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2026年北京市东城区期中考试复习卷
复习范围：数列+导数+立体几何+概率
一、单选题（本大题共10小题，共40分）
1．数列的第8项为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是等差数列前项和，，，当取得最小值时（ ）．
A．2 B．14 C．7 D．6或7
3．数列的前n项和，则（ ）
A．70 B．120 C．40 D．14
4．在等差数列中，，则（ ）
A．6 B．10 C．12 D．18
5．公比不为零的等比数列中，，，（ ）
A．2 B．4 C．9 D．8
6．设函数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．0
7．若函数在是单调减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（ ）
A． B． C．D．
9．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5个小题。共25分）
11．已知数列的首项，满足，则________.
12．设等差数列的前项和分别为，且，则__________.
13．在等比数列中，，，则公比_____．
14．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．
15．设是可导函数，且，则__________.
三、解答题（本大题共6个小题，共85分）
16（13分）．记数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，证明：．
17（14分）．如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
18（14分）．研究机构对某省内所有“985工程”院校专业毕业十年的毕业生的年薪情况进行调研，所得数据统计如图所示，已知.
(1)求，的值；
(2)以频率估计概率，若在所有被调研的毕业生中随机抽取4人，记年薪在万元的人数为，求的分布列以及数学期望.
19（14分）．某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小 形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品．
(1)求一位顾客获得纪念品的概率；
(2)若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望．
20（15分）．已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值．
21（15分）．已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)试讨论函数的单调性.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C D A D C B C
11．.
12．
13．
14．或0
15．1
16．（1）当时，，
故，即，
所以，
故是以为首项，2为公差的等差数列，
所以．
（2）由（1）得，
所以，
所以
，
因为，所以．
17．（1）因为且，所以四边形为平行四边形，则，
又平面平面，所以平面；
（2）由平面平面，得，
连接，由且，所以四边形为平行四边形，又，
所以平行四边形为正方形，所以，
又，，
又平面，平面，
由平面，所以平面平面；
（3）由平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
故为二面角的平面角，即
设，在中，，作，垂足为，
由（2）知，平面平面，平面平面平面，所以平面，
则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角，
在中，，
所以，
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为.
18．（1）依题意可知组距为，则，
解得.
（2）依题意可知年薪在万元之间的概率为，随机变量服从二项分布，即；
则，
，
，
，
.
分布列如下表所示.
0 1 2 3 4
故.
19．（1）设一位顾客抽到红球的个数为；当时，顾客获得纪念品．
，
，
．
（2）由已知可得：，
则．
所以的分布列为：
．
20．（1），
令，解得，
由得或，此时函数单调递增，
由得，此时函数单调递减，
所以函数在、上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，函数与的变化如下表：
0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可知：当时，函数取得极大值，，
当时，函数取得极小值，
，
又，
可知函数的最大值为9，最小值为.
21．（1）由函数，所以函数的定义域为，又，
所以，，
所以函数在点处的切线方程为：，即.
（2）因为函数的定义域为，且，
令，得，即.
若，，为常数函数；
若，由，得，由，得；
若，由，得，由，得；
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，为常数函数；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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