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人教八上数学情境课堂教学课件
第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
21.3.2 菱形
第1课时 菱形的性质
主题情境·心“菱”手巧
1. 理解菱形的概念及菱形与平行四边形之间的关系.
2. 探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直 .
山西广灵剪纸融合黄土高原的粗犷与江南水乡的细腻，在广灵剪纸中，菱形图案通过阴刻、阳刻、折叠等多种技法呈现，使得剪纸作品具有丰富的视觉效果.菱形在剪纸中象征着吉祥、和谐等美好寓意，所以剪纸中常用菱形作为基本图案，通过重复排列形成复杂的花纹.
下面一起来感受剪纸的魅力之处吧！
做一做 我们来动手试试剪纸吧！
操作步骤：小丽拿着一张平行四边形的彩纸，她将彩纸的一条边向对边折叠，使得相邻的两条边完全重合，再延另一边剪掉多余部分，展开彩纸，此时就出现一个由平行四边形折叠而来的四边形.
①
②
③
问题1 剪出的四边形是什么图形？
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
注意：菱形必须具备两个条件：
(1)是平行四边形；
(2)有一组邻边相等．
两者必须同时具备，缺一不可．
举出一些生活中常见的菱形.
边 角 对角线 对称性
平行四边形的 一般性质
对边平行
且相等
对角分别
相等
对角线
互相平分
中心对称
问题2：菱形有哪些性质呢？
菱形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一般性质.
已知：如图，菱形ABCD .
求证：AB＝BC＝CD＝DA.
D
A
C
B
猜想1：菱形的四条边都相等.
思考1 由于菱形的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
证明：∵菱形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB＝CD，AD＝BC，
又∵AB＝BC.
∴AB＝BC＝CD＝DA .
拓展：菱形的四条边相等，所以菱形的周长等于边长的4倍.
已知：如图，菱形ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O.
求证：(1)AC⊥BD；
(2)AC分别平分∠BAD和∠BCD,BD分别平分∠ABC和∠ADC.
D
A
C
B
O
猜想2：菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角.
证明：∵四边形ABCD是菱形 ，
∴ AB＝AD，OB＝OD.
∵AO＝AO，
∴ △ABO≌△ADO(SSS)，
∴ ∠DAO＝∠BAO，∠AOB＝∠AOD＝90 .
∴ AC平分∠DAB，AC⊥BD.
同理可得AC平分∠DCB，BD平分∠ABC和∠ABC.
D
A
B
C
O
┐
菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴.
共有两条对称轴
猜想3：菱形既是中心对称图形，还是轴对称图形.
拓展延伸：
A
B
D
C
2.两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形.
1.任意一条对角线将菱形分成一对全等的等腰三角形.
你知道原因吗？
菱形面积＝底×高，即 S＝AB·DE.
思考2 你知道如何求菱形面积的面积吗？
A
D
C
O
B
E
菱形面积等于对角线乘积的一半，即 .
请说明原因！
理由：在菱形ABCD中，AC⊥BD,
同理，
∴菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.
拓展延伸：
对角线互相垂直的任意四边形的面积都等于两条对角线长的乘积的一半，即
边 角 对角线 对称性
平行四边形的一般性质 对边平行且相等 对角分别相等 对角线互相平分 中心对称
菱形的特殊性质
周长 面积 四边相等
对角线互相垂直,且每一条对角线平分一组对角
轴对称
菱形的周长等于边长的4倍
菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半
A
D
C
B
拓展应用 已知在菱形四边形ABCD中，∠BAD＝2∠B，求出∠B大小并判断△ABC的形状.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠B+∠BAD＝180°.
∵∠BAD＝2∠B，∴∠B＝60°.
∵AB＝BC（菱形的四条边都相等），∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
当菱形的一个内角为60°时，菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形.
例 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长和花坛面积.
解：设AC，BD相交于点O，
∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△ABO中，
O
D
C
B
A
例 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长和花坛面积.
∴花坛的两条小路长
AC＝2AO，
花坛的面积，
O
D
C
B
A
2.如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD＝118°，则∠BEC＝( )
A.59° B.62°
C.69° D.72°
C
1.如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD交于点O.下列说法一定正确的是( )
A.AC＝BD B.∠ABC+∠ADC＝180°
C.∠AOB＝90° D.AO＝ AB
A
3.(2025青海)如图，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F分别为AB，BC的中，且EF＝2.则菱形ABCD的面积为_______.
12
4.(2025辽宁)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为_______.
5.(2025泸州)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF.求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC.
∵AE＝CF，
∴BE＝BF.
在△ABF和△CBE中，
AB＝CB，∠B＝∠B， BF＝BE，
根据三角形全等的判定条件“SAS”
∴△ABF≌△CBE，
∴AF＝CE.
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为边AB的中点，DE⊥AB.
(1)求∠DAB的度数.
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB.
∵E为边AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB.
∴BD＝AD ＝ AB.
∴△ABD是等边三角形.
∴∠DAB＝60°.
∴∠DAB的度数是60°.
(2) 如果AC ＝ ，求菱形 ABCD的面积．
解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝
∴AC⊥BD，OA＝OC＝ AC＝ ，BD＝2OB，
∴∠AOB＝90°，
∵AB＝BD ＝2OB，
∴
∴OB＝2，∴BD ＝2OB＝4，
∴
∴菱形ABCD的面积是 .
边 角 对角线 对称性
平行四边形的一般性质 对边平行且相等 对角分别相等 对角线互相平分 中心对称
菱形的特殊性质
周长 面积 四边相等
对角线互相垂直,且每一条对角线平分一组对角
轴对称
菱形的周长等于边长的4倍
菱形面积＝底×高；菱形的面积＝对角线乘积的一半
拓展：1.任意一条对角线将菱形分成一对全等的等腰三角形；
2.对角线将其分成4个全等的直角三角形；
3. 当菱形的一个内角为60°时，菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形.
菱形的性质：
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