资源简介

2025-2026学年浙江省宁波市六校联盟高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.点A在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示，正确的是（　　）
A. A∈l，l∈α B. A∈l，l α C. A l，l α D. A∈l，l α
2.若复数z满足，则z的实部与虚部之和为（　　）
A. B. C. D.
3.在△ABC中，已知b=2，B=45°，，则角C为（　　）
A. 60° B. 30°或150 C. 60°或120° D. 120°
4.若某平面图形用斜二测画法得到的直观图是边长为4的正三角形，则原图形的面积为（　　）
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是（　　）
A. 四棱柱的所有面均为平行四边形
B. 如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等
C. 用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似
D. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
6.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，且，若，则λ=（　　）
A. B. - C. - D. -
7.在三棱锥P-ABC中，AB=AC=6，∠BAC=60°，PA=6，点P在平面ABC上投影为A，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（　　）
A. 84π B. 88π C. 92π D. 96π
8.已知△ABC满足，则sinA的最大值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，下列说法正确的是（　　）
A. 若，则k=-6
B. 若与的夹角为钝角，则
C. 若向量，且
D. 若在方向上的投影向量，则k=0
10.已知复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（　　）
A. z3=-1
B. z2-z+1=0
C. z2+z4+ +z2026=0
D. 若复数z1满足|z1|=|z|，则|z1-2|的最小值为1
11.已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且cosA+sinB=0，下列说法正确的是（　　）
A. △ABC为钝角三角形 B. 若a=2，则b=2tanB
C. D. 2tanB+tanC的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量满足，且，则与的夹角为 .
13.已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足，则A= .
14.在△ABC中，D为AB中点，点E满足，，AE⊥CB，延长BE交AC于点F，则= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z满足，且（i为虚数单位）.
（1）若z是方程的一个复根，求p和q的值；
（2）若复数（z+ai）2在复平面上的对应点在第二象限，求实数a的取值范围.
16.(本小题15分)
如图所示，现有一块铁料，形状为正四棱台ABCD-A1B1C1D1，该棱台上、下底面的边长分别为4cm和8cm,高为6cm,O1，O分别是棱台上、下底面的中心.
（1）求正四棱台ABCD-A1B1C1D1的表面积；
（2）现将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求此圆台的体积.
17.(本小题15分)
已知锐角△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且.
（1）证明：A=2B；
（2）求的取值范围.
18.(本小题17分)
如图所示，在△ABC中，已知CA=1，CB=4，∠ACB=60°，点D是边AB上一点，点E是边CB上一点，两点分别满足，记AE与CD相交于点F.
（1）求；
（2）证明：（1-λ）|AC|2+λ|BC|2=|CD|2+|AD| |BD|；
（3）当时，求cos∠EFC.
19.(本小题17分)
如图所示，已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若△ABC内部一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，则称点P为△ABC的布洛卡点，θ称为△ABC的布洛卡角.
（1）当△ABC是边长为4的正三角形时，其布洛卡点恰为△ABC的内心，求此时△PBC的外接圆半径；
（2）证明：；
（3）已知，求.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】-6
15.【答案】p=-4，q=5 （3，+∞）
16.【答案】（80+48）（cm2） 56π（cm3）
17.【答案】由，
结合正弦定理可得sinAcosB=2sinBcos2=sinB（1+cosA），
化简得sinAcosB-cosAsinB=sinB，即sin（A-B）=sinB，
因为A、B为三角形的内角，所以A-B=B，可得A=2B （1，2）
18.【答案】 由=λ，=（1-λ）+λ，=（1-λ），
==（1-λ）2+λ2+2λ（1-λ） ，
|| ||=λ（1-λ）=λ（1-λ）=λ（1-λ）-2λ（1-λ） +λ（1-λ），
两式相加，化简可得+|| ||=（1-λ）+λ，
即（1-λ）|AC|2+λ|BC|2=|CD|2+|AD| |BD| -
19.【答案】 由题意得S△ABC=S△PBC+S△PCA+S△PAB，
其中，，，
故，
根据余弦定理，可得PC2=PB2+a2-2PB acosθPA2，
PC2+b2-2PC bcosθ，PB2=PA2+c2-2PA ccosθ，
三式相加，化简得，
故
第1页，共1页

展开更多......

收起↑