资源简介

《小升初奥数行程：多人多次相遇追及》
【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】
知识梳理
1. 基本概念
相遇问题：两个或多个物体从不同地点或同地出发，相向而行，在途中某点碰面。
追及问题：两个物体同向而行，速度快的从后方赶上速度慢的。
多次相遇/追及：在一段时间内，多次发生相遇或追及现象，常见于环形跑道或往返运动中。
多人问题：涉及三人及以上，需分析两两之间的关系，找出关键对象。
2. 核心公式（直线型）
相遇问题：
相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和
相遇次数 = 总路程和 ÷ 单次相遇路程（通常为两地距离的倍数）
追及问题：
追及时间 = 初始距离差 ÷ 速度差
追上次数 = 总路程差 ÷ 单次追及路程（通常为一圈或一段距离）
3. 多次相遇的规律（直线往返型）
两人从A、B两地同时出发，相向而行，相遇后继续前进，到达终点后立即返回，形成多次相遇。
第n次相遇时，两人共走的总路程为：(2n - 1) × AB距离
推导：第一次相遇共走1个全程；第二次相遇共走3个全程；第三次共走5个全程……成奇数列。
4. 多人问题解法策略
两两分析法：先固定两人，分析其相遇或追及情况。
找最小公倍数法：当速度成比例时，可求周期的最小公倍数，确定重复规律。
画图辅助法：画出时间-路程图或路径示意图，标出每次相遇位置。
5. 解题步骤
（1）审题五要素：
人数、出发时间、出发地点、方向、结果（相遇/追及次数）
（2）判断模型：
相遇？追及？多次？往返？
（3）列式求解：
设未知数，用公式或方程
（4）验证合理性：
时间是否为正？路程是否符合实际？
（5）分数书写规范
所有分数使用 LaTeX 格式，如： 、 ；
结果若为假分数，保留原形；
运算中注意通分、约分，保持精确。
例题讲解
【例题1】
题目：甲、乙两人从相距 600 米的 A、B 两地同时出发，相向而行。甲每分钟走 70 米，乙每分钟走 50 米。问：几分钟后他们第一次相遇？
解析：
相向而行，属于相遇问题；
速度和 = （米/分）；
相遇时间 = （分钟）。
答：5 分钟后第一次相遇。
【跟踪训练】
题目：A、B 两地相距 840 米，小明和小红分别从 A、B 同时出发，相向而行，小明每分钟走 90 米，小红每分钟走 70 米。问：几分钟后他们第一次相遇？
【例题2】
题目：甲、乙两人从 A、B 两地同时出发，相向而行，第一次相遇后继续前进，到达对方起点后立即返回，第二次相遇时共用了 27 分钟。已知甲速为 80 米/分，乙速为 60 米/分。求 A、B 两地距离。
解析：
第二次相遇时，两人共走 个全程；
速度和 = （米/分）；
总路程 = （米）；
所以一个全程 = （米）。
答：A、B 两地相距 1260 米。
【跟踪训练】
题目：甲、乙从两地同时出发相向而行，第一次相遇后继续前进，到达对方起点后返回，第三次相遇时共用 36 分钟。甲速 75 米/分，乙速 45 米/分。求两地距离。
【例题3】
题目：小明和小红在一条直路上往返跑步。小明从 A 地出发，每分钟跑 120 米；小红从 B 地出发，每分钟跑 80 米。A、B 相距 1000 米。他们同时出发，相向而行。问：第 3 次相遇时，小明共跑了多少米？
解析：
第 3 次相遇时，两人共走 个全程；
总路程 = （米）；
速度和 = （米/分）；
所用时间 = （分钟）；
小明跑的路程 = （米）。
答：第 3 次相遇时，小明共跑了 3000 米。
【跟踪训练】
题目：甲、乙从相距 600 米的两地同时出发，甲速 90 米/分，乙速 70 米/分，相向而行，相遇后继续前进并立即返回。问：第 2 次相遇时，乙共跑了多少米？
【例题4】
题目：甲、乙、丙三人同时从 A 地出发，沿同一条路前往 B 地。甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 80 米，丙每分钟走 60 米。甲到 B 地后立即返回，在返回途中先后与乙、丙相遇。若甲与乙相遇后 5 分钟与丙相遇，求 A、B 两地距离。
解析：
设 A、B 距离为 米；
甲到 B 地用时： 分钟；
设甲与乙相遇时间为 ，与丙相遇时间为 ，则 ；
甲与乙相遇时，甲已走 ，乙走 ，两人路程和为 （因为甲已到 B 返回）；
所以： → → ；
同理，甲与丙相遇： → → ；
由 ，得 ；
解方程：
答：A、B 两地距离为 3600 米。
【跟踪训练】
题目：甲、乙、丙三人从 A 地同时出发去 B 地，甲速 90 米/分，乙速 70 米/分，丙速 50 米/分。甲到 B 地后立即返回，在返回途中先与乙相遇，2 分钟后与丙相遇。求 A、B 两地距离。
提升练习
1.甲、乙从 A、B 两地同时出发相向而行，第一次相遇距 A 地 400 米。相遇后继续前进，到达对方起点后返回，第二次相遇距 B 地 300 米。求 AB 全程。
2.小明和小红在相距 500 米的两地往返跑步，小明速 110 米/分，小红速 90 米/分。问：第 4 次相遇时共用了多少分钟？
3.甲、乙、丙三人从 A 地出发，速度分别为 120、100、80 米/分。甲到 B 地返回后与乙相遇，再过 3 分钟与丙相遇。求 AB 距离。
4.两人在环形跑道上相向而行，每 4 分钟相遇一次；同向而行，每 20 分钟相遇一次。求速度比。
5.甲、乙从两地同时出发，相向而行，第一次相遇后继续前进，第二次相遇时甲共走了 1800 米，此时甲比乙多走了 600 米。求 AB 全程。
6.甲、乙在一条直路上往返跑步，甲速 150 米/分，乙速 100 米/分，两地相距 1000 米。问：第 3 次相遇时，两人共走了多少米？
模拟赛场（奥数难度）
1.甲、乙从 A、B 两地同时出发，相向而行，第一次相遇距 A 地 600 米，相遇后继续前进，到达对方起点后立即返回，第二次相遇距 A 地 400 米。求 AB 全程。
2.甲、乙、丙三人同时从 A 地出发去 B 地，速度分别为 100、80、60 米/分。甲到 B 地返回后先与乙相遇，再过 4 分钟与丙相遇。求 AB 距离。
3.两人在环形跑道上背向而行，每 3 分钟相遇一次；同向而行，每 15 分钟相遇一次。求甲、乙速度比。
4.小明和小红从两地同时出发，相向而行，第一次相遇后继续前进，第二次相遇时共走了 2700 米。
已知小明比小红多走 300 米。求两人速度比。
5.甲、乙从相距 800 米的两地同时出发，甲速 120 米/分，乙速 80 米/分，相向而行，相遇后继续前进并返回。问：第 3 次相遇时，甲共跑了多少米？
6.甲、乙两人在一条直路上往返跑步，速度比为 3:2。他们第 5 次相遇时，共走了 7000 米。求两地距离。
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【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】
知识梳理
1. 基本概念
相遇问题：两个或多个物体从不同地点或同地出发，相向而行，在途中某点碰面。
追及问题：两个物体同向而行，速度快的从后方赶上速度慢的。
多次相遇/追及：在一段时间内，多次发生相遇或追及现象，常见于环形跑道或往返运动中。
多人问题：涉及三人及以上，需分析两两之间的关系，找出关键对象。
2. 核心公式（直线型）
相遇问题：
相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和
相遇次数 = 总路程和 ÷ 单次相遇路程（通常为两地距离的倍数）
追及问题：
追及时间 = 初始距离差 ÷ 速度差
追上次数 = 总路程差 ÷ 单次追及路程（通常为一圈或一段距离）
3. 多次相遇的规律（直线往返型）
两人从A、B两地同时出发，相向而行，相遇后继续前进，到达终点后立即返回，形成多次相遇。
第n次相遇时，两人共走的总路程为：(2n - 1) × AB距离
推导：第一次相遇共走1个全程；第二次相遇共走3个全程；第三次共走5个全程……成奇数列。
4. 多人问题解法策略
两两分析法：先固定两人，分析其相遇或追及情况。
找最小公倍数法：当速度成比例时，可求周期的最小公倍数，确定重复规律。
画图辅助法：画出时间-路程图或路径示意图，标出每次相遇位置。
5. 解题步骤
（1）审题五要素：
人数、出发时间、出发地点、方向、结果（相遇/追及次数）
（2）判断模型：
相遇？追及？多次？往返？
（3）列式求解：
设未知数，用公式或方程
（4）验证合理性：
时间是否为正？路程是否符合实际？
（5）分数书写规范
所有分数使用 LaTeX 格式，如： 、 ；
结果若为假分数，保留原形；
运算中注意通分、约分，保持精确。
例题讲解
【例题1】
题目：甲、乙两人从相距 600 米的 A、B 两地同时出发，相向而行。甲每分钟走 70 米，乙每分钟走 50 米。问：几分钟后他们第一次相遇？
解析：
相向而行，属于相遇问题；
速度和 = （米/分）；
相遇时间 = （分钟）。
答：5 分钟后第一次相遇。
【跟踪训练】
题目：A、B 两地相距 840 米，小明和小红分别从 A、B 同时出发，相向而行，小明每分钟走 90 米，小红每分钟走 70 米。问：几分钟后他们第一次相遇？
【例题2】
题目：甲、乙两人从 A、B 两地同时出发，相向而行，第一次相遇后继续前进，到达对方起点后立即返回，第二次相遇时共用了 27 分钟。已知甲速为 80 米/分，乙速为 60 米/分。求 A、B 两地距离。
解析：
第二次相遇时，两人共走 个全程；
速度和 = （米/分）；
总路程 = （米）；
所以一个全程 = （米）。
答：A、B 两地相距 1260 米。
【跟踪训练】
题目：甲、乙从两地同时出发相向而行，第一次相遇后继续前进，到达对方起点后返回，第三次相遇时共用 36 分钟。甲速 75 米/分，乙速 45 米/分。求两地距离。
【例题3】
题目：小明和小红在一条直路上往返跑步。小明从 A 地出发，每分钟跑 120 米；小红从 B 地出发，每分钟跑 80 米。A、B 相距 1000 米。他们同时出发，相向而行。问：第 3 次相遇时，小明共跑了多少米？
解析：
第 3 次相遇时，两人共走 个全程；
总路程 = （米）；
速度和 = （米/分）；
所用时间 = （分钟）；
小明跑的路程 = （米）。
答：第 3 次相遇时，小明共跑了 3000 米。
【跟踪训练】
题目：甲、乙从相距 600 米的两地同时出发，甲速 90 米/分，乙速 70 米/分，相向而行，相遇后继续前进并立即返回。问：第 2 次相遇时，乙共跑了多少米？
【例题4】
题目：甲、乙、丙三人同时从 A 地出发，沿同一条路前往 B 地。甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 80 米，丙每分钟走 60 米。甲到 B 地后立即返回，在返回途中先后与乙、丙相遇。若甲与乙相遇后 5 分钟与丙相遇，求 A、B 两地距离。
解析：
设 A、B 距离为 米；
甲到 B 地用时： 分钟；
设甲与乙相遇时间为 ，与丙相遇时间为 ，则 ；
甲与乙相遇时，甲已走 ，乙走 ，两人路程和为 （因为甲已到 B 返回）；
所以： → → ；
同理，甲与丙相遇： → → ；
由 ，得 ；
解方程：
答：A、B 两地距离为 3600 米。
【跟踪训练】
题目：甲、乙、丙三人从 A 地同时出发去 B 地，甲速 90 米/分，乙速 70 米/分，丙速 50 米/分。甲到 B 地后立即返回，在返回途中先与乙相遇，2 分钟后与丙相遇。求 A、B 两地距离。
提升练习
1.甲、乙从 A、B 两地同时出发相向而行，第一次相遇距 A 地 400 米。相遇后继续前进，到达对方起点后返回，第二次相遇距 B 地 300 米。求 AB 全程。
2.小明和小红在相距 500 米的两地往返跑步，小明速 110 米/分，小红速 90 米/分。问：第 4 次相遇时共用了多少分钟？
3.甲、乙、丙三人从 A 地出发，速度分别为 120、100、80 米/分。甲到 B 地返回后与乙相遇，再过 3 分钟与丙相遇。求 AB 距离。
4.两人在环形跑道上相向而行，每 4 分钟相遇一次；同向而行，每 20 分钟相遇一次。求速度比。
5.甲、乙从两地同时出发，相向而行，第一次相遇后继续前进，第二次相遇时甲共走了 1800 米，此时甲比乙多走了 600 米。求 AB 全程。
6.甲、乙在一条直路上往返跑步，甲速 150 米/分，乙速 100 米/分，两地相距 1000 米。问：第 3 次相遇时，两人共走了多少米？
模拟赛场（奥数难度）
1.甲、乙从 A、B 两地同时出发，相向而行，第一次相遇距 A 地 600 米，相遇后继续前进，到达对方起点后立即返回，第二次相遇距 A 地 400 米。求 AB 全程。
2.甲、乙、丙三人同时从 A 地出发去 B 地，速度分别为 100、80、60 米/分。甲到 B 地返回后先与乙相遇，再过 4 分钟与丙相遇。求 AB 距离。
3.两人在环形跑道上背向而行，每 3 分钟相遇一次；同向而行，每 15 分钟相遇一次。求甲、乙速度比。
4.小明和小红从两地同时出发，相向而行，第一次相遇后继续前进，第二次相遇时共走了 2700 米。
已知小明比小红多走 300 米。求两人速度比。
5.甲、乙从相距 800 米的两地同时出发，甲速 120 米/分，乙速 80 米/分，相向而行，相遇后继续前进并返回。问：第 3 次相遇时，甲共跑了多少米？
6.甲、乙两人在一条直路上往返跑步，速度比为 3:2。他们第 5 次相遇时，共走了 7000 米。求两地距离。
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参考答案及解析
一、跟踪训练答案
1.解：速度和 = ，时间 = （分钟）
答： 分钟或 分钟。
2.解：第 3 次相遇共走 个全程，速度和 = ，总路程 = ，一个全程 = （米）
答：864 米。
3.解：第 2 次相遇共走 个全程，总路程 = ，速度和 = ，时间 = ，乙路程 = （米）
答：787.5 米。
4.解：设 AB 距离为 ，甲与乙相遇： → ；甲与丙相遇： → ；由 得 ，解得
答：1120 米。
二、提升练习答案
1.解：设全程 ，第一次相遇甲走 400，乙走 ；第二次相遇甲走 ，乙走 ；时间比相同，速度比不变：
，解得
答：900 米。
2.解：第 4 次相遇共走 个全程，总路程 = ，速度和 = ，时间 = （分钟）
答：17.5 分钟。
3.解：设距离 ，甲与乙相遇： → ；甲与丙： → ； ，解得
答：3300 米。
4.解：设周长 ，速度和 ，差 ，甲速 = ，乙速 = ，比为
答：
5.解：设全程 ，第 2 次相遇共走 ，甲走 1800，乙走 1200， →
答：1000 米。
6.解：第 3 次相遇共走 个全程，总路程 =
答：5000 米。
三、模拟赛场答案
1.解：设全程 ，第一次相遇甲走 600，乙走 ；第二次相遇甲走 ，乙走 ；速度比相等：
，解得
答：1400 米。
2.解：甲与乙相遇： → ；甲与丙： → ； ，解得
答：2880 米。
3.解：速度和 ，差 ，甲速 = ，乙速 = ，比为
答：
4.解：共走 2700，甲 1500，乙 1200，速度比 = 时间相同，路程比 =
答：
5.解：第 3 次相遇共走 个全程 = ，速度和 = ，时间 = 20 分钟，甲跑 （米）
答：2400 米。
6.解：设两地距离 ，第 5 次相遇共走 →
答： 米。
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