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2025-2026学年云南省昆明市第八中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知a,b,c是空间中的三条直线，且a⊥b,则“b∥c”是“a⊥c”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.若z（1-i）=2+3i,则复数z的虚部是（　　）
A. B. C. D.
3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知2a+b=2ccosB，则C=（　　）
A. B. C. D.
4.已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则=（　　）
A. -2 B. -1 C. 0 D.
5.已知集合A={（x,y）|y=x2}，B={（x,y）|y=2x}，则A∩B中元素的个数为（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6.正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等.已知6个边长均为2的正六边形的摆放位置如图所示，C是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的最大值为（　　）
A. 12 B. 16 C. 18 D. 20
7.若，则=（　　）
A. B. C. D.
8.若正实数a,b满足2a-8b=2b-a,则下列不等关系一定成立的是（　　）
A. a＜3b B. a＞3b C. a＜b3 D. a＞b3
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，且A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（　　）
A. ω=2
B.
C. f（0）=1
D. 将f（x）的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
10.已知f（x）是定义在R上的函数，且f（1-x）=f（1+x），f（x）+f（4-x）=1，则（　　）
A. B. f（x）是奇函数
C. f（x）的图象关于直线x=1对称 D. 4是f（x）的周期
11.在如图所示的透明的正三棱台形容器ABC-A1B1C1内注入一些水（容器厚度忽略不计），水平放置时水平面DEF与底面平行，且水平面DEF与下底面ABC的距离为，AB=6，A1B1=2，正三棱台形容器ABC-A1B1C1的高为2，下列结论正确的有（　　）
A. 正三棱台形容器ABC-A1B1C1的体积为
B. 正三棱台形容器ABC-A1B1C1的侧面积为
C. 等边三角形DEF的边长为3
D. 水的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如果复数z满足|z-1|+|z+2|=3，那么|z-1-i|的最大值是 .
13.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，Q为正方形AA1D1D内一动点，且B1Q∥平面BC1P，则点Q的轨迹的长度为 .
14.在△ABC中，D在边AB上，CD平分∠ACB，若AC=3，BC=1，且，则AB= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图所示的四棱锥P-ABCD中，PA⊥AB，PA⊥AD，BC∥AD，AB⊥AD，PA=AB=，F为PC的中点.
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）若P，B，C，D在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面ABCD上.
16.(本小题15分)
已知函数.
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）将f（x）的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x），若，，求cosx0的值.
17.(本小题15分)
已知函数.
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f（x）≥k对于恒成立，求k的取值范围.
18.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且.
（1）求∠A；
（2）在△ABC所在平面内取一点D（D与B在AC两侧），且DC=2，DA=1，
（i）若，求DE的长；
（ii）若∠B=60°，求△BCD面积的最大值.
19.(本小题17分)
意大利著名物理学家达 芬奇思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？可以用双曲函数来描述该形状，基本的双曲函数有：双曲正弦函数sinh（x）=和双曲余弦函数cosh（x）=.
（1）求cos2x-sinh2x的值；
（2）求不等式：sinh（2x-1）+sinh（x-2）＜0的解集；
（3）若函数y=2mcosh（2x）-2sinh（x）-3的图象在区间[0，ln2]上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】AB
10.【答案】ACD
11.【答案】AC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】在四棱锥P-ABCD中，取PB中点M，连接MF，AM，
由F为PC的中点，
得MF∥BC，，
由，得，
则MF=AE，
而MF∥AE，因此四边形AEFM为平行四边形，
所以EF∥AM，又EF 平面PAB，AM 平面PAB，
所以EF∥/平面PAB 由PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
得PA⊥AE，则，
由AB⊥AD，得，而AE=1，，BE=2，
则，∠ABE=30°，∠EBC=60°，又BE=BC=2，则CE=2，
而P，B，C，D在同一个球面上，且PE=BE=CE=DE=2，
因此点E为球心，
所以球心在平面ABCD上
16.【答案】最小正周期为4π，单调递减区间是
17.【答案】（-∞，-6）∪（6，+∞） f（x）为奇函数．证明如下：
由（1）可知，f（x）的定义域关于原点对称，
因为，
所以f（x）为奇函数
18.【答案】 （i）；（ii）
19.【答案】1 （-∞，1）
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