资源简介

《小升初奥数行程：环形跑道的行程问题》
【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】
知识梳理
1. 环形跑道基本特征
跑道为封闭图形，总长度固定，通常记为“一圈的长度”或“周长”。
运动员在跑道上循环运动，位置具有周期性。
常见运动方式：同向而行（追及问题）、反向而行（相遇问题）。
2. 核心概念与公式
速度：单位时间内走过的路程，单位如：米/秒、米/分。
时间：运动持续的时长。
路程：实际走过的距离。
基本关系式：
（1）相遇问题（反向而行）：
两人从同一地点或不同地点出发，相向而行，在环形跑道上相遇。
（2）第一次相遇时，两人路程之和 = 一圈的长度。
多次相遇：第 次相遇时，路程和 = 。
（3）追及问题（同向而行）：
速度快者追赶速度慢者。
（4）第一次追上时，速度快者比慢者多跑一圈。
多次追及：第 次追上时，路程差 = 。
3. 基本公式总结
问题类型 条件 公式
相遇问题（反向） 两人速度分别为 、 ，一圈长 第 次相遇时间：
追及问题（同向） 两人速度分别为 ，一圈长 第 次追及时间：
4. 常见题型分类
题型 特征 解题要点
同时同地出发 从同一点同时出发 同向：追及；反向：相遇
同时不同地出发 起点相距一段弧长 需先补足距离差
多次相遇/追及 求第几次相遇时间或地点 利用“n圈和”或“n圈差”
相遇次数问题 给定时间，求相遇次数 总路程和 ÷ 一圈长度，向下取整
相遇地点问题 求第n次相遇点距起点多远 用其中一人路程 ÷ 一圈长度，取余数
5. 解题步骤（四步法）
判断运动方向：同向（追及）？反向（相遇）？
确定初始状态：是否同时出发？是否同地出发？
建立模型：套用“路程和 = n×圈长”或“路程差 = n×圈长”。
列式计算：注意单位统一，分数化简，结果合理。
6. 易错点提醒
（1）混淆“同向”与“反向”模型，误用公式。
（2）忽略“第一次相遇”或“第一次追上”的条件。
（3）多次相遇时未乘以 。
（4）计算相遇地点时未取模（余数）。
（5）单位不统一（如速度是米/分，时间是秒）。
（6）分数未约分，如 应化为 。
7. 重要思想方法
数形结合：画环形图，标出运动方向与相遇点。
周期思想：相遇/追及具有周期性，周期为“相遇一次所需时间”。
设数法：当圈长未知时，可设为1或最小公倍数，便于计算。
相对速度法：反向时相对速度为 ，同向时为 。
例题讲解
【例题1】（基本相遇问题）
题目：在一个400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一地点同时出发，甲每分钟跑120米，乙每分钟跑80米，两人反向而行。问：多少分钟后两人第一次相遇？
解析：
反向而行，属于相遇问题。
相遇时，两人路程和 = 一圈长度 = 400米。
速度和 = （米/分）
相遇时间 = （分钟）
答：2分钟后两人第一次相遇。
【跟踪训练】
题目：在一个300米的环形跑道上，小张和小王从同一地点同时出发，小张每分钟跑90米，小王每分钟跑60米，两人反向而行。问：多少分钟后两人第一次相遇？
【例题2】（基本追及问题）
题目：在同一400米环形跑道上，甲、乙从同一地点同时出发，甲每分钟跑120米，乙每分钟跑80米，两人同向而行。问：多少分钟后甲第一次追上乙？
解析：
同向而行，属于追及问题。
第一次追上时，甲比乙多跑一圈 = 400米。
速度差 = （米/分）
追及时间 = （分钟）
答：10分钟后甲第一次追上乙。
【跟踪训练】
题目：在一个500米的环形跑道上，小李每分钟跑110米，小赵每分钟跑90米，两人从同一地点同时同向出发。问：多少分钟后小李第一次追上小赵？
【例题3】（多次相遇问题）
题目：甲、乙在周长为360米的环形跑道上，从同一地点同时反向出发，甲的速度是每分钟70米，乙是每分钟50米。问：出发后12分钟内，两人共相遇多少次？
解析：
速度和 = （米/分）
第一次相遇时间 = （分钟）
相遇周期为3分钟。
12分钟内相遇次数 = （次）
答：共相遇4次。
【跟踪训练】
题目：在一个480米的环形跑道上，A、B两人从同一地点反向出发，A每分钟跑100米，B每分钟跑60米。问：出发后20分钟内，两人共相遇多少次？
【例题4】（相遇地点问题）
题目：在一个600米的环形跑道上，甲、乙从同一地点同时出发，甲每分钟跑150米，乙每分钟跑100米，两人反向而行。问：第三次相遇时，相遇点距离起点多少米？（按甲的路线计算）
解析：
速度和 = （米/分）
一圈长600米，第一次相遇时间 = 分钟
第三次相遇时间 = 分钟
甲跑的路程 = （米）
1080 ÷ 600 = 1 圈余 480 米
所以相遇点距起点 480 米（沿甲方向）
答：相遇点距离起点 480 米。
【跟踪训练】
题目：在一个400米的环形跑道上，小明每分钟跑120米，小华每分钟跑80米，两人从同一地点反向出发。问：第二次相遇时，相遇点距离起点多少米？（按小明的路线计算）
提升练习
1.甲、乙在周长为500米的环形跑道上同向而行，甲每分钟跑130米，乙每分钟跑105米，同时从同地出发。问：多少分钟后甲第二次追上乙？
2.两人在300米环形跑道上反向跑步，速度比为3:2，6分钟后第一次相遇。求两人的速度各是多少？
3.甲、乙从同一地点出发，甲每分钟跑140米，乙每分钟跑100米，同向而行。问：在甲第一次追上乙后，再过多久甲第二次追上乙？
4.在一个600米环形跑道上，甲、乙反向而行，速度分别为每分钟90米和60米。问：出发后15分钟内，两人共相遇多少次？
5.甲、乙在400米跑道上同向而行，甲每分钟跑120米，乙每分钟跑100米。问：第一次追上时，乙跑了多少米？
6.两人在周长为 米的环形跑道上，从相距 米的两点同时出发，反向而行，速度分别为每分钟 米和 米。问：多少分钟后两人第一次相遇？
模拟赛场（奥数难度）
1.甲、乙在周长为 米的环形跑道上，从同一地点同时出发，甲每分钟跑 米，乙每分钟跑 米，同向而行。问：第 次追上时，甲共跑了多少米？
2.两人在 米环形跑道上反向而行，速度比为 ，出发后 分钟内相遇了 次。求两人的速度。
3.甲、乙从同一点出发，同向而行，甲每分钟比乙多跑 米，一圈长 米。问：第 次追上时，甲比乙多跑了多少米？
4.在一个 米环形跑道上，甲每分钟跑 米，乙每分钟跑 米，反向出发。问：第 次相遇时，甲共跑了多少米？
5.甲、乙在 米环形跑道上同向而行，甲每分钟跑 米，乙每分钟跑 米。问：出发后 分钟内，甲共追上乙多少次？
6.两人从环形跑道上相距 米的两点同时出发，同向而行，速度快者每分钟跑 米，慢者每分钟跑 米，一圈长 米。问：多少分钟后快者第一次追上慢者？21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】
知识梳理
1. 环形跑道基本特征
跑道为封闭图形，总长度固定，通常记为“一圈的长度”或“周长”。
运动员在跑道上循环运动，位置具有周期性。
常见运动方式：同向而行（追及问题）、反向而行（相遇问题）。
2. 核心概念与公式
速度：单位时间内走过的路程，单位如：米/秒、米/分。
时间：运动持续的时长。
路程：实际走过的距离。
基本关系式：
（1）相遇问题（反向而行）：
两人从同一地点或不同地点出发，相向而行，在环形跑道上相遇。
（2）第一次相遇时，两人路程之和 = 一圈的长度。
多次相遇：第 次相遇时，路程和 = 。
（3）追及问题（同向而行）：
速度快者追赶速度慢者。
（4）第一次追上时，速度快者比慢者多跑一圈。
多次追及：第 次追上时，路程差 = 。
3. 基本公式总结
问题类型 条件 公式
相遇问题（反向） 两人速度分别为 、 ，一圈长 第 次相遇时间：
追及问题（同向） 两人速度分别为 ，一圈长 第 次追及时间：
4. 常见题型分类
题型 特征 解题要点
同时同地出发 从同一点同时出发 同向：追及；反向：相遇
同时不同地出发 起点相距一段弧长 需先补足距离差
多次相遇/追及 求第几次相遇时间或地点 利用“n圈和”或“n圈差”
相遇次数问题 给定时间，求相遇次数 总路程和 ÷ 一圈长度，向下取整
相遇地点问题 求第n次相遇点距起点多远 用其中一人路程 ÷ 一圈长度，取余数
5. 解题步骤（四步法）
判断运动方向：同向（追及）？反向（相遇）？
确定初始状态：是否同时出发？是否同地出发？
建立模型：套用“路程和 = n×圈长”或“路程差 = n×圈长”。
列式计算：注意单位统一，分数化简，结果合理。
6. 易错点提醒
（1）混淆“同向”与“反向”模型，误用公式。
（2）忽略“第一次相遇”或“第一次追上”的条件。
（3）多次相遇时未乘以 。
（4）计算相遇地点时未取模（余数）。
（5）单位不统一（如速度是米/分，时间是秒）。
（6）分数未约分，如 应化为 。
7. 重要思想方法
数形结合：画环形图，标出运动方向与相遇点。
周期思想：相遇/追及具有周期性，周期为“相遇一次所需时间”。
设数法：当圈长未知时，可设为1或最小公倍数，便于计算。
相对速度法：反向时相对速度为 ，同向时为 。
例题讲解
【例题1】（基本相遇问题）
题目：在一个400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一地点同时出发，甲每分钟跑120米，乙每分钟跑80米，两人反向而行。问：多少分钟后两人第一次相遇？
解析：
反向而行，属于相遇问题。
相遇时，两人路程和 = 一圈长度 = 400米。
速度和 = （米/分）
相遇时间 = （分钟）
答：2分钟后两人第一次相遇。
【跟踪训练】
题目：在一个300米的环形跑道上，小张和小王从同一地点同时出发，小张每分钟跑90米，小王每分钟跑60米，两人反向而行。问：多少分钟后两人第一次相遇？
【例题2】（基本追及问题）
题目：在同一400米环形跑道上，甲、乙从同一地点同时出发，甲每分钟跑120米，乙每分钟跑80米，两人同向而行。问：多少分钟后甲第一次追上乙？
解析：
同向而行，属于追及问题。
第一次追上时，甲比乙多跑一圈 = 400米。
速度差 = （米/分）
追及时间 = （分钟）
答：10分钟后甲第一次追上乙。
【跟踪训练】
题目：在一个500米的环形跑道上，小李每分钟跑110米，小赵每分钟跑90米，两人从同一地点同时同向出发。问：多少分钟后小李第一次追上小赵？
【例题3】（多次相遇问题）
题目：甲、乙在周长为360米的环形跑道上，从同一地点同时反向出发，甲的速度是每分钟70米，乙是每分钟50米。问：出发后12分钟内，两人共相遇多少次？
解析：
速度和 = （米/分）
第一次相遇时间 = （分钟）
相遇周期为3分钟。
12分钟内相遇次数 = （次）
答：共相遇4次。
【跟踪训练】
题目：在一个480米的环形跑道上，A、B两人从同一地点反向出发，A每分钟跑100米，B每分钟跑60米。问：出发后20分钟内，两人共相遇多少次？
【例题4】（相遇地点问题）
题目：在一个600米的环形跑道上，甲、乙从同一地点同时出发，甲每分钟跑150米，乙每分钟跑100米，两人反向而行。问：第三次相遇时，相遇点距离起点多少米？（按甲的路线计算）
解析：
速度和 = （米/分）
一圈长600米，第一次相遇时间 = 分钟
第三次相遇时间 = 分钟
甲跑的路程 = （米）
1080 ÷ 600 = 1 圈余 480 米
所以相遇点距起点 480 米（沿甲方向）
答：相遇点距离起点 480 米。
【跟踪训练】
题目：在一个400米的环形跑道上，小明每分钟跑120米，小华每分钟跑80米，两人从同一地点反向出发。问：第二次相遇时，相遇点距离起点多少米？（按小明的路线计算）
提升练习
1.甲、乙在周长为500米的环形跑道上同向而行，甲每分钟跑130米，乙每分钟跑105米，同时从同地出发。问：多少分钟后甲第二次追上乙？
2.两人在300米环形跑道上反向跑步，速度比为3:2，6分钟后第一次相遇。求两人的速度各是多少？
3.甲、乙从同一地点出发，甲每分钟跑140米，乙每分钟跑100米，同向而行。问：在甲第一次追上乙后，再过多久甲第二次追上乙？
4.在一个600米环形跑道上，甲、乙反向而行，速度分别为每分钟90米和60米。问：出发后15分钟内，两人共相遇多少次？
5.甲、乙在400米跑道上同向而行，甲每分钟跑120米，乙每分钟跑100米。问：第一次追上时，乙跑了多少米？
6.两人在周长为 米的环形跑道上，从相距 米的两点同时出发，反向而行，速度分别为每分钟 米和 米。问：多少分钟后两人第一次相遇？
模拟赛场（奥数难度）
1.甲、乙在周长为 米的环形跑道上，从同一地点同时出发，甲每分钟跑 米，乙每分钟跑 米，同向而行。问：第 次追上时，甲共跑了多少米？
2.两人在 米环形跑道上反向而行，速度比为 ，出发后 分钟内相遇了 次。求两人的速度。
3.甲、乙从同一点出发，同向而行，甲每分钟比乙多跑 米，一圈长 米。问：第 次追上时，甲比乙多跑了多少米？
4.在一个 米环形跑道上，甲每分钟跑 米，乙每分钟跑 米，反向出发。问：第 次相遇时，甲共跑了多少米？
5.甲、乙在 米环形跑道上同向而行，甲每分钟跑 米，乙每分钟跑 米。问：出发后 分钟内，甲共追上乙多少次？
6.两人从环形跑道上相距 米的两点同时出发，同向而行，速度快者每分钟跑 米，慢者每分钟跑 米，一圈长 米。问：多少分钟后快者第一次追上慢者？
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参考答案及解析
一、跟踪训练答案
1.解：
速度和 = （米/分）
相遇时间 = （分钟）
答：2分钟后第一次相遇。
2.解：
速度差 = （米/分）
追及时间 = （分钟）
答：25分钟后第一次追上。
3.解：
速度和 = （米/分）
一圈480米，第一次相遇时间 = （分钟）
20分钟内相遇次数 = ，取整为 6 次
答：共相遇6次。
4.解：
速度和 = （米/分）
第一次相遇时间 = （分钟）
第二次相遇时间 = 分钟
小明跑的路程 = （米）
圈余 米
答：距离起点 80 米。
二、提升练习答案
1.解：
速度差 = （米/分）
第二次追及时间 = （分钟）
答：40分钟后。
2.解：设速度为 、 ，速度和 =
→ →
速度分别为 米/分、 米/分
答：30米/分，20米/分。
3.解：
速度差 = （米/分）
追及周期 = （分钟）
第一次追上后，再过 20 分钟第二次追上
答：20分钟。
4.解：
速度和 = （米/分）
相遇周期 = （分钟）
→ 相遇 3 次
答：3次。
5.解：
追及时间 = （分钟）
乙跑的路程 = （米）
答：2000米。
6.解：
相向而行，需合走 180 米（较短弧）或 540 米？取最小距离 180 米
速度和 = （米/分）
相遇时间 = （分钟）
答：1分钟后。
三、模拟赛场答案
1.解：
速度差 = （米/分）
第5次追及时间 = （分钟）
甲跑的路程 = （米）
答：21000米。
2.解：设速度为 、 ，速度和 =
→ →
速度为 120 米/分、80 米/分
答：120米/分，80米/分。
3.解：
每追上一次多跑一圈，3次共多跑 （米）
答：900米。
4.解：
速度和 = （米/分）
一圈600米，第一次相遇时间 = （分钟）
第4次相遇时间 = 分钟
甲跑的路程 = （米）
答：1440米。
5.解：
速度差 = （米/分）
追及一次时间 = （分钟）
40分钟内追上 次
答：1次。
6.解：
同向而行，快者需多跑 米才能追上
速度差 = （米/分）
追及时间 = （分钟）
答：10分钟后。
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