资源简介

《小升初奥数行程：比例法解行程问题》
【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】
知识梳理
一、基本数量关系
1.行程问题核心公式：
（1）路程 = 速度 × 时间
（2）速度 = 路程 ÷ 时间
（3）时间 = 路程 ÷ 速度
2.在小学阶段，所有行程问题均围绕这三个量展开。
二、比例法解题思想
1.当两个量成正比或反比关系时，可利用比例简化计算：
（1）速度一定，路程与时间成正比
例：同一人走路，走2小时和走3小时，路程比为
（2）时间一定，路程与速度成正比
例：两人同时出发，速度比为 ，则路程比也为
（3）路程一定，速度与时间成反比
例：走同一段路，甲用2小时，乙用3小时，则速度比为
三、常见题型与比例模型
1.相遇问题
（1）两人从两地同时出发，相向而行，相遇时时间相同。
（2）路程比 = 速度比
（3）总路程 = 甲路程 + 乙路程
2.追及问题
（1）同向而行，追上时时间相同。
（2）路程差 = 速度差 × 时间
（3）利用速度比分析追及时间
3.多次相遇问题
（1）第一次相遇共走1个全程，第二次相遇共走3个全程（往返模型）
（2）相遇次数与总路程成比例关系
4.分段行程（如前半程/后半程）
（1）若路程相等，速度不同，则时间与速度成反比
（2）若时间相等，速度不同，则路程与速度成正比
5.往返行程
（1）去程与回程路程相同，速度不同，则时间比为速度的反比
四、解题步骤
1.审题：找清“谁、何时、何地、同向/相向、是否同时”
2.判断不变量：确定哪个量（速度、时间、路程）保持不变
3.建立比例关系：根据“正比”或“反比”列出比例式
4.设单位量或设份数：如设速度为几份，时间为几份，便于计算
5.求解并验证：检查单位是否一致，结果是否合理
五、分数书写规范
（1）所有分数使用标准书写形式，如： 、 、
（2）结果若为带分数，优先写成带分数形式
（3）比例用冒号表示，如 ，不写成分数形式
例题讲解
【例题1】
题目：甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行。甲的速度是60米/分，乙的速度是40米/分，相遇时甲比乙多走了200米。求A、B两地之间的距离。
解析：
速度比：
相遇时时间相同 → 路程比 = 速度比 =
设甲走 份，乙走 份，则甲比乙多 份，对应 200 米
所以每份为 200 米
总路程 = 份 = （米）
答：A、B两地之间的距离为 1000 米。
【跟踪训练】
题目：A、B两车从甲、乙两地同时出发，相向而行。A车速度为50千米/时，B车为30千米/时，相遇时A车比B车多行了60千米。求甲、乙两地距离。
【例题2】
题目：小明从家到学校，前一半路程步行，速度为50米/分；后一半路程骑车，速度为150米/分。求他全程的平均速度。
解析：
设全程为 ，则前半程 ，后半程
前半程时间：
后半程时间：
总时间：
平均速度 = 总路程 ÷ 总时间 = （米/分）
答：小明全程的平均速度是 75 米/分。
【跟踪训练】
题目：一辆汽车前一半路程以40千米/时行驶，后一半路程以60千米/时行驶。求全程平均速度。
【例题3】
题目：甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，第一次相遇在距A地600米处。相遇后继续前行，到达对方起点后立即返回，第二次相遇在距B地400米处。求A、B两地距离。
解析：
第一次相遇：共走1个全程，甲走600米
到第二次相遇：共走3个全程（往返模型），时间是第一次的3倍
甲速度不变 → 甲共走 （米）
此时甲走的路程 = 全程 + 返回400米 → 设全程为 ，则甲走
所以： → （米）
答：A、B两地距离为 1400 米。
【跟踪训练】
题目：A、B两人从两地同时出发，相向而行，第一次相遇距A地800米。相遇后继续前进，到终点后返回，第二次相遇距B地500米。求两地距离。
【例题4】
题目：甲、乙两人同时从A地出发去B地，甲速度是乙的 。甲先出发10分钟，乙出发后经过多少分钟能追上甲？
解析：
设乙速度为 ，则甲速度为
甲先走10分钟，领先路程：
乙追甲，速度差：
追及时间： （分钟）
答：乙出发后经过 30 分钟追上甲。
【跟踪训练】
题目：小张和小王从同一地点出发，小张速度是小王的 。小张先走15分钟，小王出发后多少分钟能追上小张？
提升练习
1.甲、乙两车从A、B两地同时出发，速度比为 ，相遇时乙车比甲车少行了40千米。求A、B两地距离。
2.一辆车前三分之一路程以30千米/时行驶，后三分之二路程以60千米/时行驶。求全程平均速度。
3.A、B两人从两地同时出发，第一次相遇距A地500米，第二次相遇距B地300米。求两地距离。
4.小李步行速度是小赵的 ，小李先走12分钟，小赵出发后多少分钟能追上小李？
5.甲、乙两人从A、B两地相向而行，速度比为 。相遇时，甲走了全程的几分之几？
6.一辆汽车从A地到B地用了4小时，返回时速度提高 ，求返回用了多少小时？
模拟赛场（奥数难度）
1.A、B两车从甲、乙两地同时出发，速度比为 ，相遇时A车比B车多行了60千米。求甲、乙两地距离。
2.小明上学时前一半时间步行，后一半时间跑步，步行速度为40米/分，跑步为80米/分。求他全程平均速度。
3.甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，第一次相遇距A地700米。相遇后继续前进，到
终点后返回，第二次相遇距A地500米。求A、B两地距离。
4.一辆车从A地到B地，去时速度为50千米/时，返回时速度为30千米/时。往返共用8小时。求A、B两地距离。
5.甲、乙两人同时从A地出发，甲速度是乙的 。甲先出发10分钟，乙追上甲时，甲共走了多少分钟？
6.A、B两车从两地同时出发，相向而行，速度比为 。相遇后继续前进，到达对方起点后返回，第二次相遇时，A车共行驶了900千米。求A、B两地距离。21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】
知识梳理
一、基本数量关系
1.行程问题核心公式：
（1）路程 = 速度 × 时间
（2）速度 = 路程 ÷ 时间
（3）时间 = 路程 ÷ 速度
2.在小学阶段，所有行程问题均围绕这三个量展开。
二、比例法解题思想
1.当两个量成正比或反比关系时，可利用比例简化计算：
（1）速度一定，路程与时间成正比
例：同一人走路，走2小时和走3小时，路程比为
（2）时间一定，路程与速度成正比
例：两人同时出发，速度比为 ，则路程比也为
（3）路程一定，速度与时间成反比
例：走同一段路，甲用2小时，乙用3小时，则速度比为
三、常见题型与比例模型
1.相遇问题
（1）两人从两地同时出发，相向而行，相遇时时间相同。
（2）路程比 = 速度比
（3）总路程 = 甲路程 + 乙路程
2.追及问题
（1）同向而行，追上时时间相同。
（2）路程差 = 速度差 × 时间
（3）利用速度比分析追及时间
3.多次相遇问题
（1）第一次相遇共走1个全程，第二次相遇共走3个全程（往返模型）
（2）相遇次数与总路程成比例关系
4.分段行程（如前半程/后半程）
（1）若路程相等，速度不同，则时间与速度成反比
（2）若时间相等，速度不同，则路程与速度成正比
5.往返行程
（1）去程与回程路程相同，速度不同，则时间比为速度的反比
四、解题步骤
1.审题：找清“谁、何时、何地、同向/相向、是否同时”
2.判断不变量：确定哪个量（速度、时间、路程）保持不变
3.建立比例关系：根据“正比”或“反比”列出比例式
4.设单位量或设份数：如设速度为几份，时间为几份，便于计算
5.求解并验证：检查单位是否一致，结果是否合理
五、分数书写规范
（1）所有分数使用标准书写形式，如： 、 、
（2）结果若为带分数，优先写成带分数形式
（3）比例用冒号表示，如 ，不写成分数形式
例题讲解
【例题1】
题目：甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行。甲的速度是60米/分，乙的速度是40米/分，相遇时甲比乙多走了200米。求A、B两地之间的距离。
解析：
速度比：
相遇时时间相同 → 路程比 = 速度比 =
设甲走 份，乙走 份，则甲比乙多 份，对应 200 米
所以每份为 200 米
总路程 = 份 = （米）
答：A、B两地之间的距离为 1000 米。
【跟踪训练】
题目：A、B两车从甲、乙两地同时出发，相向而行。A车速度为50千米/时，B车为30千米/时，相遇时A车比B车多行了60千米。求甲、乙两地距离。
【例题2】
题目：小明从家到学校，前一半路程步行，速度为50米/分；后一半路程骑车，速度为150米/分。求他全程的平均速度。
解析：
设全程为 ，则前半程 ，后半程
前半程时间：
后半程时间：
总时间：
平均速度 = 总路程 ÷ 总时间 = （米/分）
答：小明全程的平均速度是 75 米/分。
【跟踪训练】
题目：一辆汽车前一半路程以40千米/时行驶，后一半路程以60千米/时行驶。求全程平均速度。
【例题3】
题目：甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，第一次相遇在距A地600米处。相遇后继续前行，到达对方起点后立即返回，第二次相遇在距B地400米处。求A、B两地距离。
解析：
第一次相遇：共走1个全程，甲走600米
到第二次相遇：共走3个全程（往返模型），时间是第一次的3倍
甲速度不变 → 甲共走 （米）
此时甲走的路程 = 全程 + 返回400米 → 设全程为 ，则甲走
所以： → （米）
答：A、B两地距离为 1400 米。
【跟踪训练】
题目：A、B两人从两地同时出发，相向而行，第一次相遇距A地800米。相遇后继续前进，到终点后返回，第二次相遇距B地500米。求两地距离。
【例题4】
题目：甲、乙两人同时从A地出发去B地，甲速度是乙的 。甲先出发10分钟，乙出发后经过多少分钟能追上甲？
解析：
设乙速度为 ，则甲速度为
甲先走10分钟，领先路程：
乙追甲，速度差：
追及时间： （分钟）
答：乙出发后经过 30 分钟追上甲。
【跟踪训练】
题目：小张和小王从同一地点出发，小张速度是小王的 。小张先走15分钟，小王出发后多少分钟能追上小张？
提升练习
1.甲、乙两车从A、B两地同时出发，速度比为 ，相遇时乙车比甲车少行了40千米。求A、B两地距离。
2.一辆车前三分之一路程以30千米/时行驶，后三分之二路程以60千米/时行驶。求全程平均速度。
3.A、B两人从两地同时出发，第一次相遇距A地500米，第二次相遇距B地300米。求两地距离。
4.小李步行速度是小赵的 ，小李先走12分钟，小赵出发后多少分钟能追上小李？
5.甲、乙两人从A、B两地相向而行，速度比为 。相遇时，甲走了全程的几分之几？
6.一辆汽车从A地到B地用了4小时，返回时速度提高 ，求返回用了多少小时？
模拟赛场（奥数难度）
1.A、B两车从甲、乙两地同时出发，速度比为 ，相遇时A车比B车多行了60千米。求甲、乙两地距离。
2.小明上学时前一半时间步行，后一半时间跑步，步行速度为40米/分，跑步为80米/分。求他全程平均速度。
3.甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，第一次相遇距A地700米。相遇后继续前进，到
终点后返回，第二次相遇距A地500米。求A、B两地距离。
4.一辆车从A地到B地，去时速度为50千米/时，返回时速度为30千米/时。往返共用8小时。求A、B两地距离。
5.甲、乙两人同时从A地出发，甲速度是乙的 。甲先出发10分钟，乙追上甲时，甲共走了多少分钟？
6.A、B两车从两地同时出发，相向而行，速度比为 。相遇后继续前进，到达对方起点后返回，第二次相遇时，A车共行驶了900千米。求A、B两地距离。
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参考答案及解析
一、跟踪训练答案
1.解：速度比 ，路程比 ，多 份 = 60 千米 → 每份 30 千米 → 总 份 = 千米
答：240 千米
2.解：设路程为 ，时间分别为 、 ，总时间 ，平均速度 千米/时
答：48 千米/时
3.解：设全程 ，第一次相遇甲走600，速度比 ，第二次相遇甲共走 ，而甲走 ，所以 米
答：1400 米
4.解：设乙速 ，甲速 ，甲先走 ，追及时间 分
答：30 分钟
5.解：设全程 ，第一次相遇距A地 ，乙走 ，速度比 ；第二次相遇甲共走 ，甲走 ，所以 →
答：1900 米
6.解：设乙速 ，甲速 ，甲先走 ，追及时间 分
答：45 分钟
二、提升练习答案
1.解：速度比 ，路程比 ，多 份 = 40 千米 → 每份 20 千米 → 总 份 = 160 千米
答：160 千米
2.解：设总路程 ，前 用时 ，后 用时 ，总时间 ，平均速度 千米/时
答：45 千米/时
3.解：设全程 ，第一次相遇甲走500，第二次相遇甲共走 ，而甲走 → →
答：1200 米
4.解：设乙速 ，甲速 ，甲先走 ，追及时间 分
答：48 分钟
5.解：时间相同，路程比 = 速度比 = ，甲走 全程
答：
6.解：返回速度提高 ，即为 倍，时间比为反比 ，去时4小时，则返回 小时
答：3 小时
三、模拟赛场答案
1.解：速度比 ，路程比 ，多 份 = 60 千米 → 每份 30 千米 → 总 份 = 360 千米
答：360 千米
2.解：设总时间 ，步行路程 ，跑步路程 ，总路程 ，平均速度 米/分
答：60 米/分
3.解：设全程 ，第一次相遇甲走700，第二次相遇甲共走 ，甲走 （因距A地500，说明返回走了 ）
所以 → →
答：1300 米
4.解：设距离 ，去时时间 ，返回 ，总时间 → 千米
答：150 千米
5.解：设乙速 ，甲速 ，甲先走 ，追及时间 分，甲共走 分
答：25 分钟
解：速度比 ，第一次相遇，A走 份，B走 份，全程 份。第二次相遇共走3个全程，A共走 份 = 900 千米 → 每份 100 千米 → 全程 千米
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