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人教八上数学情境课堂教学课件
第二十二章　函数
22.1 函数的概念
第2课时 函数的概念
1..理解函数的概念，能准确识别变化过程中的自变量和函数.
2. 能根据具体问题，确定两个变量之间的函数关系式，并确定自变量的函数值.
生活中充满了许许多多变化的量，你了解这些变量之间的关系吗？
高铁行驶的路程与行驶时间、速度有关
运动消耗的能量与运动时间、激烈程度有关
抛出的篮球，篮球的高度和运动时间、抛掷点的位置有关
我们生活在一个瞬息万变的世界里，在这个世界里，许多东西相互之间有一定联系. 今天，我们就用数学的视角来研究和学习这些“变”与“不变”，看看这些量之间有何关系……
问题1 上节课中的四个问题中，各有两个变量，每个问题中的两个变量之间有什么关系？如何表示这种关系？
(1) 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶时间为 t h，行驶路程为 s km.
行驶时间 t/h 1 2 5 … t
行驶路程 s/km 60 120 300 … s=60t
两个变量是t 和s，s 随 t 的变化而变化.每当 t 取定一个值时，s 就有唯一确定的值与其对应.
(2) 电影票的售价为40元/张，每一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元.
售出票数x/张 80 105 180 ... x
票房收入y/元 3200 4200 7200 ... y=40x
两个变量是x和y，y 随 x 的变化而变化.每当 x 取定一个值时，y 就有唯一确定的值与其对应.
(3) 水中涟漪，圆形水波慢慢地扩大过程中，圆的半径为r ，圆的面积为S .
圆的半径r/cm 10 20 30 ... r
圆的面积S/cm2 100π 400π 900π ... S=πr
两个变量是r和S，S随 r 的变化而变化.每当 r 取定一个值时，S 就有唯一确定的值与其对应.
(4) 长方体的体积为1 000cm3，长方体的底面积为S，高为h.
底面积S/cm2 50 100 125 ... S
高h/cm 20 10 8 ...
两个变量是S和h，h随 S 的变化而变化.每当 S 取定一个值时，h就有唯一确定的值与其对应.
思考1 上面的四个问题中，各变量之间有什么共同特点？
(1)路程s、时间t；
(2)票房收入y、售出票数x；
(3)圆面积S、圆半径r；
(4)长方体底面积S、高h.
共同特点：都有两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应.
思考2 (1)潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象.我国某港口潮水的高度(简称潮高)在某时段的变化如下图所示，时间与潮高分别记作变量t与h，这两个变量之间有什么关系
对于每一个确定的时间t，都有唯一确定的潮高h 与其对应.
(2)某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如下表所示，存款期限与年利率分别记作变量x和y.这两个变量之间有什么关系
对于表中的每一个确定的期限 x，都有唯一确定的年利率 y与其对应.
存款期限x/月 3 6 12 24 36 40
年利率y/% 1.15 1.35 1.45 1.65 1.95 2.00
存款期限与年利率
如果当 x=a 时， y=b，那么 b 叫作当自变量的值为 a 时的函数值.
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
归纳总结
注意：1.函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系；
2.一个自变量x的值只能对应唯一一个y值，但一个确定的y值可以对应多个不同的x的值.
判断一个关系是不是函数关系的方法：
一看：是否在一个变化过程中；
二找：是否存在两个变量；
三定：当其中一个变量每取一个确定的值时，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应．
方法总结
问题2 你能指出下列问题中的自变量及函数吗？
时间t是自变量，路程s是 t的函数，当t=1时，函数值S=60.
时间t是自变量，潮高h是 t的函数，当t=18时，函数值h=158.
存款期限x是自变量，年利率y是 x的函数，当x=12时，函数值y=1.45%.
例 下列关系式中，表示 y 是 x 的函数关系的是 ．
① y=2x + 3；② y=x2 + 3；③ y=2|x|；④ ；⑤ y2－3x=10，
①②③
一个 x 值，有两个 y 值与它对应
点拨：函数需满足的两个关键点：①有两个变量；②对于变量 x 的每个值，都有唯一的变量 y 值与其对应.
思考3 (1)以上问题中，都用到了什么方法来表示函数呢？
图象法
列表法
s=60t
关系式法
思考3 (2)三种表示函数的方法，有什么特点呢？
s=60t
(1)关系式法：简明、准确，能够清晰地表达变量之间的关系，便于进行理论分析和计算；
(2)图象法：直观、形象，能够展示函数的变化趋势；
(3)列表法：直观、清晰，便于直接获取特定数值.
1. 下列曲线中，其中y不是x函数的是( ).
A
A. B.
C. D.
2. 小明为了解水温变化规律，测量并记录了一杯开水在室温下的温度变化情况，如下表：
时间t/min 0 10 20 30 40 50 60
水温T/℃ 98 55 35 24 22 22 22
下列说法不正确的是( )
A.时间t是自变量，水温T是时间t的函数
B.水温随着时间的推移逐渐减小，最后保持不变
C.依据表格中反映出的规律可知：当t=70min时，水温是22℃
D.时间每增加10min，水温则降低42℃
D
3. 试写出下列问题中的函数的关系式，并判断自变量与自变量的函数.
(1) 小明每分钟走50m，他行走的路程s(m)随时间t(min)的变化而变化；
(2) 一根弹簧的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；
(3) 一个长方体盒子的高为30cm，底面是正方形，底面边长a(cm)改变时，该长方体盒子的体积V(cm3)也随之改变.
解：(1)由速度乘以时间等于路程，得s=50t，t是自变量，s是t的函数；
(2)由题意，得y=0.5x+10，自变量是x，y是x的函数；
(3)由题意，得V=30a2，a是自变量，V是a的函数.
4.姜瑶帮弟弟荡秋千，秋千离地面的高度h(单位：m)与摆动时间t(单位：s)之间的关系如图所示．
(1)根据函数的定义，请判断h是否为t的函数并
说明理由．
解：由图象可知，对于每一个摆动的时间t，h
都有唯一确定的值与其对应，
∴变量h是变量t的函数.
(2)当t=0.9s时，h的值是多少 请说明它的实际意义．
解：由图象可知，t=0.9s时，h=0.5m，
它的实际意义是：秋千摆动到0.9s时，秋千离地面的高度为0.5m.
5.(结论开放)两个变量y 与 x 之间的函数关系式为：y=15－0.5x，你可以在实际生活中找到它的应用场景吗？
解：(1)假设一个室内空间的初始温度为15℃，由于外部影响，温度每过一分钟下降0.5℃.这个降温过程可以用函数 y=15－0.5x 来描述；
(2)价格和数量的关系：假设某种商品的单价是 15 元，每多买一件商品，价格就会减少 0.5 元.那么商品总价 y 与购买数量 x(件)之间的关系可以表示为 y=15－0.5x.
关系式法、图象法、列表法．
概念
函数
函数值
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
当x＝a时，y＝b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值．
表示方式
Thanks!
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