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安徽池州市2025-2026学年高二下学期4月期中质量检测数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在的展开式中，常数项为（ ）
A. 20 B. -20 C. 160 D. -160
2.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列说法一定正确的是( )
A. 函数f(x)在x=1处取得极大值
B. 函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增
C. 函数f(x)有两个零点
D. 当x[-1,3]时,函数f(x)的最大值是f(-1)
3.记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A. 5 B. 2 C. 0 D.
4.已知函数f(x)=(x+1)在x=1处有极小值, 则a=( )
A. -1 B. -5 C. -1或-5 D. -1或5
5.有7个座位连成一排,现有3人入座,则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为( )
A. 144 B. 72 C. 48 D. 36
6.我国国旗的标准尺寸有五种通用规格(用“长宽”表示),其中长与宽之比均为3:2.
规格 一号 二号 三号 四号 五号
尺寸(单位:cm) 288192 240160 192128 14496 9664
根据上表,可以判断五种规格国旗的( )
A. 周长构成等差数列 B. 周长构成等比数列 C. 面积构成等差数列 D. 面积构成等比数列
7.现将数列、立体几何、解析几何、导数、概率与统计这五道解答题排序,数列必须在第一道或者第二道位置,解析几何不能在第一道,则不同的题目分配方式有( )
A. 30种 B. 36种 C. 42种 D. 48种
8.若实数x,y满足+(-x)=,下列说法正确的是( )
A. x存在最小值 B. x存在最大值 C. y存在最小值 D. y存在最大值
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列求导运算正确的是（）
A. B.
C. D.
10.已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
11.已知数列{},给出以下定义:对于任意n,都有+>,则称数列{}为“友好数列”,下列说法正确的有( )
A. 若数列{}满足=,且前n项和为,则数列{}为“友好数列”
B. 若数列{}满足=1,=2,且数列{}为“友好数列”,则>2026
C. 若数列{}为“友好数列”,Z且==2026,则数列{}没有最小项
D. 若数列{}为“友好数列”,则对于任意m,当1< m<2026时,总有<成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，则数列的前2026项和为 ．
13.小唐和小陈去旅游，他们打算从A、B、C、D等8个景点中各自随机选择4个，若他们不同时选择景点，且有且只有两个景点是相同的，则选择方法共有 种．（用数字作答）
14.已知关于的不等式有且仅有2个整数解，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数．
(1)当时，求函数在上的最值；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
16.(本小题15分)
已知数列{}的首项=,且满足=(n).
(1)求证:数列{}是等差数列;
(2)记=,求{}的前n项和.
17.(本小题15分)
用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的数.
(1)求可组成多少个四位数;
(2)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一排,求第101个数;
(3)求可组成多少个偶数互不相邻的六位数.
注:结果均用数字作答.
18.(本小题17分)
已知的展开式中，第4项与第5项的系数之比为8:7．
(1)求的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求展开式中系数最大的项．
19.(本小题17分)
已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若的两个极值点分别为和，且．
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】ABC
10.【答案】AC
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）当时，，则，
令，则，由得，
时，，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以在上单调递减，
所以在上的最大值为，最小值为．
（2）由题意得，即，
设，即，由，即在上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立．
设，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围为．

16.【答案】解：（1）由题意知 ，所以由 ，得 ，
所以 ，又 ，
所以 是首项为2，公差为3的等差数列，
（2）由（1）得， ，即 ．
，
所以 ①，
②，
① ②，得 ，
所以 ．

17.【答案】解：（1）要组成没有重复数字的四位数，首位（千位）不能为0，需分步骤完成：
1. 确定千位数字：从1-6中选1个，有6种选择；
2. 确定百位、十位、个位数字：从剩余6个数字（包含0）中选3个排列，有种方法。
根据分步乘法计数原理，总数为：
（2）将四位数按从小到大排列，先分析首位数字：
首位为1的四位数：千位固定为1，剩余三位从0,2,3,4,5,6中选3个排列，有个，由于120 > 101，第101个数的首位为1。
再分析百位数字（首位为1）：
百位为0：十位和个位从剩余5个数字（2,3,4,5,6）中选2个排列，有个（对应第1-20个数）；
百位为2：同理有20个（第21-40个数）；
百位为3：20个（第41-60个数）；
百位为4：20个（第61-80个数）；
百位为5：20个（第81-100个数）。
此时前100个数已用完，第101个数为百位为6的最小数：千位1，百位6，剩余十位和个位从0,2,3,4,5中选最小的2个数字排列，即十位0、个位2，
故该数为1602。
（3）要组成偶数互不相邻的六位数，需满足：
六位数首位不为0；
偶数（0,2,4,6）互不相邻；
数字不重复。
1：确定奇偶数字个数奇数有1,3,5共3个，偶数有0,2,4,6共4个。要使偶数互不相邻，需先排奇数，再插偶数。
因3个奇数排好后形成4个空位，可插入3个偶数（位数），故需选3个偶数（从4个偶数中）。
2：分类讨论（含0与不含0）
情况1：3个偶数不含0（即选2,4,6）①排3个奇数：种；
②4个空位插3个偶数：种；
总数：（选奇数只有1种，选偶数只有1种）。
情况2：3个偶数含0（即选0和2个非0偶数，有种选法）①排3个奇数：种；
②插3个偶数（含0）：0不能在首位（即第一个空位），总插法为种（为无限制插法，为0在首位的插法）；
总数：。
总个数两类情况相加：。
18.【答案】解：（1）的展开式的通项为
，
则，
则第4项的系数为，第5项的系数为．
因为第4项与第5项的系数之比为所以，解得．
（2）因为所以展开式中二项式系数最大的项为第6项，
所以展开式中二项式系数最大项为．
（3）设项为展开式中系数最大的项，且，
则，
即所以.
即，解得，
因为所以所以展开式中系数最大的项为.

19.【答案】解：（1）当时，，
则的定义域为，则，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）（i），定义域为．
因为函数有两个极值点，所以是方程的两个正根．
令，则定义域为，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则．
又当时，，当时，，
所以当时，的图象与直线有两个不同的交点，
综上，实数的取值范围为．
（ii）由（i）知，，且时，，
又，所以.
令，则，
易得在上单调递增，且，
所以当时，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，则，
又因为，所以，
所以，即．

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