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人教八上数学情境课堂教学课件
第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
21.3.2 菱形
第2课时 菱形的判定
主题情境·汽车标志之谜
1. 探索并证明菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线相互
垂直的平行四边形是菱形.
2. 能熟练运用菱形的判定定理进行证明和计算.
重点
难点
如图是某款汽车标志，从视觉上猜测这个标志是由三个菱形构成的.喜欢探究的李明、张华和小颖想要验证这个说法是否正确，因此进行了一系列的探究活动，看看他们都是怎么做的吧！
标志中三个菱形全等，我们研究其中一个即可！
做一做 先将标志中的一个四边形拓画在图纸上！
设标志中的一个四边形为ABCD.
具体步骤：李明用度量尺量得AB＝CD＝AD＝BC.
A
B
C
D
这个四边形ABCD为菱形.
我可以根据定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形判定！
李明
证明：在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴ 四边形ABCD是菱形.
(定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形)
A
B
C
D
已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
我们得到菱形的一个判定定理：
数学语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴□ABCD是菱形.
归纳总结
A
B
C
D
A
B
C
D
李明，我从你的方法中找到了一种判定菱形的方法:四条边都相等的四边形是菱形！
张华
四条边都相等的四边形是菱形.
我们得到菱形的一个判定定理：
数学语言：
∵AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形.
归纳总结
A
B
C
D
思考1 三条边相等的四边形是菱形吗
三条边相等的四边形不一定是菱形，如下图
具体步骤：小颖用度量尺量得OA＝OC，OB＝OD，用量角器量得该四边形对角线夹角为90°，这个四边形ABCD就是菱形.
菱形是对角线互相垂直的平行四边形.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形！
小颖
A
B
C
D
O
小颖的说法正确吗？
已知：如图，□ABCD 中，对角线 AC，BD相交于点O，AC⊥BD.
求证：□ABCD 是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA ＝ OC，
∵AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线
∴AD ＝ DC，
∴□ABCD 是菱形.
A
B
C
D
O
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
我们得到菱形的一个判定定理：
数学语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴□ABCD是菱形.
归纳总结
A
B
C
D
O
菱形的性质 菱形的判定
思考2 菱形的性质与判定之间的关系？
菱形的四条边都相等
四边都相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角
例 如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形.
方法一：
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF.
∴∠1＝∠2.
又∠AOE＝∠COF，AO＝CO，
∴△AOE≌△COF.
∴EO＝FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形.
(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)
例 如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形.
方法二：
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF.
∴∠1＝∠2.
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，AE＝CE，AF＝CF.
在△AOE和△COF中，
∠1＝∠2，OA＝OC，∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF.
∴AE＝CF.
∴AE＝CE＝CF＝AF.
∴四边形AFCE是菱形.
(四条边相等的四边形是菱形)
还可以利用垂直平分线得出AE＝CE或AF＝CF，通过邻边相等的平行四边形是菱形证明！
归纳总结
判定一个四边形是菱形的思路：
平行四边形
菱形
①一组邻边相等
②对角线相互垂直
四条边都相等
两组对边
分别平行
(证法不唯一)
四边形
C
1.依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是( )
A. B. C. D.
2.(2025黑龙江)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件_____________________________，使平行四边形ABCD为菱形.
AB＝AD(AB⊥AD,答案不唯一)
3.(2025长春)如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，OA＝4，OB＝3. 求证：□ABCD是菱形.
证明：∵AB＝5，OA＝4，OB＝3，
∴AB2＝25＝9+16＝OA2+OB2，
∴AB2＝OA2+OB2，
∴∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴□ABCD是菱形.
4.某课后小组的几个同学一起复习巩固课堂内容，依依自编了一道题：“如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD.求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与其他同学交流.
依依： 证明:∵AC⊥BD，AB＝AD, ∴AC垂直平分BD. ∴OB＝OD，OA＝OC. ∴四边形ABCD是菱形. 朵朵： 这个题目还缺少条件，可以添加条件BC＝CD. 晴晴：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明，但是朵朵添加的条件不对.
你赞同谁的说法？若赞成依依的说法，请在依依框内打“√”；若赞成朵朵的说法，请写出证明过程；若赞成晴晴的说法，请你补充一个条件，并证明.
解：赞成晴晴的说法，补充条件：AD＝CD，
证明如下：
∵AC⊥BD，AB＝AD，
∴OB＝OD.
∴AC垂直平分BD.
∴BC＝CD.
∵AD＝CD，
∴AB＝AD＝CD＝BC.
∴四边形ABCD是菱形.(答案不唯一)
5.如图，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BD是对角线.
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，与边AD，BC分别交于点E，F．(要求：不写作法，保留作图痕迹).
E
F
O
证明：∵EF垂直平分BD，
∴OB＝OD，EF⊥BD.
∵AD∥BC
∴∠EDO＝∠FBO.
在△EDO和△FBO中，
∠EDO＝∠FBO，OB＝OD，
∠EOD＝∠FOB，
∴△EDO≌△FBO(ASA).
∴OE＝OF .
∵DO＝BO ，
∴四边形BFDE为平行四边形.
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形(对角线互相垂直的平行四边形为菱形).
(2)在(1)的条件下，连接BE，DF，求证：四边形BFDE为菱形.
E
F
O
6.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD.
(1)求证：△ABF≌△CDE.
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE.
∵BF＝EF＝FD，
∴ BF＝DE＝2EF.
∵AF⊥AB，CE⊥CD，
∴ ∠BAF＝∠DCE＝90°.
在△ABF和△CDE中，
∠BAF＝∠DCE，∠ABF＝∠CDE，
BF＝DE，
∴△ABF≌△CDE(AAS).
(2)连接AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由.
解：四边形AECF是菱形.
证明：由(1)得△BAF≌△DCE.
∴AB＝CD，AF＝CE，
∠AFB＝∠CED.
∴ AF∥CE.
∴四边形AECF为平行四边形.
在直角三角形ABF中，
∵∠ABD＝30° ，
∴AF= BF.
在直角三角形DCE中，
∵EF= DF ， ∴CF= DE.
∵BF=DE， ∴AF=CF.
∴四边形AECF是菱形.
边
菱形的判定
对角线
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
四条边都相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
Thanks!
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