资源简介

《小升初奥数行程：钟面行程问题突破》
【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】
知识梳理
1. 钟面基本结构
钟面是一个周角，共 360°。
分为 12 大格，每大格为 。
每大格又分为 5 小格，共 60 小格，每小格为 。
2. 时针与分针的速度
分针：60 分钟转一圈（360°），所以：
分针速度 =
时针：12 小时转一圈（360°），即 720 分钟转 360°，所以：
时针速度 =
相对速度（分针相对于时针）：
3. 常见问题类型
（1）求两针成特定角度的时间
列方程： ，解出
注意：一天中同一角度通常出现 2 次（除 0°、180°等特殊）
（2）求两针重合（夹角为 0°）的时间
重合条件： →
例：在 3 点后，重合时间 分
（3）求两针垂直（夹角为 90°）或成 180° 的时间
列方程： 或
（4）追及与相遇模型
钟面行程本质是“环形追及问题”：分针追时针
每次重合间隔： 分钟
一天（24 小时）中，两针重合 22 次（每 12 小时 11 次）
4. 解题步骤
（1）审题：明确时间、角度、问题类型（夹角？成角？重合？）
（2）建模：转化为角度差或追及问题
（3）列式：使用公式
（4）计算：注意分数运算，保留最简形式
（5）验证：是否在合理时间范围内，夹角是否取小角
5. 分数书写规范
所有分数使用标准书写形式，如： 、 、
结果若为带分数，优先写成带分数形式
例题讲解
【例题1】
题目：在 4 点整时，时针与分针的夹角是多少度？
解析：
4 点整，时针指向 4，分针指向 12；
时针角度： ；
分针角度： ；
夹角 = （小于 180°，无需减）
答：夹角为 。
【跟踪训练】
题目：在 7 点整时，时针与分针的夹角是多少度？
【例题2】
题目：在 3 点多少分时，时针与分针第一次重合？
解析：
设在 3 点 分时重合；
时针角度： ；
分针角度： ；
重合时： ；
解方程： → →
答：在 3 点 分时，两针第一次重合。
【跟踪训练】
题目：在 6 点多少分时，时针与分针第一次重合？
【例题3】
题目：在 9 点多少分时，时针与分针成 180° 角？
解析：
设在 9 点 分时夹角为 180°；
时针角度： ；
分针角度： ；
夹角为 180°，有两种可能：
（1）针在时针前： → → （超过 60，舍去）
（2）分针在时针后： → → →
答：在 9 点 分时，两针成 180° 角。
【跟踪训练】
题目：在 2 点多少分时，时针与分针成 90° 角？（写出第一次）
【例题4】
题目：小明在下午 4 点多开始写作业，当时两针夹角为 100°；写完时两针夹角仍为 100°，但分针已超过时针。问小明写了多少分钟作业？
解析：
设开始时间为 4 点 分，结束为 4 点 分；
使用公式： →
解两个方程：
（1） → → （分）
（2） → → （分）
注意：第一次夹角 100° 是分针在时针后，第二次是分针在前，所以开始于 ，结束于
用时： （分钟）
答：小明写了 分钟作业。
【跟踪训练】
题目：小红在 5 点多开始看书，当时两针夹角为 80°；看完时夹角仍为 80°，但分针已超过时针。问她看了多少分钟书？
提升练习
1.求 10 点 20 分时，时针与分针的夹角。
2.在 1 点多少分时，时针与分针第一次成 90° 角？
3.从 3 点整开始，分针第一次追上时针是在几点几分？
4.在 8 点到 9 点之间，两针成 120° 角的时刻是几点几分？（写出第一次）
5.小华在 6 点多开始吃饭，两针夹角为 110°；吃完后夹角仍为 110°，但分针已超时针。求他吃饭用了多少分钟。
6.一天中，时针与分针重合多少次？第一次重合在几点几分？
模拟赛场（奥数难度）
1.在 7 点多少分时，时针与分针的夹角恰好是 55°？
2.从 12 点整开始，经过多少分钟后，两针第一次成 100° 角？
3.小明在 9 点多开始做题，当时两针夹角为 130°；做完时夹角仍为 130°，但分针已超过时针。求他用了多少分钟？
4.在 4 点到 5 点之间，两针成直角（90°）有几次？分别在几点几分？
5.某人 3 点多出门，发现两针夹角为 70°；回来时仍为 70°，但分针已超时针。他外出用了多少分钟？
6.在 12 小时内，时针与分针成 90° 角共多少次？21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】
知识梳理
1. 钟面基本结构
钟面是一个周角，共 360°。
分为 12 大格，每大格为 。
每大格又分为 5 小格，共 60 小格，每小格为 。
2. 时针与分针的速度
分针：60 分钟转一圈（360°），所以：
分针速度 =
时针：12 小时转一圈（360°），即 720 分钟转 360°，所以：
时针速度 =
相对速度（分针相对于时针）：
3. 常见问题类型
（1）求两针成特定角度的时间
列方程： ，解出
注意：一天中同一角度通常出现 2 次（除 0°、180°等特殊）
（2）求两针重合（夹角为 0°）的时间
重合条件： →
例：在 3 点后，重合时间 分
（3）求两针垂直（夹角为 90°）或成 180° 的时间
列方程： 或
（4）追及与相遇模型
钟面行程本质是“环形追及问题”：分针追时针
每次重合间隔： 分钟
一天（24 小时）中，两针重合 22 次（每 12 小时 11 次）
4. 解题步骤
（1）审题：明确时间、角度、问题类型（夹角？成角？重合？）
（2）建模：转化为角度差或追及问题
（3）列式：使用公式
（4）计算：注意分数运算，保留最简形式
（5）验证：是否在合理时间范围内，夹角是否取小角
5. 分数书写规范
所有分数使用标准书写形式，如： 、 、
结果若为带分数，优先写成带分数形式
例题讲解
【例题1】
题目：在 4 点整时，时针与分针的夹角是多少度？
解析：
4 点整，时针指向 4，分针指向 12；
时针角度： ；
分针角度： ；
夹角 = （小于 180°，无需减）
答：夹角为 。
【跟踪训练】
题目：在 7 点整时，时针与分针的夹角是多少度？
【例题2】
题目：在 3 点多少分时，时针与分针第一次重合？
解析：
设在 3 点 分时重合；
时针角度： ；
分针角度： ；
重合时： ；
解方程： → →
答：在 3 点 分时，两针第一次重合。
【跟踪训练】
题目：在 6 点多少分时，时针与分针第一次重合？
【例题3】
题目：在 9 点多少分时，时针与分针成 180° 角？
解析：
设在 9 点 分时夹角为 180°；
时针角度： ；
分针角度： ；
夹角为 180°，有两种可能：
（1）针在时针前： → → （超过 60，舍去）
（2）分针在时针后： → → →
答：在 9 点 分时，两针成 180° 角。
【跟踪训练】
题目：在 2 点多少分时，时针与分针成 90° 角？（写出第一次）
【例题4】
题目：小明在下午 4 点多开始写作业，当时两针夹角为 100°；写完时两针夹角仍为 100°，但分针已超过时针。问小明写了多少分钟作业？
解析：
设开始时间为 4 点 分，结束为 4 点 分；
使用公式： →
解两个方程：
（1） → → （分）
（2） → → （分）
注意：第一次夹角 100° 是分针在时针后，第二次是分针在前，所以开始于 ，结束于
用时： （分钟）
答：小明写了 分钟作业。
【跟踪训练】
题目：小红在 5 点多开始看书，当时两针夹角为 80°；看完时夹角仍为 80°，但分针已超过时针。问她看了多少分钟书？
提升练习
1.求 10 点 20 分时，时针与分针的夹角。
2.在 1 点多少分时，时针与分针第一次成 90° 角？
3.从 3 点整开始，分针第一次追上时针是在几点几分？
4.在 8 点到 9 点之间，两针成 120° 角的时刻是几点几分？（写出第一次）
5.小华在 6 点多开始吃饭，两针夹角为 110°；吃完后夹角仍为 110°，但分针已超时针。求他吃饭用了多少分钟。
6.一天中，时针与分针重合多少次？第一次重合在几点几分？
模拟赛场（奥数难度）
1.在 7 点多少分时，时针与分针的夹角恰好是 55°？
2.从 12 点整开始，经过多少分钟后，两针第一次成 100° 角？
3.小明在 9 点多开始做题，当时两针夹角为 130°；做完时夹角仍为 130°，但分针已超过时针。求他用了多少分钟？
4.在 4 点到 5 点之间，两针成直角（90°）有几次？分别在几点几分？
5.某人 3 点多出门，发现两针夹角为 70°；回来时仍为 70°，但分针已超时针。他外出用了多少分钟？
6.在 12 小时内，时针与分针成 90° 角共多少次？
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参考答案及解析
一、跟踪训练答案
1.解：7 点整，时针 ，分针 ，夹角 ，取
答：
2.解：设 分时重合， → →
答：6 点 分
3.解：设 分时成 90°， ，解得 ， ，第一次为
答：2 点 分
4.解：设 分时夹角 80°， ，解得 ， ，用时
答： 分钟
二、提升练习答案
1.解：10 点 20 分，时针： ，分针： ，夹角 ，取
答：
2.解： ，解得
答：1 点 分
3.解：3 点时，时针领先 ，追及时间 分
答：3 点 分
4.解： ，解得
答：8 点 分
5.解： ，解得 ， ，用时 分
答：40 分钟
6.解：12 小时重合 11 次，第一次在 1 点 分
答：11 次；1 点 分
三、模拟赛场答案
1.解： ，解得 或 ，取合理值
答：7 点 分或 分
2.解： → →
答： 分钟
3.解： ，解得 ， ，用时
答： 分钟
4.解： ，解得 ，
答：2 次；4 点 分和 分
5.解： ，解得 ， ，用时
答： 分钟
6.解：每 12 小时成 90° 共 22 次（每次重合间有 2 次 90°）
答：22 次
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