资源简介

《小升初奥数应用题：比例应用题的应用》
【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】
知识梳理
1. 比的基本概念
（1）比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。如 表示 。
（2）比的前项与后项：比号前面的数叫前项，后面的叫后项。
（3）比值：前项除以后项的商，如 。
（4）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。如 。
2. 化简比与求比值
（1）化简比：把比化成最简单的整数比。
整数比：用最大公约数约分，如
数比：先化为整数比，如
小数比：先化为整数比，如
（2）求比值：直接相除，结果可以是分数、小数或整数。
3. 比例的意义与性质
（1）比例：表示两个比相等的式子，如 。
（2）比例的基本性质：内项积 = 外项积。即若 ，则 。
（3）解比例：已知比例中三个量，求第四个量，利用“交叉相乘”法。
4. 核心应用题型
类型 关键特征 解题策略
按比分配问题 总量按一定比分成几部分 设每份为 ，列方程或用“总份数 = 总量 ÷ 总份数”
连比转化问题 三个量之间有两两比，需统一中间量 找中间量的最小公倍数，统一比
不变量问题 比发生变化，但某个量不变 找不变量，统一其份数
正比例应用题 两种量比值一定，如路程与时间（速度不变） 判断是否“商一定”
反比例应用题 两种量乘积一定，如长方形面积一定，长与宽 判断是否“积一定”
比例尺问题 图上距离 : 实际距离 = 比例尺 统一单位，用比例求解
5. 解题策略与方法
（1）设份数法：将比看作“份数”，如 看作 3 份和 5 份，共 8 份。
（2）统一比：当两个比中同一个量份数不同，用最小公倍数统一。
（3）画线段图：帮助理解按比分配的数量关系。
（4）列表法：用于正反比例判断，列出两组数据看商或积是否相等。
（5）找不变量：在变化中找不变的量，是解复杂比例题的关键。
6. 正比例与反比例的判断
（1）正比例：两种相关联的量，一种量扩大，另一种也扩大，且比值不变。
公式： （一定）
举例：单价一定，总价与数量成正比。
（2）反比例：两种相关联的量，一种量扩大，另一种缩小，且乘积不变。
公式： （一定）
举例：路程一定，速度与时间成反比。
7. 易错点提醒
（1）比与比值混淆（如 是比， 是比值）
（2）化简比未化到最简
（3）按比分配时未算总份数
（4）正反比例判断错误（未找“一定”的量）
（5）比例尺单位未统一
（6）连比转化时中间量未统一
8. 解题步骤
（1）读题找比：圈出“比”“是……的几分之几”“分成……比”等关键词
（2）确定类型：是按比分配？连比？正反比例？
（3）设份数或列比例式
（4）画图或列表辅助分析
（5）列式计算（分步列式，注意分数书写）
（6）验算作答
例题讲解
【例题1】（按比分配）
题目：学校把 360 本图书按 分给四、五、六年级，每个年级各分得多少本？
解析：
总份数： 份
每份图书： （本）
四年级： （本）
五年级： （本）
六年级： （本）
答：四年级分得 90 本，五年级 120 本，六年级 150 本。
【跟踪训练】
题目：一种混凝土由水泥、沙子、石子按 配制而成，要配制 200 吨这种混凝土，需要水泥、沙子、石子各多少吨？
【例题2】（连比转化）
题目：甲与乙的比是 ，乙与丙的比是 ，求甲、乙、丙的连比。
解析：
乙是中间量，两个比中乙的份数不同（4 和 6），找最小公倍数 12
第一个比： （乘 3）
第二个比： （乘 2）
所以甲:乙:丙 =
答：甲、乙、丙的连比是 。
【跟踪训练】
题目：A 与 B 的比是 ，B 与 C 的比是 ，求 A、B、C 的连比。
【例题3】（不变量问题）
题目：甲、乙两人原来钱数比是 ，后来甲给乙 10 元，两人钱数比变成 。求原来甲有多少钱？
解析：
总钱数不变，设为单位“1”或找总份数
原来：甲 份，乙 份，共 份
后来：甲 份，乙 份，共 份
统一总份数：8 和 12 的最小公倍数是 24
原来：甲 （乘 3），共 24 份
后来：甲 （乘 2），共 24 份
甲减少 1 份，对应 10 元，所以每份 10 元
原来甲： （元）
答：原来甲有 150 元。
【跟踪训练】
题目：两桶油，原来重量比是 ，从甲桶倒出 6 千克给乙桶后，重量比变成 。求甲桶原来重多少千克？
【例题4】（正比例应用）
题目：一辆汽车 3 小时行驶 180 千米。照这样计算，行驶 300 千米需要多少小时？（用比例解）
解析：
速度一定，路程与时间成正比
设需要 小时，则：
解比例： →
答：需要 5 小时。
【跟踪训练】
题目：小明 4 分钟做了 24 道口算题。照这样计算，做 42 道题需要多少分钟？（用比例解）
提升练习
1.一个长方形的周长是 96 厘米，长与宽的比是 。求这个长方形的面积。
2.甲、乙、丙三人共存款 2400 元，甲:乙 = ，乙:丙 = 。求三人各存款多少元？
3.两袋大米，原来重量比是 ，从第一袋取出 8 千克后，重量比变成 。求原来第一袋重多少千克？
4.一项工程，原计划每天做 120 米，15 天完成。实际每天多做 30 米，实际多少天完成？（用反比例解）
5.在比例尺 的地图上，量得 A、B 两地距离是 12 厘米。一辆汽车以每小时 60 千米的速度从 A 地开往 B 地，几小时到达？
6.甲、乙两人原来图书本数比是 ，甲给乙 4 本后，甲比乙还多 2 本。求甲原来有多少本书？
模拟赛场（奥数难度）
1.甲、乙两数的比是 ，乙、丙两数的比是 ，三个数的和是 174。求乙数。
2.一个等腰三角形的周长是 72 厘米，腰与底边的比是 。求底边长。
3.两筐苹果，原来重量比是 ，从甲筐取出 10 千克，乙筐放入 5 千克后，重量比变成 。求原来甲筐重多少千克？
4.一辆汽车从 A 地到 B 地，原计划每小时行 60 千米，4 小时到达。实际每小时多行 20 千米，实际比计划少用多少小时？（用反比例解）
5.有含糖率 的糖水若干克，加入 20 克糖后，含糖率变成 。若再加入 30 克水，求此时含糖率。（结果用分数表示）
6.甲、乙两人共存款 1800 元，甲取出自己存款的 ，乙存入 60 元，这时两人存款相等。求原来甲存款多少元？21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】
知识梳理
1. 比的基本概念
（1）比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。如 表示 。
（2）比的前项与后项：比号前面的数叫前项，后面的叫后项。
（3）比值：前项除以后项的商，如 。
（4）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。如 。
2. 化简比与求比值
（1）化简比：把比化成最简单的整数比。
整数比：用最大公约数约分，如
数比：先化为整数比，如
小数比：先化为整数比，如
（2）求比值：直接相除，结果可以是分数、小数或整数。
3. 比例的意义与性质
（1）比例：表示两个比相等的式子，如 。
（2）比例的基本性质：内项积 = 外项积。即若 ，则 。
（3）解比例：已知比例中三个量，求第四个量，利用“交叉相乘”法。
4. 核心应用题型
类型 关键特征 解题策略
按比分配问题 总量按一定比分成几部分 设每份为 ，列方程或用“总份数 = 总量 ÷ 总份数”
连比转化问题 三个量之间有两两比，需统一中间量 找中间量的最小公倍数，统一比
不变量问题 比发生变化，但某个量不变 找不变量，统一其份数
正比例应用题 两种量比值一定，如路程与时间（速度不变） 判断是否“商一定”
反比例应用题 两种量乘积一定，如长方形面积一定，长与宽 判断是否“积一定”
比例尺问题 图上距离 : 实际距离 = 比例尺 统一单位，用比例求解
5. 解题策略与方法
（1）设份数法：将比看作“份数”，如 看作 3 份和 5 份，共 8 份。
（2）统一比：当两个比中同一个量份数不同，用最小公倍数统一。
（3）画线段图：帮助理解按比分配的数量关系。
（4）列表法：用于正反比例判断，列出两组数据看商或积是否相等。
（5）找不变量：在变化中找不变的量，是解复杂比例题的关键。
6. 正比例与反比例的判断
（1）正比例：两种相关联的量，一种量扩大，另一种也扩大，且比值不变。
公式： （一定）
举例：单价一定，总价与数量成正比。
（2）反比例：两种相关联的量，一种量扩大，另一种缩小，且乘积不变。
公式： （一定）
举例：路程一定，速度与时间成反比。
7. 易错点提醒
（1）比与比值混淆（如 是比， 是比值）
（2）化简比未化到最简
（3）按比分配时未算总份数
（4）正反比例判断错误（未找“一定”的量）
（5）比例尺单位未统一
（6）连比转化时中间量未统一
8. 解题步骤
（1）读题找比：圈出“比”“是……的几分之几”“分成……比”等关键词
（2）确定类型：是按比分配？连比？正反比例？
（3）设份数或列比例式
（4）画图或列表辅助分析
（5）列式计算（分步列式，注意分数书写）
（6）验算作答
例题讲解
【例题1】（按比分配）
题目：学校把 360 本图书按 分给四、五、六年级，每个年级各分得多少本？
解析：
总份数： 份
每份图书： （本）
四年级： （本）
五年级： （本）
六年级： （本）
答：四年级分得 90 本，五年级 120 本，六年级 150 本。
【跟踪训练】
题目：一种混凝土由水泥、沙子、石子按 配制而成，要配制 200 吨这种混凝土，需要水泥、沙子、石子各多少吨？
【例题2】（连比转化）
题目：甲与乙的比是 ，乙与丙的比是 ，求甲、乙、丙的连比。
解析：
乙是中间量，两个比中乙的份数不同（4 和 6），找最小公倍数 12
第一个比： （乘 3）
第二个比： （乘 2）
所以甲:乙:丙 =
答：甲、乙、丙的连比是 。
【跟踪训练】
题目：A 与 B 的比是 ，B 与 C 的比是 ，求 A、B、C 的连比。
【例题3】（不变量问题）
题目：甲、乙两人原来钱数比是 ，后来甲给乙 10 元，两人钱数比变成 。求原来甲有多少钱？
解析：
总钱数不变，设为单位“1”或找总份数
原来：甲 份，乙 份，共 份
后来：甲 份，乙 份，共 份
统一总份数：8 和 12 的最小公倍数是 24
原来：甲 （乘 3），共 24 份
后来：甲 （乘 2），共 24 份
甲减少 1 份，对应 10 元，所以每份 10 元
原来甲： （元）
答：原来甲有 150 元。
【跟踪训练】
题目：两桶油，原来重量比是 ，从甲桶倒出 6 千克给乙桶后，重量比变成 。求甲桶原来重多少千克？
【例题4】（正比例应用）
题目：一辆汽车 3 小时行驶 180 千米。照这样计算，行驶 300 千米需要多少小时？（用比例解）
解析：
速度一定，路程与时间成正比
设需要 小时，则：
解比例： →
答：需要 5 小时。
【跟踪训练】
题目：小明 4 分钟做了 24 道口算题。照这样计算，做 42 道题需要多少分钟？（用比例解）
提升练习
1.一个长方形的周长是 96 厘米，长与宽的比是 。求这个长方形的面积。
2.甲、乙、丙三人共存款 2400 元，甲:乙 = ，乙:丙 = 。求三人各存款多少元？
3.两袋大米，原来重量比是 ，从第一袋取出 8 千克后，重量比变成 。求原来第一袋重多少千克？
4.一项工程，原计划每天做 120 米，15 天完成。实际每天多做 30 米，实际多少天完成？（用反比例解）
5.在比例尺 的地图上，量得 A、B 两地距离是 12 厘米。一辆汽车以每小时 60 千米的速度从 A 地开往 B 地，几小时到达？
6.甲、乙两人原来图书本数比是 ，甲给乙 4 本后，甲比乙还多 2 本。求甲原来有多少本书？
模拟赛场（奥数难度）
1.甲、乙两数的比是 ，乙、丙两数的比是 ，三个数的和是 174。求乙数。
2.一个等腰三角形的周长是 72 厘米，腰与底边的比是 。求底边长。
3.两筐苹果，原来重量比是 ，从甲筐取出 10 千克，乙筐放入 5 千克后，重量比变成 。求原来甲筐重多少千克？
4.一辆汽车从 A 地到 B 地，原计划每小时行 60 千米，4 小时到达。实际每小时多行 20 千米，实际比计划少用多少小时？（用反比例解）
5.有含糖率 的糖水若干克，加入 20 克糖后，含糖率变成 。若再加入 30 克水，求此时含糖率。（结果用分数表示）
6.甲、乙两人共存款 1800 元，甲取出自己存款的 ，乙存入 60 元，这时两人存款相等。求原来甲存款多少元？21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案及解析
一、跟踪训练答案
1.解：总份数 ，每份 吨
水泥： 吨，沙子： 吨，石子： 吨
答：水泥 40 吨，沙子 60 吨，石子 100 吨。
2.解：B 是中间量，6 和 8 的最小公倍数是 24
， ，所以 A:B:C =
答： 。
3.解：设每份 千克
原来：甲 ，乙
后来：甲 ，乙
列式：
→ → →
甲原来： 千克
答：126 千克。
4.解：设需要 分钟，则 → →
答：7 分钟。
二、提升练习答案
1.解：半周长 厘米，长 ，宽 ，面积 平方厘米
答：540 平方厘米。
2.解：甲:乙 = ，乙:丙 = ，所以甲:乙:丙 =
总份数 ，每份
甲： 元，乙： 元，丙： 元
答：甲 元，乙 元，丙 元。
3.解：设原来第一袋 ，第二袋
后来： → → → →
第一袋： 千克
答： 千克。
4.解：工作总量一定，每天工作量与天数成反比
原效率：120，现效率：150，效率比 ，时间比
原时间 15 天，现时间 天
答：12 天。
5.解：实际距离 = 厘米 = 600 千米
时间 = 小时
答：10 小时。
6.解：设原来甲 ，乙
甲给乙 4 本后：甲 ，乙
甲比乙多 2 本： → → →
甲原来： 本
答：25 本。
三、模拟赛场答案
1.解：乙统一， ， ，甲:乙:丙 = ，总份数
每份 ，乙
答：60。
2.解：设腰 ，底 ，周长 → ，底 厘米
答：12 厘米。
3.解：设原来甲 ，乙
后来：
→ → →
甲原来： 千克
答： 千克。
4.解：路程一定，速度与时间成反比
原速度 60，现速度 80，速度比 ，时间比
原时间 4 小时，现时间 小时，少用 小时
答：1 小时。
5.解：设原糖水 克，糖 ，加糖后： → → →
加糖后糖： 克，总重 克
再加 30 克水，总重 克，含糖率
答： 。
6.解：设甲原来 元，乙 元
甲取出 后：
乙存入 60 元后：
两人相等： → → →
答： 元。
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