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福建厦泉五校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.(1+5i)i的虚部为( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 6
2.中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D. 或
3.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为
4.如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6.已知直三棱柱( )
A. B. C. D.
7.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，对称中心为O，以O为圆心作半径为1的圆，点M为圆O上任意一点，则的取值范围为 （ ）
A. [-6，4] B. [0，8] C. [-8，0] D.
8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△ABC，若，则 AC＝（ ）.

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知都是复数，下列选项中正确的是（ ）
A. 若，则或 B. 若，则
C. 若，则是实数 D. 若，则
10.的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则是等腰直角三角形
11.下列说法正确的是（）
A. 已知向量，，且，则
B. 向量，，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件
C. 若，、分别表示、的面积，则
D. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，，，则 ．
13.在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为 .
14.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数，复数在复平面内对应的点为
(1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值：
(2)若复数满足，求复数的共轭复数.
16.(本小题15分)
已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中.
(1)若，且，求；
(2)若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：的内角，，的对边分别为，，.已知______.
(1)求；
(2)若为的中点，，，求的面积.
18.(本小题17分)
如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求：
(1)刚发现走私船时，走私船与哨所的距离；
(2)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？
(3)若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？
19.(本小题17分)
现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.

(1)若，，求该几何体的体积.
(2)若正四棱锥的侧棱长为，，
（i）求正四棱锥的侧面积.
（ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】AD
11.【答案】ACD
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由题意知，z2=3-4i,
因为复数z2是关于x的方程x2+mx+n-1=0的一个根，
所以（3-4i）2+m（3-4i）+n-1=0，
即3m+n-8-（4m+24）i=0，
即，
解得m=-6，n=26，所以m+n=20；
（2）由题意可得，
∴．
16.【答案】解：（1）因为，且，所以设，
所以，
解得，
所以或.
（2）由，得，
所以，
因为，，可得，
因为，所以，
当且仅当，时取等号.
所以.
设与夹角为，则此时.

17.【答案】解：（1）若选①，
由正弦定理可得，因为，
所以，即，
因为，所以，所以，则.
若选②，则，
由正弦定理可得，又，
所以，即，因为，所以.
若选③，则，
由正弦定理可得，
即，
所以，
所以，又，
所以，因为，所以.
（2）因为为的中点，所以，因为，
所以，
即，解得或（舍去），
所以.

18.【答案】解:(1)由C在A的南偏东,在B的东北偏方向,ABC=,
CAB=,ACB=,由正弦定理得=,
=,=(+)=+
=,代入上式得:AC=10海里,
答:走私船C与观测点A的距离为10海里;
(2)ABC中,AC=10海里,AC=20海里,DAC=,
=+-2ADAC,
=300+1200-21020,
=900解得DC=30海里,
易知ADC=,故刚发现走私船时,走私船距缉私艇30海里,在缉私艇的北偏东方向上.
(3)设t小时后缉私艇在M处追上走私船,则MC=10t,DM=30t,
DCM=+=,
在CDM中,由余弦定理得=+-2DCMC,
=+900-210t30,化简得-t-3=0,
解得t=.
故缉私艇至少需要小时追上走私船.

19.【答案】解：（1）由条件可知，正四棱柱的高O1O=8，
所以正四棱柱的体积为6×6×8=288，
三棱锥P-A1B1C1D1的体积为，
所以该几何体的体积为288+24=312；
（2）（i），
所以，
正四棱锥P-A1B1C1D1侧面的高为，
所以正四棱锥的侧面积为；
（ii）如图，将长方形ABB1A1，△PA1B1和△PB1C1展开在一个平面，
PA1=PB1=PC1=6，A1B1=B1C1=8，
设∠A1B1P=α，，A1B1=AA1=8，，
，所以，
所以，
，
=，
当A，Q，N，C1四点共线时，AQ+QN+NC1最短，
所以=，
所以AQ+QN+NC1的最小值为．
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