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2025-2026学年安徽省合肥市第八中学教育集团蜀山分校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知，其中i为虚数单位，则|z|=（　　）
A. 2 B. C. 1 D.
2.对于非零向量，下列命题正确的是（　　）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则，其中λ＞0
D. 若，则在上的投影向量为（是与方向相同的单位向量）
3.已知向量不共线，且，若，则λ，μ的可能值是（　　）
A. λ=2，μ=-1 B. λ=-2，μ=-4 C. λ=2，μ=3 D. λ=-1，μ=2
4.在棱长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′中，三棱锥C′-ABD的体积是（　　）
A. 8 B. 4 C. D.
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=，b=，A=45°，则 B=（　　）
A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150°
6.在△ABC中，若，则此三角形一定是（　　）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
7.在△ABC中，D为BC边上的中点，E在AD上且AE=2ED，若，则λ-μ=（　　）
A. B. C. -1 D. 1
8.在△ABC中，，点O在△ABC所在平面内且满足，则的最大值为（　　）
A. 1 B. C. 2 D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量下列结论正确的是（　　）
A. 与能作一组基底 B.
C. D. 与的夹角为
10.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若，sinB=2sinAcosC，△ABC的面积是1，则（　　）
A. C=135° B. C=45°
C. D. △ABC是等腰三角形
11.已知在△ABC中，G为重心，直线l过点G交边AB于点D，交边AC于点E，且D，E两点不与△ABC的顶点重合，若，则（　　）
A.
B. 若与共线，则AB=AC
C.
D. 当x+y取最小值时DE∥BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，已知，则角A为 .
13.如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是 .
14.已知四面体ABCD中，，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=1+mi（m∈R），其中i为虚数单位.
（1）若z-（m2-i）为纯虚数，求复数z；
（2）若复数z（2+i）在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.
16.(本小题15分)
已知向量，且.
（1）求的坐标；
（2）求与垂直的单位向量的坐标；
（3）若，当t∈[0，2]时，求的取值范围.
17.(本小题15分)
某工件是一个组合体，如图所示，它由两个半球和一个圆柱组成.已知球的直径是4cm,圆柱的高是2cm.
（1）求这种工件的体积；
（2）现要在这种工件的表面电镀一层防锈金属膜，每平方厘米需要花费20元，共需多少费用？
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且，
（1）求角C；
（2）若△ABC角平分线，求△ABC的面积S的最小值.
19.(本小题17分)
如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x,y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系，若在θ仿射坐标系下，则把有序数对（x,y）叫做向量的仿射坐标，记为=（x,y），已知在θ仿射坐标系下=（1，1）.
（1）求向量2+，-的仿射坐标；
（2）当θ=时，求cos∠AOB；
（3）设∠AOB=α，若|-t|≥对 t∈R恒成立，求cosα的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】29π
15.【答案】z=1+i （2，+∞）
16.【答案】（4，2） （，-）或（-，） [1，]
17.【答案】π 480π
18.【答案】
19.【答案】解：（1）由已知得：==，
所以的仿射坐标为（7，3），
同理=2，所以的仿射坐标为（2，0）；
（2）当时，.|，
所以=，
=，
=，
所以=；
（3）因为==4+4cosθ，
=，
，=，
因为|-t|≥，所以，
所以2（1+cosθ）t2-8（1+cosθ）t+6cosθ+7≥0对 t∈R恒成立，
又因为1+cosθ＞0．所以Δ=[8（1+cosθ）]2-4×2（1+cosθ）×（6cosθ+7）≤0，得，
此时．
因为，且，所以，
所以，所以的最大值为．
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