资源简介

《小升初奥数应用题：盈亏问题的分类突破》
【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】
知识梳理
1.基本概念
（1）盈亏问题：把一定数量的物品平均分给一定数量的人（或组），每人分得相同数量，由于分配标准不同，导致结果有的有剩余（盈），有的不足（亏）。
（2）核心思想：比较两次分配的总数差异，找出每人分配的差额，从而求出人数（或份数），再求总量。
（3）关键量：
盈：分配后有剩余。
亏：分配后不够，还差多少。
（4）份数：人数、组数、车辆数等被分配的对象数量。
2.基本公式（三大模型）
模型类型 条件特征 解题公式
一盈一亏 一次有余，一次不足
两盈 两次都有余
两亏 两次都不足
3.解题步骤（四步法）
（1）判断类型：观察题目是“一盈一亏”“两盈”还是“两亏”。
（2）找关键数：圈出两次分配的每人数量、盈或亏的具体数值。
（3）套用公式：计算份数（如人数、车数）。
（4）求总量：用份数 × 分配数 ± 盈亏数，求出总数量。
4.常见转化型盈亏问题
（1）隐藏“盈亏”：如“多出”为盈，“少”“缺”“还差”为亏。
（2）人数变化：如“若增加一组，则每组少几人”，需转化为标准模型。
（3）物品数变化：如“再买来若干”，需调整盈亏值。
（4）非整除情况：如“每组分不完”，仍按余数处理。
5.易错点提醒
（1）混淆“盈”与“亏”的数值，如将“少3支”误认为盈。
（2）公式中“两次分配差”写反，应为大数减小数。
（3）求出份数后，忘记代入求总量。
（4）单位不统一，如支、本、人混用。
（5）两盈或两亏时，误用加法而非减法。
6.重要思想方法
（1）比较思想：通过两次分配的差异，反推份数。
（2）设数法：当份数未知时，可假设人数，验证盈亏。
（3）画图辅助：用线段图表示分配过程，直观理解盈亏。
（4）逆向思维：从结果反推原始数量。
例题讲解
【例题1】（一盈一亏）
题目：老师给学生分铅笔，如果每人分5支，则多出12支；如果每人分8支，则少3支。有多少个学生？有多少支铅笔？
解析：
第一次：每人5支，盈12支；
第二次：每人8支，亏3支；
属于“一盈一亏”。
人数 = （人）
铅笔数 = （支）
（或 支）
答：有5个学生，37支铅笔。
【跟踪训练】
题目：幼儿园给小朋友分糖果，每人分4颗，多5颗；每人分5颗，少6颗。有多少个小朋友？多少颗糖果？
【例题2】（两亏）
题目：给一批学生发奖品，每人发9支钢笔，缺15支；每人发7支，缺7支。问：学生多少人？钢笔多少支？
解析：
第一次：每人9支，缺15 → 亏15；
第二次：每人7支，缺7 → 亏7；
属于“两亏”。
学生人数 = （人）
钢笔数 = （支）
（或 支）
答：有4个学生，21支钢笔。
【跟踪训练】
题目：老师给学生分练习本，每人分6本，缺12本；每人分4本，缺2本。问：有多少学生？多少练习本？
【例题3】（转化型盈亏）
题目：甲、乙两人各买了相同数量的信封与信纸。甲每封信用2张信纸，用完所有信封后剩20张信纸；乙每封信用3张信纸，用完所有信纸后剩10个信封。问：每人买了多少张信纸？
解析：
设每人有信封 个，信纸 张。
甲：
乙：信纸用完，信封剩10 → 乙用了 个信封，信纸
联立： → →
盈亏视角：乙若用完信封，需信纸 ，但实际只有 ，且 ，即缺 张信纸。
甲：信纸盈20；乙：信纸亏30（相对于用完信封）。
盈亏总额 = ，分配差 = ，信封数 = ，信纸 =
答：每人买了120张信纸。
【跟踪训练】
题目：小明和小红各买了相同数量的练习本和铅笔。小明每本配2支铅笔，用完所有本后剩4支铅笔；小红每本配3支铅笔，用完所有铅笔后剩2个本。问：每人买了多少支铅笔？
提升练习
1.一些小朋友分苹果，每人分3个，剩5个；每人分4个，缺20个。问：多少人？多少苹果？
2.同学们去划船，每船坐4人，有7人不能上船；每船坐5人，多一条船。问：租了多少条船？多少学生？
3.给若干人发糖果，每人发8颗，缺15颗；每人发6颗，缺3颗。问：多少人？多少糖果？
4.有若干辆车运货物，每车运8吨，剩5吨；每车运10吨，剩1吨。问：多少辆车？多少吨货物？
5.甲、乙各有若干张邮票，若甲给乙10张，则两人相等；若乙给甲5张，则甲是乙的2倍。问：甲原有多少张？
6.一群学生去植树，每人植5棵，剩12棵；每人植6棵，缺8棵。问：多少学生？多少棵树？
模拟赛场（奥数难度）
1.某校组织秋游，若每车坐28人，则有13人上不了车；若每车坐32人，则还有3个空位。问：有多少名学生？
2.有若干本练习本分给学生，每人分5本，多70本；每人分7本，多10本。问：多少学生？多少本？
3.一筐苹果分给若干人，每人分7个，多3个；每人分8个，多2个。问：多少人？多少苹果？
4.同学们去划船，若每船坐5人，有3人没船坐；若每船坐6人，多出2条船。问：多少人？多少船？
5.甲、乙两人买相同数量的信纸和信封。甲每封信用3张纸，用完信封剩10张纸；乙每封信用4张纸，用完信纸剩5个信封。问：每人买多少张信纸？
6.有若干人种树，若每人种8棵，剩5棵；若每人种9棵，缺10棵。问：总共有多少棵树21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】
知识梳理
1.基本概念
（1）盈亏问题：把一定数量的物品平均分给一定数量的人（或组），每人分得相同数量，由于分配标准不同，导致结果有的有剩余（盈），有的不足（亏）。
（2）核心思想：比较两次分配的总数差异，找出每人分配的差额，从而求出人数（或份数），再求总量。
（3）关键量：
盈：分配后有剩余。
亏：分配后不够，还差多少。
（4）份数：人数、组数、车辆数等被分配的对象数量。
2.基本公式（三大模型）
模型类型 条件特征 解题公式
一盈一亏 一次有余，一次不足
两盈 两次都有余
两亏 两次都不足
3.解题步骤（四步法）
（1）判断类型：观察题目是“一盈一亏”“两盈”还是“两亏”。
（2）找关键数：圈出两次分配的每人数量、盈或亏的具体数值。
（3）套用公式：计算份数（如人数、车数）。
（4）求总量：用份数 × 分配数 ± 盈亏数，求出总数量。
4.常见转化型盈亏问题
（1）隐藏“盈亏”：如“多出”为盈，“少”“缺”“还差”为亏。
（2）人数变化：如“若增加一组，则每组少几人”，需转化为标准模型。
（3）物品数变化：如“再买来若干”，需调整盈亏值。
（4）非整除情况：如“每组分不完”，仍按余数处理。
5.易错点提醒
（1）混淆“盈”与“亏”的数值，如将“少3支”误认为盈。
（2）公式中“两次分配差”写反，应为大数减小数。
（3）求出份数后，忘记代入求总量。
（4）单位不统一，如支、本、人混用。
（5）两盈或两亏时，误用加法而非减法。
6.重要思想方法
（1）比较思想：通过两次分配的差异，反推份数。
（2）设数法：当份数未知时，可假设人数，验证盈亏。
（3）画图辅助：用线段图表示分配过程，直观理解盈亏。
（4）逆向思维：从结果反推原始数量。
例题讲解
【例题1】（一盈一亏）
题目：老师给学生分铅笔，如果每人分5支，则多出12支；如果每人分8支，则少3支。有多少个学生？有多少支铅笔？
解析：
第一次：每人5支，盈12支；
第二次：每人8支，亏3支；
属于“一盈一亏”。
人数 = （人）
铅笔数 = （支）
（或 支）
答：有5个学生，37支铅笔。
【跟踪训练】
题目：幼儿园给小朋友分糖果，每人分4颗，多5颗；每人分5颗，少6颗。有多少个小朋友？多少颗糖果？
【例题2】（两亏）
题目：给一批学生发奖品，每人发9支钢笔，缺15支；每人发7支，缺7支。问：学生多少人？钢笔多少支？
解析：
第一次：每人9支，缺15 → 亏15；
第二次：每人7支，缺7 → 亏7；
属于“两亏”。
学生人数 = （人）
钢笔数 = （支）
（或 支）
答：有4个学生，21支钢笔。
【跟踪训练】
题目：老师给学生分练习本，每人分6本，缺12本；每人分4本，缺2本。问：有多少学生？多少练习本？
【例题3】（转化型盈亏）
题目：甲、乙两人各买了相同数量的信封与信纸。甲每封信用2张信纸，用完所有信封后剩20张信纸；乙每封信用3张信纸，用完所有信纸后剩10个信封。问：每人买了多少张信纸？
解析：
设每人有信封 个，信纸 张。
甲：
乙：信纸用完，信封剩10 → 乙用了 个信封，信纸
联立： → →
盈亏视角：乙若用完信封，需信纸 ，但实际只有 ，且 ，即缺 张信纸。
甲：信纸盈20；乙：信纸亏30（相对于用完信封）。
盈亏总额 = ，分配差 = ，信封数 = ，信纸 =
答：每人买了120张信纸。
【跟踪训练】
题目：小明和小红各买了相同数量的练习本和铅笔。小明每本配2支铅笔，用完所有本后剩4支铅笔；小红每本配3支铅笔，用完所有铅笔后剩2个本。问：每人买了多少支铅笔？
提升练习
1.一些小朋友分苹果，每人分3个，剩5个；每人分4个，缺20个。问：多少人？多少苹果？
2.同学们去划船，每船坐4人，有7人不能上船；每船坐5人，多一条船。问：租了多少条船？多少学生？
3.给若干人发糖果，每人发8颗，缺15颗；每人发6颗，缺3颗。问：多少人？多少糖果？
4.有若干辆车运货物，每车运8吨，剩5吨；每车运10吨，剩1吨。问：多少辆车？多少吨货物？
5.甲、乙各有若干张邮票，若甲给乙10张，则两人相等；若乙给甲5张，则甲是乙的2倍。问：甲原有多少张？
6.一群学生去植树，每人植5棵，剩12棵；每人植6棵，缺8棵。问：多少学生？多少棵树？
模拟赛场（奥数难度）
1.某校组织秋游，若每车坐28人，则有13人上不了车；若每车坐32人，则还有3个空位。问：有多少名学生？
2.有若干本练习本分给学生，每人分5本，多70本；每人分7本，多10本。问：多少学生？多少本？
3.一筐苹果分给若干人，每人分7个，多3个；每人分8个，多2个。问：多少人？多少苹果？
4.同学们去划船，若每船坐5人，有3人没船坐；若每船坐6人，多出2条船。问：多少人？多少船？
5.甲、乙两人买相同数量的信纸和信封。甲每封信用3张纸，用完信封剩10张纸；乙每封信用4张纸，用完信纸剩5个信封。问：每人买多少张信纸？
6.有若干人种树，若每人种8棵，剩5棵；若每人种9棵，缺10棵。问：总共有多少棵树？21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案及解析
一、跟踪训练答案
1.一盈一亏：盈5，亏6
人数 = （人）
糖果 = （颗）
2.两亏：亏12，亏2
学生 = （人）
练习本 = （本）
3.小明：铅笔盈4；小红：若用完本，需铅笔 ，实际 ，即缺6支 → 亏6
盈亏总额 = ，分配差 = ，本数 =
铅笔 = （支）
二、提升练习答案
1.解：一盈一亏， 人，苹果 个。
2.解：第一次亏7，第二次盈5（多一条船可坐5人）， 条船，学生 人。
3.解：两亏， 人，糖果 颗。
4.解：两盈， 辆，货物 吨。
5.解：设甲原有 ，乙 。 ； 。解得 。
6.解：一盈一亏， 人，树 棵。
三、模拟赛场答案
1.解：一盈一亏，车数 辆，学生 人。
2.解：两盈，学生 人，本 本。
3.解：两盈，人数 人，苹果 个。
4.解：第一次亏3，第二次盈12（多2条船），船数 条，人 人。
5.解：甲盈10，乙亏20（若用完信封），信封数 ，信纸 张。
6.解：一盈一亏，人数 人，树 棵。
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