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四川字节精准教育联盟—精准备考2025-2026学年下学期期中教学质量评价数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知点，向量，则（ ）
A. B. C. D.
2.设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（ ）
A. B. C. 10 D. 8
5.设向量，，则（ ）
A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的充分条件
C. “”是“”的必要条件 D. “”是“”的充分条件
6.已知平面上不共线的四点，满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7.在中，，，则的外接圆半径为（ ）
A. B. C. D.
8.已知向量，且，则的最大值为（ ）
A. 7 B. 8 C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法错误的是（）
A. 平行六面体的各个面都是平行四边形
B. 圆柱的侧面展开图是一个正方形
C. 将棱台的侧棱延长后必交于一点
D. 将直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周形成的旋转体是圆锥
10.在复平面内,复数z=1+i对应的点为Z,向量绕原点O逆时针旋转至处,若旋转角为,则（）
A. Z的坐标为(,1)
B. 当=时,||=2
C. 当=时,以O为圆心,|OZ|为半径的圆中劣弧的长为
D. 的坐标为(-,+)
11.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若为锐角三角形，且，则的最小值为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=(+m-12)+(+2m-8)i(i为虚数单位)是纯虚数,则实数m= .
13.底面边长为8的正三棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为4,高为5的正三棱锥,所得棱台的体积为 .
14.已知向量，，为单位向量，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在中，是的重心，且.
(1)求的值；
(2)若过点的直线与线段交于点，与线段交于点，且，求的值；
(3)若，点是线段上一点（不同于端点），过点分别向作垂线，垂足分别为，求的最小值.
16.(本小题15分)
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求C；
(3)若，求．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，为侧棱的中点，为线段上一点.

(1)证明：平面平面；
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)设点为三棱锥的外接球的球心，试判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
18.(本小题17分)
设a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且4b2cosC=a2+b2-c2+2bccosA.
（1）求角C的大小；
（2）已知c=7，a=5，求△ABC的面积.
19.(本小题17分)
在四边形ABCD中,ABCD,CD=2AB=6,==,其中M,N分别为线段AB,CD的中点.
(1)证明:=-;
(2)求AB与CD之间的距离;
(3)求.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】BCD
11.【答案】AB
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】9
15.【答案】解：（1）因为是的重心，所以，得，
两边平方可得，又，
所以，
即，所以.
（2）因为为的重心，所以，
又因为，所以，
由于三点共线，所以，
所以.
（3）由（1）知，又，
所以，解得，
，解得，
，解得，
所以的面积为，
又，
所以.
因为，
同理，，
所以，当且仅当时，取等号，
即的最小值为.

16.【答案】解：（1）由正弦定理得，即，，
由余弦定理得，由得．
（2），即，
由余弦定理得，
由得．
（3）由，，得，
．

17.【答案】(1)证明:平面PAB平面ABCD,交线为AB,BCAB,平面ABCD,
则BC平面PAB.
∵AE平面PAB,则CBAE.
又AEPB,PBBC=B,PB,BC平面PBC,
∴AE平面PBC.
∵AE平面AEF，
平面AEF平面PBC.
(2)∵EF//平面PCD,平面PDC平面PBC=PC,
∴EF//PC，F为线段BC的中点.
取AB的中点O,连接OP,则OP平面ABCD.
以O为坐标原点,OB,OP所在直线为x,z轴,过O作BC的平行线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系 ,
P(0,0,),A(-1,0,0),D(-1,2,0),F(1,1,0),
=(-1,0,),=(-1,0,0),=(1,1,-),
设平面PAD的法向量为=(x,y,z),
则,
令z=1,x=-,=(-,0,1).
设PF与平面PAD所成角为，
则===.
(3)由(1)知,AE平面PBC,
因为EF平面PBC,所以AEEF,AEF为直角三角形,且ABF也为直角三角形,
则三棱锥E-ABF外接球的球心为线段AF的中点G,
则OG//BF,OG//AD且OG=BF,
即点G恒在与AD平行的直线上,
点G到平面PAD的距离为B到平面PAD的一半,
则三棱锥E-ABF的体积为定值,
===,
=|PD|=22=,
=.
18.【答案】解：（1）因为4b2cosC=a2+b2-c2+2bccosA，
在△ABC中，由余弦定理可得：a2+b2-c2=2abcosC，
所以4b2cosC=2abcosC+2bccosA，
可得2bcosC=acosC+ccosA，
由正弦定理可得：2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，
又因为sinB＞0，
可得cosC=，而C∈（0，π），
可得C=；
（2）c=7，a=5，C=，
由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC，即49=25+b2-2×5b×，
即b2-5b-24=0，
解得b=8或b=-3（舍），
所以△ABC的面积S△ABC=absinC=×5×8×=10．
即该三角形的面积为10．
19.【答案】解: (1) 证明:由题意可得=(+)(+)
=(+)(-)=-.
(2)-=-=,
解得DM=,同理CM=,
由题意易得MNCD,
设AB与CD间的距离为h,由勾股定理得+9=,解得h=.
(3) 由勾股定理得=+=+=9,得AD=3.
显然BC=AD=3,而=(-) = 9-9BAD=,
而BAD(0,),得BAD=,
同理ABC=,可得与间的夹角为,
于是=9=.
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