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安徽鼎尖教育2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数（ i为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
2.在中，，，，则（ ）
A. 16 B. C. 9 D.
3.如图所示,某测量人员在高为100m的山顶A处,测得地面同一直线上的B、C两点的俯角分别为和,则B、C两点的距离为（）
A. 100m B. 100(-1)m C. m D. 50m
4.《九章算术》中将正圆台称为“圆亭”.某中学数学社团仿照古制制作了“圆亭”模型,模型上、下底面周长分别为2和4,高为3,则该模型的体积为（）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
5.用斜二测画法画出的水平放置的ABC的直观图是边长为2的正三角形,则原ABC的面积为（）
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
6.对于简单凸多面体,满足欧拉公式:顶点数V-棱数E+面数F=2.已知某正多面体的每个面都是正三角形,每个顶点连接4条棱,则该正多面体的棱数E为（）
A. 6 B. 12 C. 16 D. 20
7.在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知非零向量,不共线,给出下列四个结论:
若(+)(-),则||=||;
若>0,则存在正实数,使得+与垂直;
“(+)>”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件;
若||=||=1,则“|+|=”是“与的夹角为”的充要条件.
其中正确结论的个数是（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z满足z(1+i)=2-2i(i为虚数单位),且z是关于x的实系数一元二次方程+ mx+n=0的一个根,则下列说法正确的有（）
A. z的虚部为-2 B. 复数z的共轭复数为-2i
C. m=0 D. n=4
10.如图,已知正三棱柱ABC-的所有顶点都在表面积为16的球O的球面上,底面边长为a,侧棱长为h,则下列说法正确的有（）
A. 正三棱柱的外接球的球心O一定是上下底面中心连线的中点
B. 若底面边长a=,则侧棱长h=2
C. 若侧棱长h=2,则该正三棱柱的体积为3
D. 该正三棱柱的侧面积的最大值为12
11.已知ABC中,=|-|=2,点P为边BC上的动点,满足=+(,为实数),则下列说法正确的有（）
A. ABC的面积的最大值为
B. 当P为BC中点时,||=
C. 若ABP的面积为ABC面积的,则=
D. 若BAC=,则的最小值为-1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若与共线，则实数 ．
13.已知三棱锥的三条侧棱两两垂直,且三个侧面的面积分别为1,2,3,则该三棱锥的体积为 .
14.在平面斜坐标系中，，平面上任意一点P的斜坐标定义为：若，其中、分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，则P的斜坐标为．已知点A的斜坐标为，点B的斜坐标为．若，则实数k的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知，是夹角为的两个单位向量，设，．
(1)求证：与垂直；
(2)求向量与的夹角的大小．
16.(本小题15分)
已知复数z满足|z|=,且z的共轭复数满足(1+2i)为纯虚数.
(1)求复数z;
(2)若复数w=,求w在复平面内对应点的坐标,并判断该点所在的象限.
17.(本小题15分)
在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的周长的取值范围．
18.(本小题17分)
如图,在直三棱柱ABC-中,底面ABC是直角三角形,ACB=,AC=BC=2,侧棱=3.该直三棱柱内有一个圆柱,圆柱的下底面在直三棱柱的底面ABC上,上底面在直三棱柱的上底面上,且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切.
(1)求该圆柱的表面积;
(2)求该直三棱柱的外接球O的体积;
(3)点M是直三棱柱外接球表面上的动点,N是圆柱表面上的动点,记|MN|=d,R为外接球的半径,求的最大值.
19.(本小题17分)
在中，角的对边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)若，解答下列问题：
①当的面积为时，求AC边上的中线长；
②若点D在边上，且平分，求的取值范围．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABC
12.【答案】 /0.5
13.【答案】
14.【答案】6
15.【答案】解：（1）由已知，
，
所以．
因为，是夹角为的单位向量，
所以，且，
代入得，
因此，与垂直
（2）设向量与的夹角为，则．
先计算．
再计算，
所以；
，
所以．
于是，
因为，故（或）．

16.【答案】解：(1)设z=a+bi,其中a,bR,
由|z|=得+=5,
又=a-bi,
则(1+2i)=(a-bi)(1+2i)=a+2ai-bi-=(a+2b)+(2a-b)i.
因为(1+2i)为纯虚数,
所以a+2b=0，且2a-b≠0.
联立方程解得b=1.
当b=1时,a=-2;当b=-1时,a=2.
所以z=-2+i或z=2-i.
(2)由w=,而=,故w=.
当z=-2+i时,w===-+i,
w在复平面内对应点的坐标为(-,),且该点位于第二象限;
当z=2-i时,w===-i,
w在复平面内对应点的坐标为(,-),且该点位于第四象限.
17.【答案】解：（1）由正弦定理，得，
代入已知，得．
因为，，得，即．
又为锐角三角形，所以；
（2）由正弦定理得，所以，．
因为，所以，即，
因为是锐角三角形，所以解得．
周长．
．
由于，则，从而，
，
所以周长的取值范围是．

18.【答案】解：(1)在直三棱柱ABC-中,底面是等腰直角三角形,AC=BC=2,ACB=,
所以AB=2.
ABC的内切圆半径r===2-.
圆柱的高h==3，
所以圆柱的表面积S=2+2rh=2r(r+3)=2(2-)(5-)=2(12-7)=24-14;
(2)直三棱柱的外接球球心O位于上下底面外心连线的中点.
底面直角三角形外心是斜边AB的中点D,则CD==，
=3,所以OD=，
外接球半径R==,
体积V==)==；
(3)由球的几何性质,d的取值范围为|R-|ON||dR+|ON|,
代入得==,
即的最大值,等价于求圆柱表面上的点到球心O的距离|ON|的最大值的平方,
设点N在底面ABC的投影为N',N到底面的竖直距离为h,
=|ON'+|h-,
当|h-|取最大值(即N在圆柱上底面或下底面的圆周上)时,竖直分量最大,
同时水平分量N'|的最大值出现在底面内切圆圆周上,
因此|ON|的最大值必在圆柱上下底面的内切圆圆周上取得,
在RtABC中,内心I到外心的距离为|=|-|CI|=-r=2-,
N'=|+r=4-2,
=+=-16,
故=-16.
19.【答案】解：（1）根据已知，由正弦定理得，
因为，
所以，
由得，故．
（2）①由（1）知，则，
由面积得，即，
又由余弦定理，
代入，得，
设的中点为，则，
，
故中线长为．
②由角平分线得，
又，得，，
则，
由余弦定理，即，
所以，，
由（当且仅当时取等号），得：
所以，
又为三角形边长，则，故
综上所述，的取值范围为．

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