 6 D. -6
2.在平面直角坐标系xOy中，点F是抛物线C：y2=ax（a＞0）的焦点，点，B（a,b）（b＞0）在抛物线C上，则的值为（　　）
A. B. C. D.
3.“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”、“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（　　）
A. 100个 B. 125个 C. 225个 D. 250个
4.如图，圆柱的底面半径和高均为1，线段AB是圆柱下底面的直径，点O是下底面的圆心.线段EF是圆柱的一条母线，且EO⊥AB，已知平面α经过A，B，F三点，将平面α截这个圆柱所得到的较小部分称为“马蹄体”，记平面α与圆柱侧面的交线为曲线C.则下列结论正确的个数有（　　）
（1）曲线C是椭圆的一部分
（2）曲线C是抛物线的一部分
（3）二面角F-AB-E的大小为
（4）马蹄体的体积为V满足
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
5.已知，则n的值为 .
6.89×90×91×…×100可以表示为 （用排列数表示）.
7.已知函数f（x）的导函数为f′（x），若，则f′（4）= .
8.已知函数的导函数为f′（x），则f′（1）= .
9.已知，则a2的值为 .
10.若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则p=______．
11.4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种.
12.已知函数f（x）=x3-2mx2+m2x在x=1处取得极大值，则m= .
13.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有______斛（结果精确到个位）．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为F1（-c,0），F2（c,0），直线l过点A（a,0）和B（0，b），且焦点F1，F2到直线l的距离之和为，则双曲线离心率的最小值为 .
15.已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧.将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心.若直线y=x+m与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为 .
16.设实数λ＞0，若对任意x∈（1，+∞），不等式eλx-（λ+1）x+lnx≥0恒成立，则λ的取值范围是 .
三、解答题：本题共5小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=1，CD=2，AA1=2，M是D1D1的中点．
（Ⅰ）证明：BC⊥B1M；
（Ⅱ）求点B到平面MB1C的距离．
18.(本小题7分)
已知二项式且a为常数）的展开式中第7项是常数.
（1）求n的值；
（2）若该二项式展开式中各项系数之和为1024，求展开式中的系数.
19.(本小题7分)
如图，在多面体PQABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD∥PQ，PD⊥CD，△PAD是边长为的等边三角形，AB=PQ=CD.
（1）求证：AB⊥平面PAD；
（2）若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积.
20.(本小题7分)
已知函数g（x）=ax2-（a+2）x,h（x）=lnx,h（x）=lnx,令f（x）=g（x）+h（x）.
（1）当a=1时，求函数y=g（x）在x=1处的切线方程；
（2）当a为正数且1≤x≤e时，f（x）min=-2，求a的最小值.
21.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点.
（1）若点A的横坐标为2，求|AF1|的长；
（2）设Γ的上、下顶点分别为M1、M2，记△AF1F2的面积为S1，△AM1M2的面积为S2，若S1≥S2，求|OA|的取值范围.
（3）若点A在x轴上方，设直线AF2与Γ交于点B，与y轴交于点K，KF1延长线与Γ交于点C，是否存在x轴上方的点C，使得成立？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】10
6.【答案】
7.【答案】6
8.【答案】0
9.【答案】120
10.【答案】8
11.【答案】288
12.【答案】3
13.【答案】22
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】（Ⅰ）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
则：，
则，
故BC⊥B1M；
（Ⅱ）解：由于，
设平面MB1C的法向量为，
则，据此可得，
且，
故点B到平面MB1C的距离．
18.【答案】解：（1）二项式的展开式中第7项为，
由题意得，解得n=10．
（2）令x=1，得（1+a）10=1024=210，所以1+a=-2或1+a=2，
解得a=-3，或a=1（舍去）．
该二项式展开式通项为，令，解得r=3，
故展开式中的系数为．
19.【答案】证明：取AD的中点O，连接PO，
因为△PAD为等边三角形，且O为AD中点，所以PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO 平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，
又AB 平面ABCD，因而PO⊥AB，
因为AB∥CD，PD⊥CD，所以PD⊥AB，
由PO 平面PAD，PD 平面PAD，PO∩PD=P，所以AB⊥平面PAD；
20.【答案】y+x+1=0 1
21.【答案】解：（1）因为点A的横坐标为2，
不妨设A（2，y），
因为点A在椭圆Γ上，
所以，
解得，
易知F1（-2，0），
所以=；
（2）不妨设A（x,y），xy≠0，
此时，
因为S1≥S2，
所以，
即2y2≥x2，
又，
所以2y2≥6-3y2，
解得，
则，
故|OA|的范围为；
（3）不妨设A（x1，y1），y1＞0，B（x2，y2），
由对称性可得A、C关于y轴对称，
所以C（-x1，y1），
又F1（-2，0），F2（2，0），
此时，
所以，
同理得，
因为，
所以，
解得y2+2y1=0或（无解），
不妨设直线AF2：x=my+2，
联立，消去x并整理得（m2+3）y2+4my-2=0，
由韦达定理得，
解得，
此时，
又x1=my1+2，
解得，
此时．
故存在x轴上方的点，使得成立．
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