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《小升初奥数应用题：工程问题的深度解析》
【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】
知识梳理
1. 工程问题的基本概念
（1）工作总量：通常把一项工程的总工作量看作单位“1”。
（2）工作效率：单位时间内完成的工作量，如“甲每天完成 ”表示甲单独做需12天。
（3）工作时间：完成工作所需的时间。
（4）基本关系式：
工作总量 = 工作效率 × 工作时间
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间
工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率
2. 基本解题思路
（1）设单位“1”法：将总工程量设为“1”，是工程问题最常用的方法。
（2）效率相加原理：多人合作时，总效率 = 各人效率之和。
如甲效率 ，乙效率 ，合作效率为
（3）合作时间 = 1 ÷ 合作效率
3. 核心题型分类
类型 关键特征 解题策略
合作完成型 两人或多人同时工作，求合作时间 求效率和，再求时间
部分完成型 一人先做，再合作，求剩余时间或总时间 分段计算，列方程
轮流工作型 甲做1天，乙做1天，交替进行 找“周期”工作量，再算剩余
效率变化型 中途效率改变（如加快、减慢） 分段计算，注意效率调整
逆向求解型 已知合作时间与效率，求某人单独时间 利用“总效率 - 已知效率 = 未知效率”
多队合作型 三队或以上合作，可能有退出或加入 统一效率，分阶段分析
4. 常用方法与技巧
（1）设总工作量法：当工作效率分母有公倍数时，可设总工作量为最小公倍数，化分数为整数计算。
如甲12天完成，乙15天完成，设总工作量为60（12与15的最小公倍数），则甲效率为5，乙效率为4。
（2）单位“1”法：适用于大多数标准题型，简洁明了。
（3）画线段图法：帮助理解“先做后合”或“轮流工作”的过程。
（4）列方程法：设未知数，根据“工作量和 = 1”列方程。
（5）周期分析法：用于轮流工作，先算一个周期完成量，再看几个周期后剩余多少。
5. 易错点提醒
（1）混淆“效率”与“时间”：效率是“每天做几分之几”，不是“做几天”
（2）合作效率未相加直接用时间除
（3）轮流工作未考虑“周期”完整性
（4）分段计算时漏掉已做部分
（5）未统一单位（如时间单位不一致）
（6）结果未化为最简分数
6. 解题步骤
（1）读题圈关键词：“单独做”“合作”“先做”“轮流”“效率提高”等
（2）确定类型：是合作？轮流？部分完成？
（3）设单位“1”或设总工作量
（4）计算各自效率
（5）分段或列式计算
（6）画图或列表辅助
7.列式求解，验算作答
例题讲解
【例题1】（合作完成型）
题目：甲单独完成一项工程需要10天，乙单独做需要15天。两人合作，需要多少天完成？
解析：
设工作总量为1
甲效率： ，乙效率：
合作效率：
合作时间： （天）
答：需要6天完成。
【跟踪训练】
题目：A单独完成一项工程需12天，B需18天。两人合作，需多少天完成？
【例题2】（部分完成型）
题目：一项工程，甲单独做需20天，乙需30天。甲先单独做5天，剩下的由两人合作，还需多少天完成？
解析：
甲效率： ，乙效率：
甲5天完成：
剩余工作量：
合作效率：
所需时间： （天）
答：还需9天完成。
【跟踪训练】
题目：一项工程，甲单独做需25天，乙需50天。乙先做10天，剩下的由两人合作，还需多少天完成？
【例题3】（轮流工作型）
题目：甲、乙两人轮流做一项工程，甲单独做需12天，乙需18天。他们按甲做1天、乙做1天的顺序轮流工作，从甲开始。问：多少天可以完成？
解析：
甲效率： ，乙效率：
一个周期（2天）完成：
看需要几个周期： ，即7个周期后还剩
第15天是甲做，甲一天做 ，所以甲做1天即可完成
总天数： 天
答：15天可以完成。
【跟踪训练】
题目：甲单独做一项工程需15天，乙需10天。按乙做1天、甲做1天的顺序轮流，从乙开始。问：多少天可以完成？
【例题4】（效率变化型）
题目：一项工程，甲单独做需24天。甲做了6天后，效率提高了 ，问：照此速度，还需多少天完成？
解析：
原效率：
6天完成：
剩余工作量：
效率提高 ，即新效率为：
所需时间： （天）
答：还需13.5天完成。
【跟踪训练】
题目：一项工程，乙单独做需30天。乙做了10天后，效率提高了 ，问：还需多少天完成？
提升练习
1.一项工程，甲单独做需18天，乙需12天。两人合作若干天后，甲因病休息，乙单独又做了3天完成。已知工程共用9天，求甲做了多少天？
2.甲、乙、丙三人效率比为 ，他们合作6天完成工程的 。求丙单独做需多少天？
3.一项工程，甲做2天、乙做3天可完成 ；甲做3天、乙做2天可完成 。求甲单独做需多少天？
4.甲、乙两人轮流工作，甲每天做 ，乙每天做 ，按甲、乙、甲、乙……顺序，从甲开始。问：第几天完成？
5.一项工程，甲、乙合作需12天完成。甲单独做4天，乙单独做6天，共完成 。求乙单独做需多少天？
6.甲效率是乙的 ，两人合作10天完成工程的 。求甲单独做需多少天？
模拟赛场（奥数难度）
1.甲、乙两人合作一项工程需15天完成。甲做了5天后，乙加入，又合作6天完成全部工程的 。求乙单独做需多少天？
2.一项工程，甲单独做需40天。甲做若干天后，乙加入，两人合作8天完成。已知乙效率是甲的 ，求甲先做了多少天？
3.甲、乙、丙三人轮流做工程，甲需30天，乙需20天，丙需15天。按甲、乙、丙顺序每人做1天轮流，从甲开始。问：第几天完成？
4.甲、乙合作12天完成一项工程。若甲先做3天，乙再做8天，只能完成 。求甲单独做需多少天？
5.一项工程，甲做5天、乙做4天可完成 ；甲做4天、乙做5天可完成 。求两人合作需多少天？
6.甲、乙两人效率比为 ，他们合作6天后，甲效率提高 ，又合作4天完成全部工程。求乙单独做需多少天？
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【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】
知识梳理
1. 工程问题的基本概念
（1）工作总量：通常把一项工程的总工作量看作单位“1”。
（2）工作效率：单位时间内完成的工作量，如“甲每天完成 ”表示甲单独做需12天。
（3）工作时间：完成工作所需的时间。
（4）基本关系式：
工作总量 = 工作效率 × 工作时间
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间
工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率
2. 基本解题思路
（1）设单位“1”法：将总工程量设为“1”，是工程问题最常用的方法。
（2）效率相加原理：多人合作时，总效率 = 各人效率之和。
如甲效率 ，乙效率 ，合作效率为
（3）合作时间 = 1 ÷ 合作效率
3. 核心题型分类
类型 关键特征 解题策略
合作完成型 两人或多人同时工作，求合作时间 求效率和，再求时间
部分完成型 一人先做，再合作，求剩余时间或总时间 分段计算，列方程
轮流工作型 甲做1天，乙做1天，交替进行 找“周期”工作量，再算剩余
效率变化型 中途效率改变（如加快、减慢） 分段计算，注意效率调整
逆向求解型 已知合作时间与效率，求某人单独时间 利用“总效率 - 已知效率 = 未知效率”
多队合作型 三队或以上合作，可能有退出或加入 统一效率，分阶段分析
4. 常用方法与技巧
（1）设总工作量法：当工作效率分母有公倍数时，可设总工作量为最小公倍数，化分数为整数计算。
如甲12天完成，乙15天完成，设总工作量为60（12与15的最小公倍数），则甲效率为5，乙效率为4。
（2）单位“1”法：适用于大多数标准题型，简洁明了。
（3）画线段图法：帮助理解“先做后合”或“轮流工作”的过程。
（4）列方程法：设未知数，根据“工作量和 = 1”列方程。
（5）周期分析法：用于轮流工作，先算一个周期完成量，再看几个周期后剩余多少。
5. 易错点提醒
（1）混淆“效率”与“时间”：效率是“每天做几分之几”，不是“做几天”
（2）合作效率未相加直接用时间除
（3）轮流工作未考虑“周期”完整性
（4）分段计算时漏掉已做部分
（5）未统一单位（如时间单位不一致）
（6）结果未化为最简分数
6. 解题步骤
（1）读题圈关键词：“单独做”“合作”“先做”“轮流”“效率提高”等
（2）确定类型：是合作？轮流？部分完成？
（3）设单位“1”或设总工作量
（4）计算各自效率
（5）分段或列式计算
（6）画图或列表辅助
7.列式求解，验算作答
例题讲解
【例题1】（合作完成型）
题目：甲单独完成一项工程需要10天，乙单独做需要15天。两人合作，需要多少天完成？
解析：
设工作总量为1
甲效率： ，乙效率：
合作效率：
合作时间： （天）
答：需要6天完成。
【跟踪训练】
题目：A单独完成一项工程需12天，B需18天。两人合作，需多少天完成？
【例题2】（部分完成型）
题目：一项工程，甲单独做需20天，乙需30天。甲先单独做5天，剩下的由两人合作，还需多少天完成？
解析：
甲效率： ，乙效率：
甲5天完成：
剩余工作量：
合作效率：
所需时间： （天）
答：还需9天完成。
【跟踪训练】
题目：一项工程，甲单独做需25天，乙需50天。乙先做10天，剩下的由两人合作，还需多少天完成？
【例题3】（轮流工作型）
题目：甲、乙两人轮流做一项工程，甲单独做需12天，乙需18天。他们按甲做1天、乙做1天的顺序轮流工作，从甲开始。问：多少天可以完成？
解析：
甲效率： ，乙效率：
一个周期（2天）完成：
看需要几个周期： ，即7个周期后还剩
第15天是甲做，甲一天做 ，所以甲做1天即可完成
总天数： 天
答：15天可以完成。
【跟踪训练】
题目：甲单独做一项工程需15天，乙需10天。按乙做1天、甲做1天的顺序轮流，从乙开始。问：多少天可以完成？
【例题4】（效率变化型）
题目：一项工程，甲单独做需24天。甲做了6天后，效率提高了 ，问：照此速度，还需多少天完成？
解析：
原效率：
6天完成：
剩余工作量：
效率提高 ，即新效率为：
所需时间： （天）
答：还需13.5天完成。
【跟踪训练】
题目：一项工程，乙单独做需30天。乙做了10天后，效率提高了 ，问：还需多少天完成？
提升练习
1.一项工程，甲单独做需18天，乙需12天。两人合作若干天后，甲因病休息，乙单独又做了3天完成。已知工程共用9天，求甲做了多少天？
2.甲、乙、丙三人效率比为 ，他们合作6天完成工程的 。求丙单独做需多少天？
3.一项工程，甲做2天、乙做3天可完成 ；甲做3天、乙做2天可完成 。求甲单独做需多少天？
4.甲、乙两人轮流工作，甲每天做 ，乙每天做 ，按甲、乙、甲、乙……顺序，从甲开始。问：第几天完成？
5.一项工程，甲、乙合作需12天完成。甲单独做4天，乙单独做6天，共完成 。求乙单独做需多少天？
6.甲效率是乙的 ，两人合作10天完成工程的 。求甲单独做需多少天？
模拟赛场（奥数难度）
1.甲、乙两人合作一项工程需15天完成。甲做了5天后，乙加入，又合作6天完成全部工程的 。求乙单独做需多少天？
2.一项工程，甲单独做需40天。甲做若干天后，乙加入，两人合作8天完成。已知乙效率是甲的 ，求甲先做了多少天？
3.甲、乙、丙三人轮流做工程，甲需30天，乙需20天，丙需15天。按甲、乙、丙顺序每人做1天轮流，从甲开始。问：第几天完成？
4.甲、乙合作12天完成一项工程。若甲先做3天，乙再做8天，只能完成 。求甲单独做需多少天？
5.一项工程，甲做5天、乙做4天可完成 ；甲做4天、乙做5天可完成 。求两人合作需多少天？
6.甲、乙两人效率比为 ，他们合作6天后，甲效率提高 ，又合作4天完成全部工程。求乙单独做需多少天？
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参考答案及解析
一、跟踪训练答案
1.解：A效率 ，B效率 ，合作效率 ，时间 天
答： 天。
2.解：乙效率 ，10天完成 ，剩余 ，合作效率 ，时间 天
答： 天。
3.解：乙效率 ，甲效率 ，周期（2天）完成 ， 个周期，共 天
答：12天。
4.解：原效率 ，提高 后效率为 ，10天完成 ，剩余 ，时间 天
答： 天。
二、提升练习答案
1.解：设甲做 天，则合作 天，乙单独做 天。甲效率 ，乙 。
解得
答：甲做了6天。
2.解：设效率为 ，合作效率 ， → ，丙效率 ，时间 天
答：22.5天。
3.解：设甲效率 ，乙 ，
，
解得 ，故甲需18天
答：18天。
4.解：周期（2天）完成 ， 个周期，共24天
答：24天。
5.解：设甲效率 ，乙 ， ， ，解得 ，乙需30天
答：30天。
6.解：设乙效率 ，甲 ， → → ，甲效率 ，甲需28天
答：28天。
三、模拟赛场答案
1.解：设甲效率 ，乙 ， ， ，解得 ，乙需25天
答：25天。
2.解：设甲先做 天，甲效率 ，乙效率 ，
，解得
答：10天。
3.解：甲效率 ，乙 ，丙 ，周期3天完成 ，5个周期15天完成
答：15天。
4.解：设甲效率 ，乙 ， ， ，解得 ，甲需18天
答：18天。
5.解：设甲效率 ，乙 ，
， ，解得 ，合作需10天
答：10天。
6.解：设乙效率 ，甲效率 ，
前6天完成 ，
后4天甲效率 ，完成 ，
总量： → ，乙效率 ，需 天
答： 天。
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