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2025-2026学年上海市青浦区高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.设a、b均为非零实数，则“”是“”的（　　）条件.
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要
2.已知m,n是两条直线，α是一个平面，下列命题正确的是（　　）
A. 若m∥α，n∥α，则m∥n B. 若m⊥α，m⊥n,则n∥α
C. 若m⊥α，n α，则m⊥n D. 若m∥α，m⊥n,则n⊥α
3.探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y2=4x,一条光线经过点M（10，y1），与x轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过点N（8，y2）射出，则光线从点M到点N经过的总路程是（　　）
A. 19
B. 20
C. 21
D. 22
4.对于函数y=f（x），若关于x的方程f（Kx）=Kf（x），（K∈Z，K＞1）恰有K个实数根，则称函数为“K”函数.①函数的定义域D={x|1≤x≤9，x∈Z}且D={y|y=f（x），x∈D}；②函数是“2”函数，也是“3”函数；那么同时满足条件①②的函数共有（　　）个.
A. 18 B. 24 C. 27 D. 36
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合A=（-1，2），B=[1，+∞），则集合A∩B=______．
6.已cosθ=，则cos2θ=______．
7.已知复数z满足1+z=（1-z）i，其中i是虚数单位，则z的虚部为______．
8.在的二项展开式中，常数项是 .（用数值作答）
9.已知，，则在上的数量投影是______.
10.不等式|x+2|+|x-2|≤4的解集是 .
11.已知随机变量X的分布为，则期望E[X]= .
12.已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比V圆柱：V球=______（用数值作答）．
13.一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器，则该容器的容积最大时正四棱锥的高为 cm.
14.已知Sn是数列{an}的前n项和，且.若f（x）=（cosx+a1）（cosx+a2）（cosx+a3）（cosx+a4），则= .
15.已知平面向量，，，满足，，则当=______，则与的夹角最大．
16.机场为旅客提供的圆锥形一次性纸杯如图所示.设纸杯的母线长为14cm,开口直径为10cm,旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，该椭圆的离心率为 .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4=10．
（1）若S20=590，求{an}的公差；
（2）若a1∈Z，且S7是数列{Sn}中最大的项，求a1所有可能的值．
18.(本小题14分)
在四面体ABCD中，DB=DC=2，DB⊥DC.
（1）若△ABC为正三角形，平面ABC⊥平面DBC，求四面体ABCD体积；
（2）若AB=AC=4，AD=3，求二面角A-BC-D的大小.
19.(本小题14分)
为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”），其中乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a（1≤a≤3）表示.
（1）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求a的所有可能取值；
（2）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”，设a=3，从这20名学生中随机抽取一人，已知该生为阅读达人，求该生为甲组学生的概率；
（3）记甲组阅读量的方差为；在甲组中增加一名学生A得到“新甲组”，若A的阅读量为10，则记“新甲组”阅读量的方差为；若A的阅读量为20，则记“新甲组”阅读量的方差为；通过计算比较、、的大小（结果精确到0.1），并从数学角度解释这一现象.
20.(本小题18分)
已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率，点P，Q分别是椭圆的右顶点和上顶点，△POQ的边PQ上的中线长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点H（-2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1，求直线AB的方程；
（3）直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为，设l1，l2分别与椭圆交于点C，D和E，F.若M，N分别是线段CD和EF的中点，求△OMN面积的最大值.
21.(本小题18分)
记.已知函数f（x）和g（x）的定义域都为D，若存在x1、x2、 ，xm∈D，使得，当且仅当x=xi（i=1、2、 、m）时等号成立，则称f（x）和g（x）在D上“m次缠绕”.
（1）判断f（x）=sinx和g（x）=cosx在（0，2π）上“几次缠绕”，并说明理由；
（2）设f（x）=lnx,g（x）=ax,若f（x）和g（x）在（0，+∞）上“2次缠绕”，求a的取值范围；
（3）设，若f（x）和在（0，+∞）上“3次缠绕”，求a的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】[1，2）
6.【答案】-
7.【答案】1
8.【答案】160
9.【答案】
10.【答案】[-2，2]
11.【答案】2
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】-8
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d,
则，解得d=3．
（2）由（1）得a4=a1+3d=10，d=，
由于S7是数列{Sn}中最大的项，d=＜0，a1＞10，
所以，即，
即，
解得，由于a1是整数，所以a1的可能取值是18，19，20．
18.【答案】； ．
19.【答案】a=1或2；
P=；
＜＜，甲组数据的平均值为10，方差体现数据的集中和离散程度，当加入数据为10（甲组数据的平均值）时，数据更加集中，方差变小，
当加入数据为20时，数据更加分散，方差变大
20.【答案】解：（1）由题意，因为P（a,0），Q（0，b），△POQ为直角三角形，
所以．
又，所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）由（1）知，F1（-1，0），显然直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y=k（x+2）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y得，（1+2k2）x2+8k2x+8k2-2=0，
所以Δ=（8k2）2-4（1+2k2）（8k2-2）=8（1-2k2）＞0，即．
且，
因为AF1⊥BF1，所以，
所以（-1-x1，-y1）（-1-x2，-y2）=0，即1+x1+x2+x1x2+y1y2=0，
所以1+x1+x2+x1x2+k（x1+2） k（x2+2）=0，
整理得，
即，
化简得4k2-1=0，即满足条件，
所以直线AB的方程为或，
即直线AB的方程为x-2y+2=0或x+2y+2=0．
（3）由题意，F2（1，0），
设直线l1的方程为y=k（x+1），C（x3，y3），D（x4，y4），
则直线l2的方程为，E（x5，y5），F（x6，y6），
联立消去y得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，
所以，
所以，，
所以，
同理联立，消去y得（1+2k2）x2-2x+1-4k2=0，
所以，
所以，，
所以，
即MN的中点．
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以△OMN的面积最大值为．

21.【答案】函数f（x）=sinx，x∈（0，2π）和g（x）=cosx，x∈（0，2π）“2次缠绕”，理由如下：
因为对任意x∈（0，2π），，
当且仅当和时，等号成立，
所以由“m次缠绕”定义可知f（x）和g（x）在（0，2π）上“2次缠绕” （2 （0，）
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