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2025-2026学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={（x，y）|x，y∈N，y≥x}，B={（x，y）|x+y=10}，则A∩B中元素的个数为（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2.下列图象表示的函数中，在R上是增函数的是（　　）
A. B.
C. D.
3.在△ABC中，已知B=，AC=，AB=2，则BC=（　　）
A. 3 B. C. D.
4.设α，β，γ是三个不同平面，且α∩γ=l,β∩γ=m,则α∥β是l∥m的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，且，则（　　）
A. tan（α-β）=1 B. tan（α+β）=1
C. tan（α-β）=-1 D. tan（α+β）=-1
6.已知，那么（　　）
A. aa＜ab＜ba B. ab＜aa＜ba C. aa＜ba＜ab D. ab＜ba＜aa
7.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为π，侧面积分别为S甲和S乙，圆锥的高分别为h甲和h乙，若，则=（　　）
A. B. C. D.
8.已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，f（x-1）为偶函数，g（x+2）为奇函数，f（0）=2，f（x+1）=g（2-x）+1，则f（1956）+g（2026）=（　　）
A. -2 B. 0 C. 3 D. 4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题为真命题的是（　　）
A. 若复数z=a+bi（a,b∈R）为纯虚数，则a=0，b≠0
B. 复数2-i在复平面内对应的点在第二象限
C. 若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=i
D. 若|z1|=|z2|=1，则|z1-z2|的最大值是2
10.已知P是△ABC的外接圆圆O上的动点，且，，则下列结论正确的是（　　）
A.
B.
C. 在上的投影向量为
D. 的取值范围是[0，16]
11.在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且，现有下列5个条件：①；②b=10；③a=2b；④c=2a；⑤△ABC的面积为.下列结论正确的是（　　）
A. 若△ABC满足条件①，则
B. 存在一个△ABC可以同时满足上述5个条件中的3个条件
C. 任意一个△ABC最多只能同时满足上述5个条件中的3个条件
D. 有且仅有4个△ABC可以同时满足上述5个条件中的2个条件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则实数λ= .
13.若关于x的不等式ax-b≤1解集为[3，+∞），其中a,b∈R，则的取值范围为 .
14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，F，G分别是棱AA1，BC，C1D1的中点，若在平面EFG分割正方体所得的两个几何体内部均能放入球O，则球O的半径的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数的最大值为1.
（1）求常数a的值；
（2）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式及其在[-π，0]上的值域.
16.(本小题15分)
在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，AB=1，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱DD1的中点.
（1）求证：MO∥平面ABD1E1；
（2）证明：B1D⊥平面ABD1E1.
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若.
（1）求的值；
（2）若的周长为5，求△ABC外接圆的半径R与内切圆半径r的比值.
18.(本小题17分)
如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，BC=4，AB=AD=CD=2，EF∥平面ABCD，AE=DE，EF=1，EF到平面ABCD的距离为.
（1）求直线BD与EF所成的角的大小；
（2）求五面体ABCDEF的体积；
（3）若二面角E-AD-B的正切值为2，求CE与平面ADEF所成角的正弦值.
19.(本小题17分)
已知函数与的定义域均为（-∞，0），其中a∈R.
（1）当a=0时，求函数y=f（x）g（x）的最值与单调区间：
（2）若f（x）与g（x）的单调性相反，求a的取值范围；
（3）若a＜0，且存在x1∈[-4，-1]，x2∈[2a,a]，使得|f（x1）-g（x2）|≤1，求a的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】AD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABC
12.【答案】3
13.【答案】（-）
14.【答案】
15.【答案】a=-1 [-2，1]
16.【答案】连接AD，OM，AD1如图所示，
∵O为底面正六边形ABCDEF的中心，∴O是AD的中点，
∵M是DD1的中点，∴MO为ΔADD1的中位线，
则MO∥AD1，
∵AD1 平面ABD1E1，MO 平面ABD1E1
∴MO∥平面ABD1E1 连接BD1，BD，B1D1如图所示，
∵O为底面正六边形ABCDEF的中心，∴∠ABC=∠BCD=120°，
∵BC=DC，∴∠CBD=30°，∠ABD=120°-30°=90°，即AB⊥BD，
∵六棱柱．ABCDEF-A1B1C1D1E1F1是正六棱柱，B1B⊥底面ABCDEF，
∵AB 底面ABCDEF，∴B1B⊥AB，
∵B1B∩BD=B，∴AB⊥平面B1BDD1，
∵B1D 平面B1BDD1，∴B1D⊥AB，
∵底面ABCDEF是正六边形，BC=CD=AB=1，∠BCD=120°，∴，
∵B1B⊥底面ABCDEF，BD 底面ABCDEF，∴B1B⊥BD，
∵，∴，
∵B1B∥A1A，B1B=A1A，B1B⊥BD，B1B=BD，
∴四边形B1BDD1为正方形；∵B1D，BD1为正方形B1BDD1的对角线，
∴B1D⊥BD1，
∵B1D⊥AB，B1D⊥BD1，AB 平面ABD1E1，BD1 平面ABD1E1且BD1∩AB=B，
∴B1D⊥平面ABD1E1
17.【答案】解：（1）因为，
所以，
所以sinBcosA-2sinBcosC=2cosBsinC-sinAcosB，
即sinBcosA+sinAcosB=2sinBcosC+2cosBsinC，
所以sin（A+B）=2sin（B+C），
所以sinC=2sinA，即；
（2）由（1）知sinC=2sinA，所以c=2a,
又△ABC的周长为5，所以a+b+c=b+3a=5，
由余弦定理得b2=c2+a2-2accosB，
所以，解得a=1，c=2，b=2，
因为，且0＜B＜π，
所以，
所以，
从而，
由正弦定理得，
所以，所以．
18.【答案】30°
19.【答案】函数 f（x）g（x）的减区间为（-2，0），增区间为（-∞，-2），最大值为0，无最小值 （-∞，2]
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